角速度

半径⁠の円運動の最も単純なケースでは${\displaystyle r}$位置は角度変位によって与えられる${\displaystyle \phi (t)}$x軸から見て、軌道角速度は時間に対する角度の変化率である。${\displaystyle \textstyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}}$⁠ . もし${\displaystyle \phi }$はラジアンで測定され、円周上の正のx軸から粒子までの弧長は です。${\displaystyle \ell =r\phi }$⁠、そして線速度は⁠${\displaystyle \textstyle v(t)={\frac {d\ell }{dt}}=r\omega (t)}$⁠、そのため⁠${\displaystyle \textstyle \omega ={\frac {v}{r}}}$⁠ .

平面内を運動する粒子の一般的な場合、軌道角速度は、選択した原点に対する位置ベクトルが角度を「掃引」する速度です。図は位置ベクトルを示しています。${\displaystyle \mathbf {r} }$起源から${\displaystyle O}$粒子へ${\displaystyle P}$⁠、その極座標付き${\displaystyle (r,\phi )}$（すべての変数は時間の関数です）${\displaystyle t}$⁠ .) 粒子は、次のように線形速度分裂を起こす。$\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\Vert }+\mathbf {v} _{\perp }}$半径方向成分を含む$\displaystyle \mathbf {v} _{\|}}$半径に平行な成分と、半径方向（または接線方向）に直交する成分$\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$半径に垂直な方向。半径方向の成分がない場合、粒子は原点の周りを円運動しますが、半径方向の成分がない場合、原点から直線運動します。半径方向の運動では角度が変化しないため、線速度の半径方向の成分のみが角速度に寄与します。

角速度ωは、時間に対する角位置の変化率であり、これは交差半径速度から次のように計算できます。 $${\displaystyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}={\frac {v_{\perp }}{r}}.}$$

ここでは、半径方向の速度${\displaystyle v_{\perp }}$はの符号付き大きさです$\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$反時計回りの場合は正、時計回りの場合は負。線速度を極座標で表す。${\displaystyle \mathbf {v} }$与える${\displaystyle v}$（線速度）と角度${\displaystyle \theta }$半径ベクトルに対して相対的に、この用語では、${\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}$⁠、そのため $${\displaystyle \omega ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}.}$$

これらの式は、以下の方法で導き出すことができます。${\displaystyle \mathbf {r} =(r\cos(\varphi ),r\sin(\varphi ))}$⁠、${\displaystyle r}$原点からの距離の時間に関する関数であり、${\displaystyle \varphi }$ベクトルとx軸の間の角度の関数。すると： $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=({\dot {r}}\cos(\varphi )-r{\dot {\varphi }}\sin(\varphi ),{\dot {r}}\sin(\varphi )+r{\dot {\varphi }}\cos(\varphi )),}$$ これは以下と等しい： $${\displaystyle {\dot {r}}(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))+r{\dot {\varphi }}(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}}$$ （円筒座標における単位ベクトルを参照）。

知る​${\displaystyle \textstyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v} }$⁠、速度の半径方向成分は次のように与えられると結論付けられます。${\displaystyle {\dot {r}}}$なぜなら​${\displaystyle {\hat {r}}}$は半径方向の単位ベクトルであり、垂直成分は次のように表される。${\displaystyle r{\dot {\varphi }}}$なぜなら${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$は垂直な単位ベクトルです。

2次元空間において、角速度はプラスまたはマイナスの符号を持つ数値であり、向きを示すものではあるが、方向を示すものではない。慣例として、半径ベクトルが反時計回りに回転する場合は正、時計回りに回転する場合は負とされる。したがって、角速度は擬似スカラーと呼ばれることがあり、これは、一方の軸を反転させたり、2つの軸を入れ替えたりするなど、パリティ反転によって符号が変化する数値である。

3次元空間では 、運動する粒子の位置ベクトルrが再び与えられます。ここで、軌道角速度は擬似ベクトルであり、その大きさはrが角度を掃引する速度（単位時間あたりのラジアン）であり、方向はrが角度を掃引する瞬間的な平面（つまり、 rとvによって張られる平面）に垂直です。しかし、どの平面にも垂直な方向が2つあるため、角速度の方向を一意に指定するには追加の条件が必要です。慣例として、右手の法則が使用されます。

擬似ベクトルを${\displaystyle \mathbf {u} }$rとvによって張られる平面に垂直な単位ベクトルを とし、右手の法則が満たされるようにする（つまり、角変位の瞬間的な方向は、上から見たときに反時計回りである）。${\displaystyle \mathbf {u} }$（）極座標を取る${\displaystyle (r,\phi )}$この平面では、上記の二次元の場合と同様に、軌道角速度ベクトルを次のように定義することができる。

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {u} ={\frac {d\phi }{dt}}\mathbf {u} ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}\mathbf {u} ,}$

どこで${\displaystyle \theta }$⁠は、 ⁠間の角度です${\displaystyle \mathbf {r} }$そして​​${\displaystyle \mathbf {v} }$外積の観点から見ると、これは次のようになります。

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}.}$^{[ 4 ]}

上記の式から、接線速度を次のように求めることができる。

${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$

固定点Oを中心に回転する剛体を考える。剛体内の基準座標系を、直交ベクトルの集合から構成されるように構築する。${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$フレームとフレームは物体に固定され、共通の原点をOとする。Oを中心としたフレームと物体のスピン角速度ベクトルは次のようになる。

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left({\dot {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\right)\mathbf {e} _{3}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\right)\mathbf {e} _{2},}$

どこ${\displaystyle {\dot {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {d\mathbf {e} _{i}}{dt}}}$はフレームベクトルの時間変化率です。${\displaystyle \mathbf {e} _{i},i=1,2,3}$回転のため。

この式は軌道角速度の式と矛盾する。

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}{r^{2}}},}$

その式はOを中心とした一点の角速度を定義するのに対し、このセクションの式はフレームまたは剛体に適用されます。剛体の場合、単一の${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$体内のすべての粒子の動きを考慮に入れる必要がある。

スピン角速度擬似ベクトルの成分は、レオンハルト・オイラーがオイラー角と中間座標系を用いて初めて計算した。

• 基準座標系の軸の一つ（歳差運動軸）
• 基準座標系に対する移動座標系の節点の線（章動軸）
• 可動フレームの軸の一つ（固有回転軸）

オイラーは、角速度擬似ベクトルのこれら３つの軸への射影は、対応する角度の導関数であることを証明した（これは、瞬間回転を３つの瞬間オイラー回転に分解することに相当する）。したがって：^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\alpha }}\mathbf {u} _{1}+{\dot {\beta }}\mathbf {u} _{2}+{\dot {\gamma }}\mathbf {u} _{3}}$

この基底は正規直交ではなく、使いづらいのですが、基底を変更するだけで速度ベクトルを固定座標系または移動座標系に変換できるようになりました。例えば、移動座標系に変換すると次のようになります。

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma ){\hat {\mathbf {i} }}+({\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma ){\hat {\mathbf {j} }}+({\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}){\hat {\mathbf {k} }}}$

どこ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}$これらは、移動物体に固定された座標系の単位ベクトルです。この例では、オイラー角にZXZ表記法を使用しています。