自己資金ポートフォリオ

金融数学において、自己資金調達ポートフォリオとは、外生的な資金の注入または引き出しがない場合、新しい資産の購入は古い資産の売却によって資金調達されなければならないという特徴を持つポートフォリオです。 ^[要出典]この概念は、たとえば許容戦略や複製ポートフォリオを定義するために使用され、後者は裁定取引のないデリバティブの価格設定の基礎となります。

離散フィルタリングされた確率空間 が与えられ、 が市場における時刻tでのソルベンシーコーン（取引コストの有無にかかわらず）であると仮定します。 を と表記します。すると、ポートフォリオ（物理的な単位、つまり各株式の数）が自己資金調達型（有限の回数のみの取引）である場合、 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t=0}^{T},P)}$${\displaystyle K_{t}}$${\displaystyle L_{d}^{p}(K_{t})=\{X\in L_{d}^{p}({\mathcal {F}}_{T}):X\in K_{t}\;P-a.s.\}}$${\displaystyle (H_{t})_{t=0}^{T}}$

なぜなら、我々は慣習としてそれを持っているからです。^[1]${\displaystyle t\in \{0,1,\dots ,T\}}$${\displaystyle H_{t}-H_{t-1}\in -K_{t}\;P-a.s.}$${\displaystyle H_{-1}=0}$

将来のある時点でのポートフォリオの集合のみに関心がある場合は、次のように言うことができます。 ${\displaystyle H_{\tau }\in -K_{0}-\sum _{k=1}^{\tau }L_{d}^{p}(K_{k})}$

取引コストがある場合は離散取引のみを考慮する必要があり、連続時間の場合は上記の計算を となる極限まで行う必要があります。 ${\displaystyle \Delta t\to 0}$

をd次元の半マルチンゲール摩擦のない市場とし、確率積分が存在するようなd次元の予測可能な確率過程とする。この過程は、時刻におけるポートフォリオ内の株式番号の株数と株式番号の価格を表す。取引戦略の価値過程を次のように 表す。${\displaystyle S=(S_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle h=(h_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle h^{i}\cdot S^{i}}$${\displaystyle \forall \,i=1,\dots ,d}$${\displaystyle h_{t}^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle t}$${\displaystyle S_{t}^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle V_{t}=\sum _{i=1}^{n}h_{t}^{i}S_{t}^{i}.}$

ポートフォリオ/取引戦略が自己資金調達と呼ばれるのは、 ${\displaystyle h=\left((h_{t}^{1},\dots ,h_{t}^{d})\right)_{t}}$

${\displaystyle V_{t}=\sum _{i=1}^{n}\left\{h_{0}^{i}S_{0}^{i}+\int _{0}^{t}h_{u}^{i}\mathrm {d} S_{u}^{i}\right\}=h_{0}\cdot S_{0}+\int _{0}^{t}h_{u}\cdot \mathrm {d} S_{u}}$^[2 ]

項はポートフォリオの初期資産に対応し、 は時点までの取引による累積損益です。これは特に、ポートフォリオへの資金の注入やポートフォリオからの資金の引き出しが行われていないことを意味します。 ${\displaystyle h_{0}\cdot S_{0}}$${\displaystyle \int _{0}^{t}h_{u}\cdot \mathrm {d} S_{u}}$${\displaystyle t}$

• ポートフォリオの複製
• 自己資金