CAT( k )スペース

数学 では、${\displaystyle \mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)}$空間、そこで${\displaystyle k}$は実数であり、 は特定の種類の距離空間です。直感的に、の三角形は${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$スペース（と）${\displaystyle k<0}$）は、定曲率の標準空間における対応する「モデル三角形」よりも「細い」${\displaystyle k}$.${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$空間では、曲率は上から制限される${\displaystyle k}$注目すべき特殊なケースは${\displaystyle k=0}$;完了${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$空間は、フランスの数学者ジャック・アダマールにちなんで「アダマール空間」として知られています。

元々、アレクサンドロフはこれらの空間を「${\displaystyle {\mathfrak {R}}_{k}}$ドメイン」という用語${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$これは1987年にミハイル・グロモフによって造語され、エリー・カルタン、アレクサンドル・ダニロヴィチ・アレクサンドロフ、ヴィクトル・アンドレーヴィチ・トポノゴフの頭文字をとった略語である（ただし、トポノゴフは出版物の中で上限曲率を研究したことはない）。

実数の場合${\displaystyle k}$、 させて${\displaystyle M_{k}}$は、一定曲率を持つ唯一の完全単連結曲面（実2次元リーマン多様体）を表す。${\displaystyle k}$で表す${\displaystyle D_{k}}$直径​​${\displaystyle M_{k}}$それは${\displaystyle \infty }$もし${\displaystyle k\leq 0}$そしてそれは${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}$もし${\displaystyle k>0}$。

させて${\displaystyle (X,d)}$測地距離空間、すなわち任意の2点が${\displaystyle x,y\in X}$測地線セグメント、弧長パラメータ化された連続曲線で接続することができる${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X,\ \gamma (a)=x,\ \gamma (b)=y}$その長さ

${\displaystyle L(\gamma )=\sup \left\{\left.\sum _{i=1}^{r}d{\big (}\gamma (t_{i-1}),\gamma (t_{i}){\big )}\right|a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{r}=b,r\in \mathbb {N} \right\}}$

まさに${\displaystyle d(x,y)}$。 させて${\displaystyle \Delta }$三角形になる${\displaystyle X}$その側面は測地線セグメントで構成されている。${\displaystyle \Delta }$満たすと言われている${\displaystyle \mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)}$比較三角形がある場合の不等式${\displaystyle \Delta '}$モデル空間において${\displaystyle M_{k}}$辺の長さが辺の長さと同じである${\displaystyle \Delta }$点間の距離は${\displaystyle \Delta }$対応する点間の距離以下である${\displaystyle \Delta '}$。

測地距離空間${\displaystyle (X,d)}$と言われている${\displaystyle \mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)}$すべての測地三角形が空間である場合${\displaystyle \Delta }$で${\displaystyle X}$周囲長が$2D_k$満たす${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$不等式。（必ずしも測地線ではない）距離空間${\displaystyle (X,\,d)}$曲率の​​ある空間と言われている${\displaystyle \leq k}$すべてのポイント${\displaystyle X}$測地線凸である${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$近隣地域。曲率のある空間${\displaystyle \leq 0}$非正の曲率を持つと言えるかもしれない。

• どれでも${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$空間${\displaystyle (X,d)}$また、${\displaystyle \operatorname {CAT} (\ell )}$すべての人のための空間${\displaystyle \ell >k}$実際、逆もまた成り立つ。${\displaystyle (X,d)}$は${\displaystyle \operatorname {CAT} (\ell )}$すべての人のための空間${\displaystyle \ell >k}$ならばそれは${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$空間。
• の${\displaystyle n}$次元ユークリッド空間${\displaystyle \mathbf {E} ^{n}}$通常の指標では${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$空間。より一般的には、任意の実内積空間（必ずしも完備である必要はない）は${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$空間。逆に、実ノルムベクトル空間が${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$本当の${\displaystyle k}$そうすれば、それは内積空間となる。
• の${\displaystyle n}$次元双曲空間$\displaystyle \mathbf {H} ^{n}}$通常の指標では${\displaystyle \operatorname {CAT} (-1)}$空間、したがって${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$スペースも。
• の${\displaystyle n}$次元単位球$\displaystyle \mathbf {S} ^{n}}$は${\displaystyle \operatorname {CAT} (1)}$空間。
• より一般的には、標準空間${\displaystyle M_{k}}$は${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$空間。例えば、次元に関係なく、半径の球${\displaystyle r}$（そして一定の曲率）${\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}}$) は${\textstyle \operatorname {CAT} \left({\frac {1}{r^{2}}}\right)}$空間。球の直径は${\displaystyle \pi r}$（球の表面で測定した場合）${\displaystyle 2r}$（球の中心を通るように測定した場合）
• 穴の開いた飛行機${\displaystyle \Pi =\mathbf {E} ^{2}\smallsetminus \{\mathbf {0} \}}$ではない${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$空間は測地線的に凸ではないため（例えば、点${\displaystyle (0,1)}$そして${\displaystyle (0,-1)}$測地線で結合することはできません${\displaystyle \Pi }$弧長2）の点はすべて${\displaystyle \Pi }$持っている${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$測地線凸近傍なので${\displaystyle \Pi }$曲率の​​空間である${\displaystyle \leq 0}$。
• 閉じた部分空間${\displaystyle X}$の$\displaystyle \mathbf {E} ^{3}}$によって与えられた${\displaystyle X=\mathbf {E} ^{3}\smallsetminus \{(x,y,z)\mid x>0,y>0{\text{ かつ }}z>0\}}$誘導長さメトリックを備えたものは${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$あらゆるスペース${\displaystyle k}$。
• の製品${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$スペースは${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$（これは否定的な議論には当てはまりません。）

特殊な場合として、完全CAT(0)空間はアダマール空間とも呼ばれます。これはカルタン・アダマール多様体の場合と同様です。アダマール空間は可縮であり（一点のホモトピー型を持ちます）、アダマール空間の任意の2点間には、それらを結ぶ一意の測地線が存在します（実際、これらの性質は、一般的な、場合によっては不完全なCAT(0)空間にも当てはまります）。最も重要なのは、アダマール空間の距離関数は凸であるということです。$\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$X内の 2 つの測地線が同じ時間間隔Iで定義されている場合、関数${\displaystyle I\to \mathbb {R} }$によって与えられた

${\displaystyle t\mapsto d{\big (}\sigma _{1}(t),\sigma _{2}(t){\big )}}$

tに関して凸関数である。

させて${\displaystyle (X,d)}$になる${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$空間。すると、以下の性質が成り立つ。

• 任意の2点が与えられた場合${\displaystyle x,y\in X}$（と$d(x,y)<D_k$もし${\displaystyle k>0}$) を繋ぐ独自の測地線セグメントがあります。${\displaystyle x}$に${\displaystyle y}$さらに、この区間は両端点に応じて連続的に変化する。
• すべてのローカル測地線${\displaystyle X}$最大長さ${\displaystyle D_{k}}$測地線である。
• の${\displaystyle d}$-ボール​${\displaystyle X}$半径が${\displaystyle D_{k}/2}$（測地線的に）凸である。
• の${\displaystyle d}$-ボール${\displaystyle X}$半径が${\displaystyle D_{k}}$契約可能である。
• 近似中点は、次の意味で中点に近い。${\displaystyle \lambda <D_{k}}$そしてすべての${\displaystyle \varepsilon >0}$存在する${\displaystyle \delta =\delta (k,\lambda ,\varepsilon )>0}$つまり、もし${\displaystyle m}$は、測地線セグメントの中点です。${\displaystyle x}$に${\displaystyle y}$と${\displaystyle d(x,y)\leq \lambda }$そして$${\displaystyle \max {\bigl \{}d(x,m'),d(y,m'){\bigr \}}\leq {\frac {1}{2}}d(x,y)+\delta ,}$$それから${\displaystyle d(m,m')<\varepsilon }$。
• これらの性質から、${\displaystyle k\leq 0}$あらゆるものの普遍的なカバー${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$空間は縮約可能であり、特に、そのような空間の高次ホモトピー群は自明である。例として、${\displaystyle n}$-球${\displaystyle \mathbf {S} ^{n}}$一般的に、希望はないことを示しています${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$スペースが収縮可能になる場合${\displaystyle k>0}$。

曲率がK ≤ 0を満たす領域では、測地線三角形は、カルタン、アレクサンドロフ、トポノゴフによって研究され、後にブルハットとティッツによって別の観点から考察された比較幾何学の CAT(0) 不等式を満たします。グロモフの先見性のおかげで、基礎となる計量空間による非正曲率のこの特徴付けは、現代幾何学、特に幾何学的群論に大きな影響を与えました。滑らかな曲面とその測地線について知られている多くの結果、例えば、曲線短縮法による測地線の構成に関するビルコフの方法や、非正曲率の単連結曲面は平面と同相であるというファン・マンゴルトとアダマールの定理などは、このより一般的な設定でも同様に有効です。

アレクサンドロフの比較不等式

比較不等式の最も単純な形式は、1940年頃にアレクサンドロフによって曲面について初めて証明され、次のように述べられている。

測地線三角形の頂点と対辺の中点との間の距離は、同じ辺の長さを持つ平面上の比較三角形における対応する距離よりも常に小さい。

この不等式は、c ( t )が弧長でパラメータ化された測地線を表し、aが固定点である場合、

f ( t ) = ^d ( a , c ( t ) ) ² − t2

凸関数である、つまり

${\displaystyle {\ddot {f}}(t)\geq 0.}$

原点をaとする測地極座標をとると、‖ c ( t )‖ = r ( t )となり、凸性は以下と同等である。

${\displaystyle r{\ddot {r}}+{\dot {r}}^{2}\geq 1.}$

正規座標u、vをc ( t )で用いると、この不等式は次のようになる。

u ² + H ⁻¹ H _r v ² ≥ 1、

ここで( u , v ) は単位ベクトルċ ( t )に対応する。これは、シュトゥルム・リウヴィル理論によるHとrのWronskianの導関数の非負性の結果である不等式H _r ≥ Hから導かれる。^{[ 1 ]}

• カルタン＝アダマールの定理

• Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. "Alexandrov Geometry, Chapter 7" (PDF) . 2011年4月7日取得。
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