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論理学 において、二値性の意味論的原理（または法則）は、（検討中の理論の）命題を表すすべての宣言文は、真または偽のいずれかの真理値を持つと述べている。[ 1 ] [ 2 ]この原理を満たす論理は、二値論理[ 3 ]または二値論理[ 2 ] [ 4 ]と呼ばれる。
形式論理では、二値性の原理は意味論が持つ場合と持たない場合がある性質となる。しかし、それは排中律とは異なり、意味論は二値性を持たない場合でも排中律を満たすことがある。[ 2 ]
二値性の原理は、自然言語のどの命題が明確な真理値を持つかという問題を扱うために哲学論理学で研究されている。未来の出来事を予測する文や、解釈の余地があるように見える文は、二値性の原理がすべての宣言的な自然言語の命題に適用されると考える哲学者にとって特に難しい。 [ 2 ]多値論理は、結果の概念を現実的に特徴づけるには、曖昧さ、時間的または量子的不確定性、あるいは参照失敗のために、古典的に二値的とはみなせない前提の許容性が必要であるという考えを形式化している。参照失敗は自由論理によっても扱うことができる。[ 5 ]
二値性の原理は排中律と関連しているが、排中律は「P ∨ ¬P」の形式の論理の言語の構文的表現である。二値性の原理と排中律の違いは重要である。なぜなら、法則は有効だが原理は有効でない論理が存在するからである。[ 2 ]例えば、3値論理のパラドックス論理（LP）は排中律を有効とするが、同時に矛盾律¬(P ∧ ¬P) も有効とし、その意図された意味論は二値ではない。[ 6 ]直観主義論理 では排中律は成り立たない。古典的な2値論理では排中律と矛盾律の両方が成り立つ。[ 1 ]
古典論理の意図する意味論は二値性を持つが、これは古典論理のすべての意味論に当てはまるわけではない。ブール値意味論（古典命題論理の場合）では、真理値は任意のブール代数の要素であり、「真」は代数の最大要素に対応し、「偽」は最小要素に対応する。代数の中間要素は、「真」と「偽」以外の真理値に対応する。二値性の原理は、ブール代数が中間要素を持たない2要素代数であると仮定した場合にのみ成り立つ。
古典的な述語論理にブール意味論を割り当てるには、全称量化子が下限演算に、存在量化子が上限に写像されるため、モデルが完全なブール代数である必要があります。 [ 7 ]これはブール値モデルと呼ばれます。すべての有限ブール代数は完全です。
真と偽が唯一の論理値であるという主張を正当化するために、ロマン・スシュコ（1977）は、すべての構造的タルスキアン多値命題論理には二値意味論を与えることができると述べている。[ 8 ]
有名な例として[ 2 ] 、アリストテレスの著作『解釈論』第9章にある偶発的な海戦の事例が挙げられる。
ここでの二値性の原理は次のように主張する。
アリストテレスは、そのような未来の偶発事象に対する二値性を認めることを否定した。[ 9 ]ストア派の論理学者クリュシッポスは、これを含め他のすべての命題に対して二値性を認めた。この論争は、時間の哲学と論理の哲学の両方において中心的な重要性を持ち続けている。
多値論理の研究の初期の動機の一つはまさにこの問題でした。20世紀初頭、ポーランドの形式論理学者ヤン・ウカシェヴィチは、真、偽、未確定の3つの真理値を提案しました。このアプローチは後にアーレント・ヘイティングとLEJ・ブロウワーによって発展しました。[ 2 ]ウカシェヴィチ論理を参照してください。
このような問題は、様々な時間論理においても取り上げられており、「いずれにせよ、明日海戦が起こるか、起こらないかのどちらかだ」と主張できる。（これは「明日」が最終的に起こる場合に真となる。）
ソリテスのパラドックスやそれに関連する連続体の誤謬といった問題は、適用が曖昧な概念への古典論理と二値原理の適用可能性に疑問を投げかけてきました。 曖昧な概念をより適切に扱う代替手段として、ファジー論理やその他の多値論理が提案されています。例えば、ファジー論理における真偽は、さまざまな程度で表されます。移動するベルトコンベア上でリンゴを選別する状況における次の記述を考えてみましょう。
観察してみると、リンゴの色は黄色と赤の中間で、どちらの色もはっきりとは分からないか、あるいは両方の色がまだらに混ざっている。したがって、色は「赤」にも「黄色」にも分類されないが、リンゴを分類する際に利用できる分類はこれらしかない。つまり、「50%赤」と言えるかもしれない。言い換えれば、リンゴが赤いというのは50%真実である。したがって、Pは50%真実であり、50%偽である。次に、以下を考えてみよう。
言い換えれば、Pとnot-Pが成り立つ。これは矛盾律、ひいては二値律に違反する。しかし、Pは部分的にしか真ではないため、これはこれらの法則に対する部分的な否定に過ぎない。もしPが100%真であれば、not-Pは100%偽となり、Pとnot-Pが成り立たなくなるため、矛盾は生じない。
しかし、「または」は包含関係にあるため、Pかつ非PはPまたは非Pを意味するので、排中律は維持されます。Pかつ非Pが偽となる唯一の2つのケース（Pが100%真または偽の場合）は、2値論理で考慮されるケースと同じであり、同じ規則が適用されます。
曖昧な（未決定の）ケースに適用された3値論理の例：Kleene 1952 [ 11 ] (§64、pp. 332–340) は、部分再帰関数を含むアルゴリズムが値を返さず、代わりに「u」=未決定の状態になる場合のための3値論理を提案しています。彼は「t」=「真」、「f」=「偽」、「u」=「未決定」とし、すべての命題結合子を再設計します。彼は次のように指摘しています。
原始的および一般的な再帰述語を構築する際に結合子を使用する際、各一般的な再帰述語には決定手続きが存在するため、古典的な2値論理を使用することは直観的に正当化されます。つまり、排中律は一般的な再帰述語にも適用されることが直観的に証明されます。
Q(x)が部分再帰述語である場合、定義域上でQ(x)の判定手続きが存在するため、定義域上では排中律または排中「三」の法則（Q(x)はtまたはfのいずれかである）が直観主義的に適用される。しかし、与えられたxに対してQ(x)が定義されているか否かを判定するアルゴリズムは存在しないかもしれない。[...] したがって、排中第四の法則（各xに対してQ(x)はt、f、またはuのいずれかである）が存在するのは、直観主義的ではなく古典的法則に限る。
したがって、3番目の「真理値」uは、我々の理論における他の2つの真理値tとfとは同等ではない。その位置づけを考察すると、我々は特殊な種類の真理値表に限定されることがわかるだろう。
以下は彼の「強力な表」です: [ 12 ]
例えば、リンゴが赤いか赤くないかを判断できない場合、命題 Q:「このリンゴは赤い」の真偽値は「u」です。同様に、命題 R:「このリンゴは赤くない」の真偽値も「u」です。したがって、これらの命題 Q AND R、つまり「このリンゴは赤い AND このリンゴは赤くない」の真偽値は、表に従って「u」になります。また、命題 Q OR R、つまり「このリンゴは赤い OR このリンゴは赤くない」も同様に「u」になります。
嘘つきのパラドックスに見られるような自己言及的な命題の中には、 矛盾を生じさせることなく「真」でも「偽」でもない明確な真偽値を割り当てることができないものがある。 [ 13 ]嘘つきのパラドックスは次のように述べることができる。
（A）が真であれば、「この命題は偽である」は真である。したがって、（A）は偽でなければならない。（A）が真であるという仮説は、（A）が偽であるという結論を導き、矛盾が生じる。
（A）が偽であれば、「この命題は偽である」も偽となる。したがって、（A）は真でなければならない。（A）が偽であるという仮説は、（A）が真であるという結論を導き出すが、これはまた別の矛盾である。いずれにせよ、（A）は真でもあり偽でもあるため、パラドックスとなる。
このパラドックスの解決策としては、ブール論理（したがって二値性の原理[ 14 ]）を否定し、ファジー論理のような多値論理に置き換えることが考えられます。ファジー論理では、命題の真偽値は0（「偽」を表す）から1（「真」を表す）までの任意の実数になります。[ 15 ] [ 16 ]