ピストン運動方程式

回転するクランクにコネクティングロッドを介して接続された非オフセットピストン（内燃機関に見られるもの）の往復運動は、運動方程式で表現できます。この記事では、微積分を使用してこれらの運動方程式を角度（角度領域）と時間（時間領域）の関数としてどのように導くことができるかを示します。

ピストン、ロッド、クランクで構成されるシステムの形状は、次の図のように表されます。

上の図に示すジオメトリから、次の変数が定義されます。

${\displaystyle l}$ ロッド長さ（ピストンピンとクランクピン間の距離）

${\displaystyle r}$ クランク 半径（クランク中心とクランクピン間の距離、つまり半ストローク）

${\displaystyle A}$クランク角度（TDCにおけるシリンダー ボア中心線から）

${\displaystyle x}$ピストンピンの位置（シリンダーボアの中心線に沿ったクランク中心から上方の距離）

次の変数も定義されています。

${\displaystyle v}$ピストンピン速度（クランク中心からシリンダボア中心線に沿って上向き）

${\displaystyle a}$ピストンピンの加速（クランク中心からシリンダーボア中心線に沿って上向き）

${\displaystyle \omega}$クランク角速度（クランク角度と同じ方向/方向）${\displaystyle A}$

クランクシャフトの回転周波数( Hz ) は、エンジンの速度 (毎分回転数) と次のように関係します。

${\displaystyle \nu ={\frac {\mathrm {RPM} }{60}}}$

したがって、クランクシャフトの 角速度（ラジアン/秒）は次のようになります。

${\displaystyle \omega =2\pi \cdot \nu =2\pi \cdot {\frac {\mathrm {RPM} }{60}}}$

図に示すように、クランクピン、クランクセンター、ピストンピンは三角形 NOP を形成します。余弦定理
により次のことがわかります。

${\displaystyle l^{2}=r^{2}+x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A}$

ここで、およびは定数であり、変化に応じて変化します。 ${\displaystyle l}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$

角度領域方程式は角度の関数として表現されます。

ピストンの往復運動の角度領域方程式は、次のようにシステムの幾何学方程式から導出されます。

クランク角度に対する位置（三角形の関係から、平方完成し、ピタゴラスの定理を利用し、並べ替える）：

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}l^{2}=r^{2}+x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A\\l^{2}-r^{2}=(xr\cdot \cos A)^{2}-r^{2}\cdot \cos ^{2}A\\l^{2}-r^{2}+r^{2}\cdot \cos ^{2}A=(xr\cdot \cos A)^{2}\\l^{2}-r^{2}\cdot (1-\cos ^{2}A)=(xr\cdot \cos A)^{2}\\l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A=(xr\cdot \cos A)^{2}\\x=r\cdot \cos A+{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}\\\end{配列}}}$

クランク角度に対する速度（連鎖律を使用して一次導関数を取る）：

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'&=&{\frac {dx}{dA}}\\&=&-r\cdot \sin A+{\frac {({\frac {1}{2}})\cdot (-2)\cdot r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}\\&=&-r\cdot \sin A-{\frac {r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}\\\end{array}}}$

クランク角度に関する加速度（連鎖律と商則を使用して2次導関数を取る）：

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x''&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\\&=&-r\cdot \cos A-{\frac {r^{2}\cdot \cos ^{2}A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}-{\frac {-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}-{\frac {r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)\cdot (-2)\cdot r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}\right)^{3}}}\\&=&-r\cdot \cos A-{\frac {r^{2}\cdot \left(\cos ^{2}A-\sin ^{2}A\right)}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}-{\frac {r^{4}\cdot \sin ^{2}A\cdot \cos ^{2}A}{\left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}\right)^{3}}}\\\end{array}}}$

上記の角度領域方程式は、ピストン（ロッドとクランクに接続）の動きが単純な調和運動ではなく 、クランクの回転とともに揺れるロッドの動きによって修正されることを示しています。これは、単純な調和運動を直接生成する スコッチヨークとは対照的です。

角度領域方程式のグラフの例を以下に示します。

時間領域方程式は時間の関数として表現されます。

角度は角速度によって次のように時間と関連します。 ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle A=\omega t\,}$

角速度が一定の場合、次のようになります。 ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\omega }$

そして：

${\displaystyle {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}=0}$

ピストンの往復運動の時間領域方程式は、角度領域方程式から次のように導出されます。

時間に対する位置は単純に次のようになります。

${\displaystyle x\,}$

時間に対する速度（連鎖律を使用）:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}v&=&{\frac {dx}{dt}}\\&=&{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {dA}{dt}}\\&=&{\frac {dx}{dA}}\cdot \ \omega \\&=&x'\cdot \omega \\\end{array}}}$

時間に対する加速度（連鎖律と積の法則、および角速度導関数を使用）：

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}a&=&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d}{dt}}{\frac {dx}{dt}}\\&=&{\frac {d}{dt}}({\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {dA}{dt}})\\&=&{\frac {d}{dt}}({\frac {dx}{dA}})\cdot {\frac {dA}{dt}}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d}{dt}}({\frac {dA}{dt}})\\&=&{\frac {d}{dA}}({\frac {dx}{dA}})\cdot ({\frac {dA}{dt}})^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\cdot ({\frac {dA}{dt}})^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\cdot \omega ^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot 0\\&=&x''\cdot \omega ^{2}\\\end{array}}}$

以上のことから、時間領域方程式は角度領域方程式を単純にスケールした形式であることがわかります。はスケールなし、はωでスケール、 はω²でスケールされます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle x''}$

角度領域方程式を時間領域に変換するには、まずA をωtに置き換え、次にωを掛けてω²を掛けて、角速度を次のようにスケーリングします。 ${\displaystyle x'}$${\displaystyle x''}$

定義により、速度の最大値と最小値は 加速度ゼロ（水平軸の交差点）で発生します。

速度の最大値と最小値(下のグラフの加速度ゼロ交差を参照) はロッド長と半ストロークに依存し、クランク角度が直角の 場合には発生しません。${\displaystyle l}$${\displaystyle r}$${\displaystyle A}$

速度の最大値と最小値は、クランクがロッドに対して直角をなすときに必ずしも発生するわけではありません。 「速度の最大値と最小値は、クランクとロッドの角度が直角の場合にのみ発生する」という主張を反証する反例が存在します。

ロッドの長さが 6 インチでクランクの半径が 2 インチの場合 (以下のグラフの例を参照)、加速度のゼロ交差を数値的に解くと、速度の最大値/最小値はクランク角度 ±73.17615° にあることがわかります。次に、三角正弦法則を使用すると、ロッド垂直角度は 18.60647°、クランクとロッドの角度は 88.21738° であることがわかります。明らかに、この例では、クランクとロッドの間の角度は直角ではありません。三角形の角度 88.21738° + 18.60647° + 73.17615° を合計すると、180.00000° になります。1 つの反例で、「速度の最大値/最小値は、クランクがロッドと直角をなすときに発生する」という記述を反証するのに十分です。

以下のグラフは、一定のロッドの長さ(6.0 インチ) とさまざまなハーフストロークの値(1.8 インチ、2.0 インチ、2.2 インチ) に対する角度領域の方程式を示しています。グラフでは、 Lはロッドの長さ、 R はハーフストロークであることに注意してください。${\displaystyle l}$${\displaystyle r}$${\displaystyle l}$${\displaystyle r}$

以下は、上のグラフと同じロッド長さとクランク半径の値を持つピストン運動方程式のアニメーションです。

自動車やホットロッドでの使用例では、ピストンロッドクランク形状の長さの最も便利な単位（愛好家が使用）はインチであり、一般的な寸法はロッドの長さが 6 インチ、クランクの半径が 2 インチであることに注意してください。この記事では、上のグラフに示すように、位置、速度、加速度にインチ（"）単位を使用しています。

• ヘイウッド、ジョン・ベンジャミン (1988)。内燃機関の基礎(第 1 版)。マグロウヒル。ISBN 978-0070286375。
• テイラー、チャールズ・フェイエット（1985年）。『理論と実践における内燃機関』第1巻と第2巻（第2版）。MITプレス。ISBN 978-0262700269。
• 「ピストン運動の基礎 @ epi-eng.com」。

• アニメーションエンジン アニメーションオットーエンジン
• desmos インタラクティブ ストローク vs ロッド ピストン位置と導関数
• desmos インタラクティブクランクアニメーション
• codecogs ピストン速度と加速度
• youtube 回転するSBC 350エンジン
• youtube V8エンジンの3Dアニメーション
• youtube V8エンジン内部