連続体の濃度

集合論において、連続体の基数は、実数の集合の基数または「サイズ」であり、連続体と呼ばれることもあります。これは無限基数であり、 （小文字のフラクトゥール「c」）または^[1]で表されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathbf {\mathfrak {c}}}}$${\displaystyle {\mathbf {|}}{\mathbf {\mathbb {R} }}{\mathbf {|}}}$

実数は自然数よりも多い。さらに、はのべき集合と同じ数の要素を持つ。記号的に、 の濃度を と表すと、連続体の濃度は ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \aleph_{0}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}.}$

これは、1874 年のゲオルク カントールの不可算性の証明で証明されました。これは、さまざまな無限に関する彼の画期的な研究の一部です。この不等式は、後に 1891 年の対角線上の議論でより簡単に述べられました。カントールは、濃度を全単射関数の観点から定義しました。つまり、2 つの集合が同じ濃度を持つのは、それらの集合の間に全単射関数が存在する場合のみです。

任意の2 つの実数a  <  bの間には、それらの数がどれだけ近かったとしても、常に他の実数が無限に存在し、カントールはそれらの数が実数全体の集合に含まれる数と同じであることを示した。言い換えると、開区間( a , b ) はと同数であり、任意のn次元ユークリッド空間(空間充填曲線を参照)などの他のいくつかの無限集合とも同数である。つまり、 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle |(a,b)|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {R} ^{n}|.}$

最小の無限基数は(アレフゼロ) です。2番目に小さい基数は(アレフワン) です。連続体仮説は、基数が厳密にと の間にある集合は存在しないと主張し、 を意味します。^[2]この仮説の真偽は決定不可能であり、広く使用されている選択公理を持つツェルメロ-フランケル集合論(ZFC) では証明できません。${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$

ゲオルク・カントールは、無限集合の大きさを比較するために濃度の概念を導入しました。彼は、実数の集合が無限に無限であることを示したことで有名です。つまり、は自然数の濃度よりも確実に大きいということです 。${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \aleph_{0}}$

${\displaystyle \aleph _{0}<{\mathfrak {c}}.}$

実際には、これは実数のほうが整数の数より厳密に多いことを意味します。カントールはこの主張をいくつかの異なる方法で証明しました。このトピックの詳細については、カントールの最初の不可算性の証明とカントールの対角線論法を参照してください。

カントールの対角線議論のバリエーションは、カントールの定理を証明するために使用できます。これは、任意の集合の濃度がその冪集合の濃度よりも厳密に小さいことを述べています。つまり、（したがって、自然数の冪集合は可算ではありません）。^[3]実際、 の濃度は、定義によりに等しくなります。これは、可算無限集合の部分集合と実数との間の両方向の 1 対 1 マッピングを提供し、両方向に 1 対 1 マッピングを持つ 2 つの集合は同じ濃度を持つというカントール・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理を適用することによって示されます。 ^{[4] [5]}一方向では、実数は、デデキント切断、有理数の集合、^[4]またはその2 進展開と同等に考えることができます。^[5]逆に、半開区間 の数の2進展開は、展開が1である位置の集合として見ると、可算集合の部分集合（展開内の位置の集合）から実数への1対1のマッピングをほぼ与えますが、2進展開が終端する数に対しては1対1にはなりません。これは、1の繰り返しシーケンスで終わる非終端展開によっても表すことができます。これは、非終端の繰り返し1展開に1を加えて にマッピングする によって1対1のマッピングにすることができます。[ ^5]したがって、次の結論が導かれます。^{[4] [5]}${\displaystyle |A|<2^{|A|}}$${\displaystyle \wp (\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \wp (\mathbb {N} )}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle [0,1)}$${\displaystyle [1,2)}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=|\wp (\mathbb {N} )|=2^{\aleph _{0}}.}$

基数等式は基数算術を使って証明できます。 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}=(2^{\aleph _{0}})^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.}$

基数算術の規則を使うと、次のことも示せます。

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\aleph _{0}}^{\aleph _{0}}=n^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}^{n}=\aleph _{0}{\mathfrak {c}}=n{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}}$

ここでnは2以上の任意の有限基数であり、

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}}}$

ここで、 はRの冪集合の濃度であり、です。 ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}}$

すべての実数には少なくとも1つの無限小数展開があります。たとえば、

(これは、最初の 2 つの例のように、展開が繰り返される場合にも当てはまります。)

どのような場合でも、小数点以下の桁数は自然数の集合と1 対 1に対応させることができるため、可算です。これにより、たとえば π の小数点第 1 位、第 100 位、第 100 万位などについて話すことが合理的になります。自然数には基数があるため、各実数はその展開時に桁を持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \aleph_{0},}$${\displaystyle \aleph_{0}}$

各実数は整数部分と小数部分に分解できるため、次のようになります。

${\displaystyle {\mathfrak {c}}\leq \aleph _{0}\cdot 10^{\aleph _{0}}\leq 2^{\aleph _{0}}\cdot {(2^{4})}^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}}$

そこで私たちは

${\displaystyle \aleph_{0}+4\cdot \aleph_{0}=\aleph_{0}\,}$

一方、3や7のみを含む小数が実数の一部にすぎないと考えて、次のよう に表すと、${\displaystyle 2=\{0,1\}}$${\displaystyle \{3,7\}}$

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}\,}$

そしてこうして

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}\,.}$

beth 数のシーケンスは、と を設定することで定義されます。2番目の beth 数であるbeth-oneも同様です。 ${\displaystyle \beth_{0}=\aleph_{0}}$${\displaystyle \beth_{k+1}=2^{\beth_{k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\beth _{1}.}$

3 番目の beth 数beth-twoは、 のべき集合 (つまり、実数直線のすべての部分集合の集合)の濃度です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}.}$

連続体仮説は、 が2番目のアレフ数でもあると主張している。^[2]言い換えれば、連続体仮説は、濃度がと の間に厳密に収まる集合は存在しないと述べている。${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle \nexists A\quad :\quad \aleph _{0}<|A|<{\mathfrak {c}}.}$

この命題は、現在では、選択公理 (ZFC) を持つツェルメロ-フランケル集合論の公理とは独立であることが分かっており、クルト・ゲーデルとポール・コーエンによって示されています。^{[6] [7] [8]}つまり、仮説とその否定は両方ともこれらの公理と整合しています。実際、すべての非ゼロの自然数 nに対して、等式= はZFC とは独立しています (連続体仮説の場合)。他のほとんどのアレフについても同じことが言えますが、共終性(例)を理由にケーニッヒの定理によって等式が否定される場合もあります。特に、はまたは のいずれかであり、 は最初の不可算順序数であるため、後続基数または極限基数のいずれか、および通常基数または特異基数のいずれかです。 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \aleph _{n}}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}\neq \aleph _{\omega }}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{\omega _{1}}}$${\displaystyle \omega _{1}}$

数学で研究される集合の多くは、濃度が に等しい。一般的な例をいくつか挙げると、次のようになる。 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

基数が大きいセットには次のものが含まれます。 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

• のすべての部分集合の集合（すなわち、べき集合）${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$
• 実数の部分集合上で定義された指示関数の集合2 ^R （集合はと同型であり 、指示関数は各部分集合に含める要素を選択する）${\displaystyle 2^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$
• からまでのすべての関数の集合${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• のルベーグσ-代数、すなわち、内のすべてのルベーグ可測集合全体の成す集合。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• からまでのすべてのルベーグ積分可能関数の集合${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• からまでのルベーグ測定可能な関数全体の集合${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 、、のストーン・チェフコンパクト化${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 複素数の（離散）体のすべての自己同型集合。

これらはすべて基数（ベス2） を持っています${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}}$

• 連続体の基本特性

• ポール・ハルモス、素朴集合論。ニュージャージー州プリンストン: D. Van Nostorm Company、1960 年。Springer -Verlag 社、ニューヨーク、1974 年再版。ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag 版)。 
• Jech, Thomas、2003年。「集合論：第三千年紀版、改訂・拡張版」Springer。ISBN 3-540-44085-2。 
• クネン、ケネス、1980年。「集合論：独立性証明入門」エルゼビア。ISBN 0-444-86839-9。 

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