方位量子数

量子力学において、方位量子数 $ℓは$ 原子軌道の量子数であり、その軌道角運動量を決定し、軌道の角度形状の側面を記述する。方位量子数は、電子の固有の量子状態を記述する一連の量子数のうちの2番目である（他の3つは主量子数 $n$ 、磁気量子数 $mℓ$ 、スピン量子数 $ms$ $である$ $）$ 。

主量子数 $n$ (電子殻 $) の特定の値に対して、 ℓ$ の取りうる値は0 から $n - 1 まで$ の整数です。例えば、 $n = 1 の$ 殻には、次の軌道しかありません。 $\ell =0$ 、 $n = 2$ 殻には、 $\ell =0$ 、そして $\ell =1$ 。

方位量子数 $ℓ$ の特定の値に対して、磁気量子数 $m ℓの取りうる値は、$ $m ℓ =-ℓから$ $m ℓ =+ℓ$ までの整数であり、0 も含まれます。さらに、スピン量子数 $m s は$ $2 つの異なる値をとることができます。特定のℓ$ の値に関連付けられた軌道の集合は、まとめてサブシェルと呼ばれることがあります。

もともとは孤立した原子にのみ用いられていた原子軌道は、気体、液体、固体を含む化合物中の電子配置において重要な役割を果たしている。量子数 $ℓは、各原子の周囲の異なる軌道の$ 球面調和関数の角度依存性との関連において、ここで重要な役割を担っている。

命名法

「方位量子数」という用語は、1915年にアーノルド・ゾンマーフェルトによって導入されました^{[ 1 ]}^{: II:132}原子スペクトルのエネルギー構造のアドホックな記述の一部として。原子の量子モデルが登場してから初めて、この数 $ℓ$ が軌道角運動量の量子化から生じることが理解されました。いくつかの教科書^{[ 2 ]}^{: 199}およびISO規格80000-10:2019 ^{[ 3 ]} $では、 ℓを$ 軌道角運動量量子数と呼んでいます。

外部磁場中の原子のエネルギー準位は $mℓ値に依存するため、 mℓ$ は磁気量子数と呼ばれることもある。^{[ 4 ]}^{： 240}

小文字の $ℓ$ は、単一粒子の軌道角運動量を表すのに使用されます。複数の粒子からなるシステムの場合は、大文字の $L$ が使用されます。^{[ 3 ]}

原子軌道との関係

孤立した原子の電子のエネルギー状態には、n、ℓ、mℓ、ms_という4つの量子数が関係しています。これらの4つの数は_、原子内の任意の単一電子の固有かつ完全な量子状態を規定し、それらが組み合わさって電子の波動関数、すなわち軌道を構成します。

波動関数を求めるためにシュレーディンガー方程式を解くと、最初の3つの量子数につながる3つの方程式に分解されます。つまり、これら3つの方程式は相互に関連しています。方位量子数は、波動方程式の極座標部分を解く際に現れます。これは球座標系に依存しており、一般的に球対称性が十分に備わっているモデルで最もよく機能します。

電子の角運動量 $Lは、その量子数$ $ℓ$ と次の式で関係付けられる。

$\mathbf {L} ^{2}\Psi =\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\Psi ,$

ここで $ħ$ は換算プランク定数、 $L$ は軌道角運動量演算子であり、 $\Psi$ は電子の波動関数です。量子数 $ℓ$ は常に非負の整数（0、1、2、3など）です。（特に、 $Lは$ 角運動量演算子として使用される場合を除き、実際には意味を持ちません。したがって、角運動量について言及する際には、量子数 $ℓを使用するのが一般的です。）$

原子軌道は独特の形状を持ち（上の図を参照）、s、p、d、fなどの文字（分光法に由来する慣例を使用）で原子軌道の形状を表します。これらの軌道の波動関数は球面調和関数の形をとるため、ルジャンドル多項式で記述されます。ℓの異なる（整数）値に関連するいくつかの軌道は、サブシェルと呼ばれることがあり、歴史的な理由から小文字のラテン文字で表されます。これは、「方位量子数に対応する量子サブシェル」の表に示されています。

それぞれの異なる角運動量状態には、2(2ℓ + 1)個の電子が収容できます_。これは、第3量子数mℓ（z軸への角運動量ベクトルの量子化された射影と大まかに考えることができます）が整数単位で-ℓからℓまで変化するため、2ℓ + 1個の可能な状態が存在するからです。それぞれの異なるn 、ℓ、mℓ_軌道には、反対のスピン（量子数m _s = ± 1/2で与えられる）を持つ2個の電子が収容でき、合計で2(2ℓ + 1)個の電子が収容されます。表に示されている値よりも高いℓを持つ軌道も完全に許容されますが、これらの値はこれまでに発見されたすべての原子を網羅しています。

主量子数nの特定の値に対して、 ℓの可能な値は0 から $n - 1$ までです。したがって、 $n = 1 の$ 殻はs 副殻のみを持ち、2 つの電子しか収容できません。n $= 2 の殻は$ sとp副殻を持ち、合計8 つの電子を収容できます $。n = 3 の殻は$ s、p、およびd副殻を持ち、最大 18 個の電子を持ちます。以下同様です。

単純な1電子モデルでは、エネルギー準位は主数のみに依存します。より複雑な原子では、すべての $n$ $> 1に対してこれらのエネルギー準位$ が分裂し、より高いℓの状態がより低いℓの状態よりも高くなります。たとえば、2pのエネルギーは2sよりも高く、3dは3pよりも高く、3pは3sよりも高くなります。この効果により、周期表のブロック構造が形成されます。既知の原子で、基底状態においてℓが3（ f）より大きい電子を持つものはありません。

角運動量量子数ℓとそれに対応する球面調和関数は、原子核を通過する平面節の数を決定します。平面節は、電磁波において波の山と谷の中間点として記述でき、その大きさはゼロです。s軌道では、原子核を通過する節はないため、対応する方位角量子数ℓは0の値をとります。p軌道では、 1つの節が原子核を通過するため、ℓは1の値をとります。 $L$ 値 ${\sqrt {2}}\hbar$ 。

nの値に応じて、角運動量量子数ℓと以下の系列が存在する。記載されている波長は水素原子のものである。

$n=1,L=0$ ライマン系列（紫外線）
$n=2,L={\sqrt {2}}\hbar$ バルマー系列（可視光）
$n=3,L={\sqrt {6}}\hbar$ リッツ・パッシェン系列（近赤外線）
$n=4,L=2{\sqrt {3}}\hbar$ ブラケットシリーズ（短波長赤外線）
$n=5,L=2{\sqrt {5}}\hbar$ 、Pfundシリーズ（中波長赤外線）。

量子化された角運動量の追加

量子化された全角運動量が与えられた場合 $\mathbf {j}$ それは2つの個々の量子化された角運動量の合計です $\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}_{1}}$ そして $\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}_{2}}$ 、 $\displaystyle \mathbf {j} ={\boldsymbol {\ell }}_{1}+{\boldsymbol {\ell }}_{2}}$ 量子数 $j$ その規模に関連する範囲は $|\ell _{1}-\ell _{2}|$ に $\ell_1+\ell_2$ 整数ステップで $\displaystyle \ell _{1}}$ そして $\displaystyle \ell _{2}}$ これらは、個々の角運動量の大きさに対応する量子数である。

原子内の電子の全角運動量

原子内のスピン軌道相互作用により、軌道角運動量はハミルトニアンと可換ではなくなり、スピンも同様です。したがって、これらは時間とともに変化します。しかし、全角運動量 $J$ は一電子ハミルトニアンと可換であるため、一定です。J $は$ 次のように定義されます。 $\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S}$ $L$ は軌道角運動量、 $S$ はスピンである。全角運動量は軌道角運動量と同じ交換関係を満たす。すなわち、 $[J_{i},J_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}J_{k}$ これから次のことが導かれる $\left[J_{i},J^{2}\right]=0$ ここで、 $J i は$ $J x$ 、 $J y$ 、および $J z$ を表します。

系を記述する量子数は、時間的に一定であり、波動関数に対する $J$ の作用によって定義される $j$ と $m jである。$ $\Psi$ ${\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}\Psi &=\hbar ^{2}j(j+1)\Psi \\[1ex]\mathbf {J} _{z}\Psi &=\hbar m_{j}\Psi \end{aligned}}$

つまり、 $j$ は全角運動量のノルムに関係し、 $m j は$ 特定の軸に沿ったその射影に関係する。j の数は相対論的量子化学において特に重要であり、スピン軌道相互作用が重要なコア近傍のより深い状態を表す添え字としてよく用いられる。

量子力学におけるあらゆる角運動量と同様に、 $Jの他の軸への射影は$ $J z$ と同時に定義することはできません。なぜなら、それらは可換ではないからです。ハミルトニアンの固有ベクトルでもある $j$ 、 $s$ 、 $m$ $j$ およびパリティの固有ベクトルは $、 ℓ$ 、 $s$ 、 $m$ $ℓ$ および $m$ $s$ の固有ベクトルの線形結合です。

孤立した原子を超えて

角運動量量子数は厳密には孤立原子を指しますが、固体、液体、気体中の原子にも広く用いられています。ℓ $m$ 量子数は特定の球面調和関数に対応し、 X 線光電子分光法^{[ 6 ]}や電子エネルギー損失分光法^{[ 7 ]}などの分光法で観測される特徴を記述するためによく用いられます (表記法は若干異なり、X 線表記では K、L、M は電子状態からの励起に用いられます) 。 $n=0,1,2$ ）

角運動量量子数は、コーン・シャム密度汎関数理論^{[ 8 ]}やガウス軌道^{[ 9 ]}などの方法で電子状態を記述する場合にも使用されます。例えば、シリコンでは、半導体デバイスで使用される電子特性は、pライクな状態によるものです。 $l=1$ 各原子を中心とする一方、遷移金属の多くの特性は、d 様状態に依存し、 $l=2$ [ ¹⁰^]

歴史

方位量子数はボーアの原子模型から引き継がれ、アーノルド・ゾンマーフェルトによって提唱された。^{[ 11 ]}ボーア模型は、ラザフォードの原子模型と組み合わせた原子の分光分析から導き出された。最低量子レベルは角運動量がゼロであることがわかった。角運動量がゼロの軌道は、一次元で振動する電荷と考えられ、「振り子」軌道として記述されたが、自然界では見つからなかった。^[¹²^]三次元では、軌道は原子核を横切る節のない球形になり、（最低エネルギー状態では）大きな円を描いて振動する縄跳びに似ている。

参考文献

↑ウィテカー、エドマンド・テイラー（1989）。エーテルと電気の理論の歴史。ドーバー科学数学古典シリーズ。ニューヨーク：ドーバー。ISBN 978-0-486-26126-3。
↑シフ、レナード (1949).量子力学. マグロウヒル。
1 2 「ISOオンラインブラウジングプラットフォーム」 . 10-13.3 . 2024-02-20に取得.
↑ Eisberg, Robert M.; Resnick, Robert (2009).原子、分子、固体、原子核、および粒子の量子物理学（第2版、第37版）。ニューヨーク：Wiley。ISBN 978-0-471-87373-0。
↑ Whittaker, ET (1989).エーテルと電気の理論の歴史. ニューヨーク: Dover Publications. ISBN 978-0-486-26126-3。
↑ Hüfner, Stefan (2003). Photoelectron Spectroscopy . Advanced Texts in Physics. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi : 10.1007/978-3-662-09280-4 . ISBN 978-3-642-07520-9。
↑ Egerton, RF (2011).電子顕微鏡における電子エネルギー損失分光法. ボストン、マサチューセッツ州: Springer US. doi : 10.1007/978-1-4419-9583-4 . ISBN 978-1-4419-9582-7。
↑ Kohn, W.; Sham, LJ (1965). "交換および相関効果を含む自己無撞着方程式" . Physical Review . 140 (4A): A1133– A1138. Bibcode : 1965PhRv..140.1133K . doi : 10.1103/PhysRev.140.A1133 . ISSN 0031-899X .
↑ Gill, Peter MW (1994), Molecular integrals Over Gaussian Basis Functions , Advances in Quantum Chemistry, vol. 25, Elsevier, pp. 141–205 , doi : 10.1016/s0065-3276(08)60019-2 , ISBN 978-0-12-034825-12024年2月20日に取得
↑ Pettifor, DG (1996).分子と固体の結合と構造. Oxford Science Publications (改訂版再版). Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851786-3。
↑アイスバーグ、ロバート（1974）。原子、分子、固体、原子核、粒子の量子物理学。ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社、114～ 117頁。ISBN 978-0-471-23464-7。
↑ RB Lindsay (1927). "原子模型における「振り子」軌道に関する注記" . Proc. Natl. Acad. Sci . 13 (6): 413– 419. Bibcode : 1927PNAS...13..413L . doi : 10.1073/pnas.13.6.413 . PMC 1085028 . PMID 16587189 .

外部リンク

ボーア原子の発展
方位角方程式の説明

[1] ウィテカー、エドマンド・テイラー（1989）。エーテルと電気の理論の歴史。ドーバー科学数学古典シリーズ。ニューヨーク：ドーバー。ISBN 978-0-486-26126-3。

[Schiff-2] シフ、レナード (1949).量子力学. マグロウヒル。

[iso-3] 1 2 「ISOオンラインブラウジングプラットフォーム」 . 10-13.3 . 2024-02-20に取得.

[4] Eisberg, Robert M.; Resnick, Robert (2009).原子、分子、固体、原子核、および粒子の量子物理学（第2版、第37版）。ニューヨーク：Wiley。ISBN 978-0-471-87373-0。

[5] Whittaker, ET (1989).エーテルと電気の理論の歴史. ニューヨーク: Dover Publications. ISBN 978-0-486-26126-3。

[6] Hüfner, Stefan (2003). Photoelectron Spectroscopy . Advanced Texts in Physics. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi : 10.1007/978-3-662-09280-4 . ISBN 978-3-642-07520-9。

[7] Egerton, RF (2011).電子顕微鏡における電子エネルギー損失分光法. ボストン、マサチューセッツ州: Springer US. doi : 10.1007/978-1-4419-9583-4 . ISBN 978-1-4419-9582-7。

[8] Kohn, W.; Sham, LJ (1965). "交換および相関効果を含む自己無撞着方程式" . Physical Review . 140 (4A): A1133– A1138. Bibcode : 1965PhRv..140.1133K . doi : 10.1103/PhysRev.140.A1133 . ISSN 0031-899X .

[9] Gill, Peter MW (1994), Molecular integrals Over Gaussian Basis Functions , Advances in Quantum Chemistry, vol. 25, Elsevier, pp. 141–205 , doi : 10.1016/s0065-3276(08)60019-2 , ISBN 978-0-12-034825-12024年2月20日に取得

[10] Pettifor, DG (1996).分子と固体の結合と構造. Oxford Science Publications (改訂版再版). Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851786-3。

[11] アイスバーグ、ロバート（1974）。原子、分子、固体、原子核、粒子の量子物理学。ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社、114～ 117頁。ISBN 978-0-471-23464-7。

[12] RB Lindsay (1927). "原子模型における「振り子」軌道に関する注記" . Proc. Natl. Acad. Sci . 13 (6): 413– 419. Bibcode : 1927PNAS...13..413L . doi : 10.1073/pnas.13.6.413 . PMC 1085028 . PMID 16587189 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

10

[ 11 ]

[

方位量子数

命名法

原子軌道との関係

量子化された角運動量の追加

原子内の電子の全角運動量

孤立した原子を超えて

歴史

関連項目

参考文献

外部リンク

関連するトピック

水素原子

各

量子力学

量子数