s-有限測度

測度論（体積の一般化された概念を研究する数学の分野） において、 s 有限測度は特別なタイプの測度です。 s 有限測度は有限測度よりも一般的ですが、有限測度の特定の証明を一般化することができます。

s 有限測度をσ 有限 (シグマ有限) 測度と混同しないでください。

を可測空間とし、この可測空間上の測度を とする。測度は、有限測度( )の可算和として表すことができる場合、s-有限測度と呼ばれる。^[1]${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \nu_{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \mu =\sum _{n=1}^{\infty }\nu _{n}.}$

ルベーグ測度は s有限測度である。これに対して、 ${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle B_{n}=(-n,-n+1]\cup [n-1,n)}$

そして、対策を次のように 定義する。${\displaystyle \nu_{n}}$

${\displaystyle \nu _{n}(A)=\lambda (A\cap B_{n})}$

すべての測定可能な集合 に対して、これらの測度は有限である。なぜなら、すべての測定可能な集合 に対して、および は構成により、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \nu _{n}(A)\leq \nu _{n}(B_{n})=2}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \lambda =\sum _{n=1}^{\infty }\nu _{n}.}$

したがって、ルベーグ測度は s 有限です。

すべてのσ 有限測度はs 有限ですが、すべての s 有限測度が σ 有限であるわけではありません。

すべてのσ有限測度がs有限であることを示すために、σ有限とします。すると、およびを満たす可測な互いに素な集合が存在します。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle B_{1},B_{2},\dots }$${\displaystyle \mu (B_{n})<\infty }$

${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}=X}$

そして対策

${\displaystyle \nu _{n}(\cdot ):=\mu (\cdot \cap B_{n})}$

は有限であり、その和は です。このアプローチは、上記の例とまったく同じです。 ${\displaystyle \mu}$

σ-有限ではないs-有限測度の例は、σ-代数を持つ集合上に構築することができます。すべての に対して、をこの測定可能空間上の 計数測度とし、次のように定義します。${\displaystyle X=\{a\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{\{a\},\emptyset \}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \nu_{n}}$

${\displaystyle \mu :=\sum _{n=1}^{\infty }\nu _{n}.}$

この測度は、構成上s有限である（計数測度は1つの要素を持つ集合上で有限であるため）。しかしσ有限ではない。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle \mu (\{a\})=\sum _{n=1}^{\infty }\nu _{n}(\{a\})=\sum _{n=1}^{ \infty }1=\infty .}$

したがって、σ 有限にはなり得ません。 ${\displaystyle \mu}$

あらゆるs有限測度に対して、同等の確率測度が存在する。つまり、となる。^[1]同等の確率測度の1つは次のように与えられる。 ${\displaystyle \mu =\sum _{n=1}^{\infty }\nu _{n}}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle \mu \sim P}$

${\displaystyle P=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}{\frac {\nu _{n}}{\nu _{n}(X)}}.}$

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