解釈（論理）

形式言語${\displaystyle {\mathcal {W}}}$アルファベットで定義できます${\displaystyle \alpha =\{\triangle ,\square \}}$、そして単語が${\displaystyle {\mathcal {W}}}$で始まる場合${\displaystyle \triangle }$そして、シンボルのみで構成されています${\displaystyle \triangle }$そして${\displaystyle \square }$。

考えられる解釈${\displaystyle {\mathcal {W}}}$10進数「1」を割​​り当てることができます${\displaystyle \triangle }$そして「0」から${\displaystyle \square }$。 それから${\displaystyle \triangle \square \triangle }$この解釈では101を表すことになる${\displaystyle {\mathcal {W}}}$。

命題論理と述語論理の具体的な場合、対象となる形式言語のアルファベットは、論理記号（論理定数）と非論理記号の2つのセットに分けられます。この用語の背後にある考え方は、論理記号は研究対象に関係なく同じ意味を持つのに対し、非論理記号は研究分野に応じて意味が変化するというものです。

論理定数は、標準的な解釈ではどの解釈でも常に同じ意味を持つため、非論理記号の意味だけが変更されます。論理定数には、量化記号 ∀ ("すべて") と ∃ ("いくつか")、論理結合子の記号∧ ("かつ")、∨ ("または")、¬ ("否定")、括弧やその他のグループ化記号、そして (多くの解釈では) 等号 = が含まれます。

言語の論理記号の中には（量化子を除いて）、真理関数を表す真理関数結合子 があります。真理関数とは、真理値を引数として受け取り、真理値を出力として返す関数です（言い換えれば、これらは文の真理値に対する演算です）。

真理関数的な結合子を用いることで、より単純な文から複合文を構築することができる。このようにして、複合文の真理値は、より単純な文の真理値の特定の真理関数として定義される。結合子は通常、論理定数とみなされる。つまり、結合子の意味は、論理式中の他の記号にどのような解釈が与えられようとも、常に同じである。

命題論理における論理結合子の定義は以下のとおりです。

• ¬Φ が真であるのは、 Φ が偽である場合に限る。
• (Φ ∧ Ψ) は、Φ が真であり、かつ Ψ が真である場合に限り真である。
• (Φ ∨ Ψ) は、Φ が真であるか、Ψ が真であるか（または両方が真であるか）のときにのみ真である。
• (Φ → Ψ) は、¬Φ が真であるか、Ψ が真であるか（または両方が真であるか）のときにのみ真である。
• (Φ ↔ Ψ) が真であるのは、(Φ → Ψ) が真であり、かつ (Ψ → Φ) が真である場合に限る。

したがって、すべての文文字 Φ と Ψ の特定の解釈（つまり、各文文字に真偽値を割り当てた後）の下で、論理結合子の関数として、それらを構成要素とするすべての論理式の真偽値を決定できます。次の表は、この種の処理がどのように見えるかを示しています。最初の 2 つの列は、4 つの可能な解釈によって決定された文文字の真偽値を示しています。その他の列は、これらの文文字から構築された論理式の真偽値を示しており、真偽値は再帰的に決定されます。

これで、論理的に妥当な式とは何かが分かりやすくなりました。式F : (Φ ∨ ¬Φ) を考えてみましょう。解釈関数によって Φ が真になると、否定結合子によって ¬Φ は偽になります。この解釈ではFの選言 Φ が真なので、 Fは真です。ここで、Φ の他に考えられる唯一の解釈は Φ を偽にするものなので、その場合、否定関数によって ¬Φ は真になります。この解釈ではFの選言 ¬Φ の 1 つが真になるので、 Fは再び真になります。F のこの 2 つの解釈が唯一可能な論理的解釈であり、どちらの解釈でもF が真になるので、F は論理的に妥当である、または同義であると言えます。

署名σが与えられたとき、対応する形式言語はσ式集合と呼ばれます。各σ式は、論理結合子を用いて原子式から構成されます。原子式は、述語記号を用いて項から構成されます。σ式集合の形式的な定義は、逆の方向に進みます。まず、定数記号、関数記号、および変数から項が組み立てられます。次に、署名からの述語記号（関係記号）または等号を表す特別な述語記号「="」（後述の「等号の解釈」の項を参照）を用いて、項を原子式に結合します。最後に、論理結合子と量化子を用いて、原子式から言語の式が組み立てられます。

一次言語のすべての文に意味を付与するには、以下の情報が必要です。

• 議論領域[ ^{a ] D}。通常は空でないことが求められる（下記参照）。
• すべての定数記号に対して、その解釈としてDの要素が与えられる。
• すべてのn項関数記号に対して、その解釈としてDからDへのn項関数(つまり、関数D ⁿ → D ) が存在します。  
• すべてのn項述語記号に対して、その解釈としてのD上のn項関係(つまり、D ⁿの部分集合) が存在する。

この情報を持つオブジェクトは、構造（シグネチャσの）、σ構造、L構造（言語Lの）、または「モデル」として知られています。

解釈で指定された情報は、任意の原子式に真偽値を与えるのに十分な情報を提供します。ただし、その原子式の自由変数（存在する場合）は、ドメインの要素に置き換えられます。任意の文の真偽値は、アルフレッド・タルスキによって開発された一階述語論理の定義であるTスキーマを使用して帰納的に定義されます。Tスキーマは、前述のように真理値表を使用して論理結合子を解釈します。したがって、たとえば、φ ∧ ψ は、φ と ψ の両方が満たされる場合に限り満たされます。

残る問題は、∀ x φ( x )および∃ x φ( x )の形式の式をどのように解釈するかである。議論領域は、これらの量化子の範囲を形成する。考え方としては、解釈の下で∀ x φ( x )という文が真となるのは、 x を議論領域の何らかの要素に置き換えた場合の φ( x ) のすべての置換インスタンスが満たされる場合である。式∃ x φ( x ) は、 φ( d ) を満たす議論領域の要素dが少なくとも 1 つ存在する場合に満たされる。

厳密に言えば、上述の式 φ( d ) のような置換インスタンスは、 dがドメインの要素であるため、φ の元の形式言語では式ではありません。この技術的な問題に対処する方法は 2 つあります。1 つ目は、ドメインの各要素に定数記号で名前を付ける、より大きな言語に移行することです。2 つ目は、各変数をドメインの要素に割り当てる関数を解釈に追加することです。そうすれば、T スキーマは置換インスタンスではなく、この変数割り当て関数が変更された元の解釈のバリエーションに対して量化することができます。

一部の著者は、一階述語論理において命題変数を認めており、その場合、命題変数も解釈されなければならない。命題変数は、原子式として単独で存在することができる。命題変数の解釈は、真と偽の2つの真理値のいずれかである。^{[ 3 ]}

ここで説明する一階述語解釈は集合論で定義されているため、各述語記号を性質^{[ b ]}（または関係）に関連付けるのではなく、その性質（または関係）の外延に関連付けます。言い換えれば、これらの一階述語解釈は内包的ではなく外延的です^{[ c ]}。

解釈の例${\displaystyle {\mathcal {I}}}$上記で説明した言語Lの仕様は以下のとおりです。

• ドメイン：チェスセット
• 個々の定数：a：白のキング、b：黒のクイーン、c：白のキングのポーン
• F(x): xはピースです
• G(x): xはポーンである
• H(x): xは黒色です
• I(x): xは白です
• J(x, y): xはyを捕捉できる

解釈において${\displaystyle {\mathcal {I}}}$Lの：

• 以下は正しい文です: F(a), G(c), H(b), I(a), J(b, c),
• 以下は偽の文です: J(a, c), G(a).

前述のように、議論領域として空でない集合を指定するには、通常、一階述語論理の解釈が必要です。この要件の理由は、次のような同値性を保証するためです。 $${\displaystyle (\phi \lor \exists x\psi )\leftrightarrow \exists x(\phi \lor \psi ),}$$xが φ の自由変数でない 場合、論理的に妥当です。この同値性は、空でない領域を持つすべての解釈で成り立ちますが、空の領域が許容される場合は必ずしも成り立ちません。たとえば、同値性 $${\displaystyle [\forall y(y=y)\lor \exists x(x=x)]\equiv \exists x[\forall y(y=y)\lor x=x]}$$ 空のドメインを持つ構造では失敗する。したがって、空の構造が許容されると、一階述語論理の証明論はより複雑になる。しかし、人々が研究する理論の意図された解釈と興味深い解釈の両方が空でないドメインを持つため、それらを許容することによる利点はごくわずかである。^{[ 4 ] [ 5 ]}

空の関係は、一階述語論理の解釈において何ら問題を引き起こしません。なぜなら、関係記号を論理結合子を通して受け渡し、その過程でスコープを拡大するという概念が存在しないからです。したがって、関係記号が常に偽であると解釈されても問題ありません。しかし、関数記号の解釈においては、常に明確に定義された完全な関数をその記号に割り当てなければなりません。

等号関係は、一階述語論理やその他の述語論理において、しばしば特別に扱われる。そのアプローチは大きく分けて2つある。

最初の方法は、等号を他の二項関係と何ら変わらないものとして扱うことです。この場合、等号がシグネチャに含まれると、通常、等号に関するさまざまな公理を公理系に追加する必要があります（例えば、a = bかつR ( a ) が成り立つならばR ( b ) も成り立つという置換公理など）。この等号に対するアプローチは、集合論のシグネチャや、数値の等号関係は存在するが数値の集合の等号関係は存在しない二階算術のシグネチャなど、等号関係を含まないシグネチャを研究する場合に最も有効です。

2つ目のアプローチは、等号関係記号を、あらゆる解釈において実際の等号関係によって解釈されなければならない論理定数として扱うことです。このように等号を解釈する解釈は正規モデルとして知られており、この2つ目のアプローチは、たまたま正規モデルである解釈のみを研究することと同じです。このアプローチの利点は、等号に関連する公理がすべての正規モデルによって自動的に満たされるため、等号をこのように扱う場合、一階述語論理に明示的に含める必要がないことです。この2つ目のアプローチは「等号付き一階述語論理」と呼ばれることもありますが、多くの著者は特に説明を加えることなく、一階述語論理の一般的な研究にこのアプローチを採用しています。

一階述語論理の研究を正規モデルに限定する理由は他にもいくつかあります。まず、等号が同値関係によって解釈され、等号の置換公理を満たす一階述語論理の解釈は、元​​の領域のサブセット上で初等的に等価な解釈に還元できることが知られています。したがって、非正規モデルを研究しても、一般性はほとんど向上しません。次に、非正規モデルを考慮すると、すべての無矛盾な理論は無限モデルを持つことになります。これは、通常、正規モデルのみを考慮するという前提で述べられているレーヴェンハイム・スコーレムの定理などの結果の記述に影響を与えます。

一階述語論理の一般化では、複数の種類の変数を持つ言語を扱います。異なる種類の変数は、異なる種類のオブジェクトを表すという考え方です。すべての種類の変数は量化可能であるため、多種類変数言語の解釈では、各種類の変数が範囲を持つ領域が別々に存在します（各種類の変数は無限に存在します）。関数記号と関係記号は、引数の数に加えて、それぞれの引数が特定の種類の変数から取得されるように指定されます。

多ソート論理の一例として、平面ユークリッド幾何学が挙げられます。ソートは点と線という2種類あります。点には等号関係記号、線には等号関係記号があり、点変数1つと線変数1つを取る二項関係Eがあります。この言語の意図された解釈では、点変数はユークリッド平面上のすべての点を、線変数は平面上のすべての線をそれぞれ取り、関係E ( p , l )は点pが線l上にある場合に限り成立します。

単純な形式システム（これを と呼ぶことにする）${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$アルファベットαが3つの記号のみから構成される${\displaystyle \{\blacksquare ,\bigstar ,\blacklozenge \}}$そして、その数式形成規則は次のとおりです。

「任意の記号列${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$少なくとも 6 文字の長さで、無限に長くない式は、${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$他に公式はない${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$.'

単一の公理図式${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$は：

「${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ast \blacklozenge \ \blacksquare \ast }$" （どこ "${\displaystyle \ast }$「は、有限文字列を表すメタ構文変数です」${\displaystyle \blacksquare }$"s )

形式的な証明は次のように構成できる。

1. ${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare }$
2. ${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare }$
3. ${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare }$

この例では、定理は「${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare }$「は「1+3=4」と解釈できる。別の解釈としては、逆から読むと「4-3=1」となる。^{[ 9 ]}