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ユパナ（ケチュア語: yupay「数える」に由来）[ 1 ]は、算術演算を行うために使用された計算盤で、インカ帝国の時代にまで遡ります。その正確な物理的形状や使用方法に関する文書はほとんど残っていません。
ユパナという用語は、2つの異なる種類の物体を指します。
テーブルユパナは互いに大きく異なっているものの、テーブルユパナを扱ってきたほとんどの学者は、おそらく統一的な糸や共通の制作方法を見つけようとして、その推論や理論をポマ・デ・アヤラのユパナにも拡張し、またその逆も行ってきた。例えば、 1916年にコペンハーゲンの図書館で発見されたヌエバ・コロニカ（新年代記）には、ポマ・デ・アヤラのユパナに関する研究の一部が、テーブルユパナに関する以前の研究や理論に基づいていたことを示す証拠が含まれていた。[ 2 ]
インディアスの年代記作家数名が、このインカのそろばんとその使い方について簡潔に記述している。
最初に書いたのは、1615年頃のグアマン・ポマ・デ・アヤラで、彼は次のように記している。
彼らは、10万から1万、100から10、といったように、1に到達するまで番号が振られた表を使って計算する。彼らはこの王国で起こるすべての出来事、祝日や日曜日、月や年などを記録する。王国の会計係や財務係は、あらゆる都市、町、あるいは先住民の村にいる。
ポマ・デ・アヤラは、この簡単な説明に加えて、ユパナの絵を描いた。それは、5行4列の盤で、各マスには黒と白の円が並んでいる。
ポモ・デ・アヤラの著作より前の1596年、イエズス会士のホセ・デ・アコスタ神父は次のように記した。
…さて、トウモロコシの粒を使う別のグループを見るのは、とても興味深いことです。それは、非常に厄介な会計帳簿のようなもので、優秀な会計士にペンとインクで、それぞれの貢献がどれだけの人数に合うか、あちらからどれだけの量を、こちらからどれだけの量を、さらに100個の小さな粒を加えて、どのように収まるかを確認するためです。これらのインディアンは、粒を1つここに、3つあちらに、8つはどこに置いたかわかりません。彼らはここから粒を1つ移動させ、あちらから3つを物々交換し、実際、彼らは帳簿を漏れなく正確に作成して去ります。さらに、彼らはそれぞれが支払えるものや与えることができるものを計算して計上する方法を知っており、私たちはペンとインクで確認したとおりに、それぞれにどのように与えるかを知ることができます。これが創意工夫ではなく、これらの人々が獣であるならば、それを判断したい人は誰でもそう判断すればいいでしょう。私が真実だと判断するのは、彼らが適用するものは私たちに大きな利益をもたらしているということです。
1841年、フアン・デ・ベラスコ神父は次のように記した。
…これらの教師たちは、木、石、粘土などで作られた、仕切りが異なる一連のトレイのようなものを使っていて、そこに形、色、角の異なる石を入れていた…。
エクアドルとペルー各地で、様々な種類のテーブルユパナが発見されている。
テーブル・ユパナの最も古い既知の例は、1869年にエクアドルのアズアイ県チョルデレグで発見された。長方形の木製テーブル（33×27cm、13インチ×10¾インチ）は17個の区画からなり、そのうち14個は正方形、2個は長方形、1個は八角形である。テーブルの2辺には、他の正方形の区画（12×12cm、4¾インチ×4¾インチ）が隆起して並んで配置され、その上に2つの正方形の台（7×7cm、2¾インチ×2¾インチ）が重ねられている。これらの構造は「塔」と呼ばれている。テーブルの区画は、長方形の区画の対角線に対して対称である。ボードの4面には、人間の頭部とワニの像が彫られている。[ 2 ]この発見を受けて、チャールズ・ウィーナーは1877年にこれらの遺物の体系的な研究を行った。ウィーナーは、テーブル・ユパナは農民がインカ帝国に支払う税金を計算するために使われたと結論付けた。[ 6 ]
1878年から1879年の間にカラズで発見されたこのテーブルユパナは、構造材料が石であること、中央の八角形の区画が長方形の区画に置き換えられていること、塔に2段ではなく3段の棚があることなど、チョルデレグのものと異なっている。[ 2 ]
最初のものとは大きく異なる一連のテーブル型ユパナが、 1931年にエルランド・ノルデンスキョルドによって記述された。これらの石造りのユパナは、一連の長方形と正方形の区画を特徴としている。塔には2つの長方形の区画がある。区画はテーブルの短い方の辺の軸に対して対称に配置されている。[ 2 ]
これらの石造りのユパナには、18個の三角形の区画があります。片側には、1階建ての長方形の塔と3つの三角形の区画があります。中央部には4つの正方形の区画があります。[ 2 ]
材質と区画の配置の両方においてチョルデレグのユパナと同一のこのテーブルユパナは、1967年にペルーのチャンチャン遺跡群で発見された。 [ 2 ]
ペルーのピスコ 州で発見された、粘土と骨でできた2つのテーブルユパナ。1つ目は長方形（47×32cm、18½インチ×12½インチ）で、22個の正方形（5×5cm、2インチ×2インチ）と3個の長方形（16×18cm、6¼インチ×7インチ）の区画があり、塔はない。2つ目のユパナは長方形（32×23cm、12½インチ×9インチ）で、22個の正方形の区画、2個のL字型の区画、中央に3個の長方形の区画がある。区画は長い方の辺の軸に対して対称に配置されている。[ 2 ]
1922年にマックス・ウーレによってエクアドル北部で発見されたこのユパナは石でできており、その区画はタブレットの表面に描かれている。10個の重なり合う長方形からなるピラミッドの形をしており、1段目に4つ、2段目に3つ、3段目に2つ、4段目に1つある。このユパナは、線が1本少なく、部分的にしか描かれていないものの、ヌエバ・コロニカのポマ・デ・アヤラの絵に最も近いものである。[ 2 ]
C. フロリオは、これらの考古学的発見物の中にユパナを特定せず、名前が忘れられ、未だ不明な物体を特定した研究[ 7 ]を発表している。その代わりに、この物体は、ヤナンティン・マシンティン哲学の「llave inca」（インカの鍵）と呼ばれるトカプ（インカ以前の文明ですでに使用されていた表意文字）と結び付けられている。この学者は、この物体をユパナとして認識する客観的な証拠がないこと、この仮説が繰り返しや実証されることなく長年にわたって定着した信念、そしてミッチネリ文書とビクトリア・デ・ラ・ハラによってカタログ化されたトカプのデータとの交差に基づいて、これを正当化している。
テーブルのユパナ（図A）のさまざまな区画に色を付けることを想定すると、C. フロリオは、ビクトリア・デ・ラ・ハラが目録化した既存のトカプ（図C）と非常によく似た図（図B）を特定します。さらに、同じくV. デ・ラ・ハラが目録化した図Dのトカプにおいて、フロリオはトカプCの様式化と、トカプ「llave Inca」（インカの鍵）を作成する出発点を特定します。彼女は、テーブルのユパナとインカの鍵の関係は、二元性の概念との関連においても類似していると考えています。テーブルのユパナの構造は明らかに二元的であり、ブラス・バレラは「Exsul Immeritus Blas Valera populo suo」（ミッチネッリ文書2つのうちの1つ）の中で、「インカの鍵」トカプは「反対の力」と「数字の2」の概念を表していると述べており、どちらも二元性の概念と密接に関連しています。[ 8 ]
C. フロリオによれば、インカ人が実際に使用していたユパナはグアマン・ポマのユパナだが、列と行の数が多い。ポマ・デ・アヤラのユパナは、特定の計算を行うために役立つユパナの一部のみを表しており、フロリオはそれを乗算であると特定している（下記参照）。
1931年、ヘンリー・ワッセンはポマ・デ・アヤラのユパナを研究し、初めて盤上の数字と加算と乗算の演算の可能な表現を提案した。彼は白い円を、年代記編纂者が記述した種子を挿入するためにユパナに彫られた隙間と解釈した。つまり、白い円は空の隙間に対応し、黒い円は黒い種子で満たされた同じ隙間に対応する。[ 2 ]
ユパナの基となる記数法は、10進法による位取り記数法であった（インディアスの年代記編纂者の記述に沿ったもの）。
数字の表現は、下から1行目に1～9の数字、2行目に十の位、3行目に百の位、といったように、縦方向に進むように行われた。
ワッセンは、表におけるシードの位置に応じて、シードの値が1、5、15、30と変化するという提案をした。これは、シードが第1、第2、第3、第4列のどの位置にあるかによって決まる（下の表を参照）。第1列のボックスには最大5つのシードしか入れることができないため、そのボックスの最大値は、対応する行のべき乗に5を掛けた値となる。これらのシードは、算術演算の際に、次の列のシードと交換することができる。したがって、ワッセンの理論によれば、和と積の演算は水平方向に行われる。
この理論は計算が非常に複雑であったため多くの批判を受け、不十分であると見なされ、すぐに放棄された。
以下の表は、ワッセンのユパナに13457という数字がどのように表記されるかを示しています。
このポマ・デ・アヤラ・ユパナの最初の解釈は、後続の研究者によって発展させられた理論の出発点となり、現代の文献へと繋がっていった。2008年まで、位置記数法から離れた研究者はいなかった。
エミリオ・メンディサバルは1976年に、インカ帝国は十進法に加えて1、2、3、5という数列に基づく表現を使用していたと初めて提唱した。 [ 9 ]同じ出版物の中で、メンディサバルは、ポマ・デ・アヤラの絵に1、2、3、5という数列が現れ、フィボナッチ数列の一部であることを指摘し、ペルー北部の文明にとって5という数字が持つ「魔法」の重要性を強調した。これはペルー南部の文明にとっての8という数字の重要性と似ている。[ 2 ]
1979年、カルロス・ラディカティ・ディ・プリメリオは、テーブルユパナとポマ・デ・アヤラのユパナの違いを強調し、これまでの最先端の研究と高度な理論について説明した。彼はまた、ポマ・デ・アヤラのユパナの4つの基本的な算術演算を計算するためのアルゴリズムを提案した。これは、10のべき乗の垂直方向の進行で各ボックスに最大9つの種子を入れることができるという新しい解釈に基づいている。[ 2 ]ラディカティは、各ギャップを1の値と関連付けた。
以下の表は、ラディカティのユパナに13457という数字がどのように表記されるかを示しています。
1981年、イギリスの繊維技術者ウィリアム・バーンズ・グリンは、ポマ・デ・アヤラのユパナに対して位置による10進法による解法を提案した。[ 10 ]
グリンはラディカティとして、ワッセンの提唱した満ち欠けの概念や10のべき乗の垂直的な進行を採用したが、ユパナの利用者が算術演算自体を大幅に簡略化できるようなアーキテクチャを提案した。
その表現におけるシード値の水平方向の進行は、最初の3列では1、1、1となっており、各行には最大10個のシード（5+3+2個）を配置できる。任意の行に10個のシードを配置すると、その上の行には1個のシードが配置される。
グリンのユパナの最後の列は「記憶」のためのスペースで、最大10個の種を上の行に移動する前に保持できる。著者によれば、これは計算の際に間違いの可能性を減らすのに非常に役立つという。
グリンの解決策は世界中のさまざまな教育プロジェクトで採用されており、今日でもそのいくつかのバリエーションは南米の一部の学校で使用されています。[ 11 ] [ 12 ]
以下の表は、グリンのユパナに13457という数字がどのように表示されるかを示しています。
2001年、イタリアのエンジニア、ニコリーノ・デ・パスクアーレは、エミリオ・メンディサバルが既に提唱していたフィボナッチの表現理論を取り上げ、それを4つの演算に拡張して、ポマ・デ・アヤラ・ユパナの40進法による位置解法を提案した。
デ・パスクアーレのユパナも、40のべき乗で数を表すために垂直方向の進行を採用している。数を表す方法は、各行の円の値の合計が39になるという事実に基づいている。各円は、最初の列で5、2番目の列で3、3番目の列で2、4番目の列で1の値を取る。このようにして、中立要素（表のゼロまたは「シードなし」）と結合した39個の数を表すことが可能であり、これが数体系に必要な40個の記号の基礎となる。[ 13 ]
以下の表は、デ・パスクアーレのユパナにおける13457という数字の表現例の一つを示しています。
デ・パスクアーレの理論は発表後、研究者の間で大きな論争を巻き起こし、研究者たちは大きく2つのグループに分かれた。1つは10進法を支持するグループ、もう1つは40進法を支持するグループである。アメリカ大陸征服について書かれたスペインの年代記は、インカ帝国が十進法を使用していたことを示しており、2003年以降、10進法はそろばんとキープの両方で計算するための基礎として提案されている。[ 14 ]
デ・パスクアーレは最近、混合基数36/40で動く天文暦としてユパナの使用を提案し[ 15 ] 、ケチュア語のhunoを「0.1」と翻訳するという独自の解釈を示した[ 16 ] 。この解釈は、インディアスのすべての年代記編者、特に1560年にhunoをchunga guaranga （1万）と翻訳したドミンゴ・デ・サント・トマス[ 1 ]の解釈とは異なっている。
2008年、チンツィア・フローリオは、これまで提案されたすべての理論とは異なる革新的なアプローチを提案した。フローリオの新しい理論は、位置記数法から逸脱し、加算式または符号値表記を採用した。[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]
フロリオは、ポマ・デ・アヤラのデザインのみに基づいて、白と黒の円の配置を説明し、ユパナを乗算計算盤として使用することを解釈した。乗算盤では、被乗数が右の列に、乗数が中央の2つの列に、積が左の列に表される。これは次の表に示されている。
この理論は、これまでの理論とはいくつかの点で異なっている。まず、白と黒の円は種で埋められる隙間ではなく、それぞれ十と一を表す異なる色の種である（年代記作家フアン・デ・ベラスコによる）。[ 5 ]
第二に、被乗数は符号と値の表記に従って最初の列に入力されます。したがって、シードは任意の順序で入力でき、数値はこれらのシードの値の合計によって与えられます。
乗数は2つの因数の和として表されます。これは、積を求める手順が、加算に対する乗法の分配法則に基づいているためです。
フロリオによれば、ポマ・デ・アヤラが種子を添えて作成した掛け算表は、32 × 5 という計算を表しており、乗数 5 は 3 + 2 に分解される。1、2、3、5 という数列は因果関係があり、計算結果に左右されるもので、フィボナッチ数列とは無関係である。
凡例：◦ = 10、• = 1。表される演算は次のとおりです：32 x 5 = 32 x (2 + 3) = (32 x 2) + (32 x 3) = 64 + 96 = 160
各列に示されている数字は、左から右へ順に以下のとおりです。
この計算の最後の数字（これは誤りである）は、この解釈に対するあらゆる批判の根拠となっている。なぜなら、96と64の合計は151ではなく160だからである。しかし、フロリオは、この間違いはポマ・デ・アヤラが元の図面で、白い円ではなく黒い円でスペースが占められているように設計したことにある可能性があると指摘している。この場合、最後の列の黒い円を1つだけ白い円に変更すれば、正しい積である160が得られる。
ポマ・デ・アヤラのユパナは、すべての被乗数を表すことはできません。桁の合計が5を超える数を表すには、ユパナを縦方向に拡張（行を追加）する必要があります。乗数についても同様で、すべての数を表すには列数を増やす必要があります。誤った計算（あるいは設計者による誤った表現）を除けば、これはポマ・デ・アヤラのユパナに、他の解釈にあるようなランダムな数の羅列ではなく、数学的で一貫性のあるメッセージ（乗算）を見出す唯一の理論です。
2010年10月、ペルーの研究者アンドレス・チリノスは、スペイン国際開発協力庁（ACEID）の支援を受けて、ポマ・デ・アヤラが記録した古い図面や記述を改訂し、ユパナの使用に関する新たな分析を提示した。ユパナとは、チリノスが「コロンブス以前の計算機」と呼ぶ11個の穴のある表で、加算、減算、除算、乗算が可能であり、この情報をキープの使用方法や機能の調査に応用できると期待している。[ 20 ]
{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)