加法逆数

数学において、元xの加法逆元は-x ^[1]と表記され、 xに加えられたときに加法単位元0 ^[2]を生成する元である。最も一般的なケースでは、これは数値0であるが、より一般化されたゼロ元を指すこともある。

初等数学では、加法逆数はしばしば反対数と呼ばれます^{[3] [4] 。この概念は}減算と密接に関連しており^{[5] 、}代数方程式を解く際に重要です^[6]。加算が定義されているすべての集合に加法逆数があるわけではありません。例えば自然数^[7]。

整数、有理数、実数、複素数 を扱う場合、任意の数の加法逆数は、その数に−1を掛けることで求めることができます。^[6]

この概念は代数式にも拡張することができ、方程式のバランスを取るときによく使用されます。

加法の逆は減算と密接に関連しており、減算は逆を使った加算と見なすことができます。

a − b  =  a + (− b )です。

逆に、加法逆数はゼロからの減算と考えることができます。

− a  = 0 − aです。

この関係により、マイナス記号は17世紀にまで遡って、反対の大きさと減算の両方に使用されていました。この表記法は現在では標準となっていますが、当時は数学者の中には不明瞭で間違いを招く可能性があると感じた人もおり、反対されました。^[8]

加法的な恒等式を持つ加法の下で定義された代数構造が与えられたとき、要素が加法的な逆元を持つ必要十分条件は、、、およびである。^[7]${\displaystyle (S,+)}$${\displaystyle e\in S}$${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y\in S}$${\displaystyle x+y=e}$${\displaystyle y+x=e}$

加算は通常、交換演算を指すためにのみ使用されますが、必ずしも結合的であるとは限りません。結合的である場合、つまり の場合、左逆と右逆が存在する場合は一致し、加法逆は一意になります。結合的でない場合は、左逆と右逆が一致しない可能性があり、このような場合は逆は存在しないと見なされます。 ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$

定義では、加法元がに見つかる閉包 を必要とします。これが、自然数に対して加法が定義されているにもかかわらず、そのメンバーの加法逆元がない理由です。関連する逆元は負の数であり、これが整数に加法逆元がある理由です。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$

• ベクトル空間では、加法逆ベクトル−v（vの逆ベクトルと呼ばれることが多い）はvと同じ大きさを持ち、方向が反対である。^[9]
• モジュラー算術において、xのモジュラー加法逆数はa + x ≡ 0 (mod n )となる数aであり、常に存在する。例えば、3を11で割った逆数は8であり、3 + 8 ≡ 0 (mod 11)となる。^[10]
• ブール環には元 があり、加法は対称差として定義されることが多い。つまり、、、 である。加法恒等式は 0 であり、両方の元は および として自身の加法逆元である。[ ^11]${\displaystyle \{0,1\}}$${\displaystyle 0+0=0}$${\displaystyle 0+1=1}$${\displaystyle 1+0=1}$${\displaystyle 1+1=0}$${\displaystyle 0+0=0}$${\displaystyle 1+1=0}$

• 絶対値（恒等式|− x | = | x |を介して関連付けられます）。
• モノイド
• 逆関数
• 反転（数学）
• 逆数
• 反射（数学）
• 反射対称性
• セミグループ