L10a140 リンク

L10a140
編み込みの長さ	10
編み込みNo.	3
交差点番号	10
双曲体積	12.27627758
コンウェイ記法	[.3:30]
シスルウェイト	L10a140
他の
交互

結び目に関する数学理論 において、L10a140 は、シスルウェイトのリンク表で、3 つのループからなるリンクの名前です。このリンクは、最も単純な視覚的形式では、ループ間に 10 の交差があります。^[1]これは、 6 つの交差があるボロミアン環を除いて、おそらくブルニアン特性(連結されたコンポーネントのリンクから 1 つのコンポーネントを削除すると、完全に連結されなくなる^[2])を持つ最も単純なリンクであるため、興味深いものです。^[3]

言い換えると、2 つのループが直接リンクされているわけではなく、3 つすべてが集合的に相互リンクされているため、いずれかのループを削除すると、他の 2 つが解放されます。右側の情報ボックスの画像では、赤いループは青いループや黄色いループのどちらとも相互リンクされておらず、赤いループを削除すると、青いループと黄色いループも、どちらかを切断することなく互いに絡まりを解くことができます。

スラヴィク・V・ジャブランの研究によると、L10a140リンクは、ボロミアン環から始まるブルン環の無限列の2番目と見なすことができます。したがって、青と黄色のループが各辺に沿って1つのねじれだけを持つ場合、結果として得られる構成はボロミアン環です。青と黄色のループが各辺に沿って3つのねじれを持つ場合、結果として得られる構成はL10a140リンクです。青と黄色のループが各辺に沿って5つのねじれを持つ場合、結果として得られる構成は全体で14の交差を持つ3つのループリンクです。などなど。^[4]

L10a140リンクの多変数アレクサンダー多項式は

${\displaystyle \Delta (u,v,w)={\frac {(u-1)(v-1)(w-1)(vw+1)^{2}}{vw{\sqrt {uvw} }}},\,}$

コンウェイ多項式は

${\displaystyle \nabla (z)=4z^{4}+4z^{6}+z^{8},\,}$

ジョーンズ多項式は次のようにうまく因数分解される。

${\displaystyle {\begin{aligned}V(t)&=-t^{5}+3t^{4}-5t^{3}+8t^{2}-9t+12-9t^{-1}+8t^{-2}-5t^{-3}+3t^{-4}-t^{-5}\\[8pt]&=-{\frac {1}{t^{5}}}\left(t^{5}-2t^{4}+t^{3}-2t^{2}+t-1\right)\left(t^{5}-t^{4}+2t^{3}-t^{2}+2t-1\right)\\[8pt]&=w(t)w(1/t),\,\end{aligned}}}$

ここで(は本質的にホワイトヘッドリンクのジョーンズ多項式であることに注意してください。) ${\displaystyle w(t)=t^{5}-2t^{4}+t^{3}-2t^{2}+t-1.}$${\displaystyle w(t)}$

HOMFLY多項式は

${\displaystyle P(\alpha ,z)=z^{-2}\alpha ^{-2}-4z^{2}\alpha ^{-2}-4z^{4}\alpha ^{-2} -z^{6}\alpha ^{-2}-2z^{-2}+8z^{2}+12z^{4}+6z^{6}+z^{8}+z^{-2}\alpha ^{2}- 4z^{2}\alpha ^{2}-4z^{4}\alpha ^{2}-z^{6}\alpha ^{2},\,}$

そしてカウフマン多項式は

${\displaystyle {\begin{aligned}F(a,z)&=1+2z^{-2}+a^{-2}z^{-2}+a^{2}z^{-2}-2a^ {-1}z^{-1 }-az^{-1}-20z^{2}+2a^{-4}z^{2}\\[6pt]&{}-8a^{-2}z^{2}-8a^{ 2}z^{2}+2a^{4} z^{4}+2a^{4}z^{2}-2a^{-5}z^{3}+4a^{-3}z^{3}+6a^{-1}z^{ 3}\\[6pt]&{}+6az^{ 3}+4a^{3}z^{3}-2a^{5}z^{3}+42z^{4}-7a^{-4}z^{4}+14a^{-2}z ^{4}\\[6pt]&{}+ 14a^{2}z^{4}-7a^{4}z^{4}+a^{-5}z^{5}-9a^{-3}z^{5}-2a^{- 1}z^{5}-2az^{5}-9 a^{3}z^{5}\\[6pt]&{}+a^{5}z^{5}-28z^{6}+3a^{-4}z^{6}-11a^ {-2}z^{6}-11a^{ 2}z^{6}+3a^{4}z^{6}+4a^{-3}z^{7}\\[6pt]&{}-2a^{-1}z^{7} -2az^{7}+4a^{3}z^ {7}+8z^{8}+4a^{-2}z^{8}+4a^{2}z^{8}+2a^{-1}z^{9}+2az^{9} .\end{整列}}}$

デビッド・スワート^[5]と、リック・マブリー、ローラ・マコーミック^[6]はそれぞれ独立して、L10a140リンクの12交差の視覚的表現を発見した。これらの表現では、リンクはもはや厳密に交互交差を持たない（最も単純な10交差形式の場合のように）が、表面的な対称性はより高まっている。

したがって、下の左端の画像は、6 回の回転対称性を持つ 12 交差リンク (ボロミアン リングと L10a140 リンクの両方とは異なる) を示しています。中央の画像は、L10a140 リンクの似たような描写を示しています (ただし、真の回転対称性はありません)。同様に、右端の画像は、表面的な 4 回の回転対称性を持つ L10a140 リンクの描写を示しています。

• 
  完全に対称な 12 交差ブルニアンリンク (L12a1882)
• 
  擬似6対称形のL10a140
• 
  擬似4対称形のL10a140

ウィキメディア・コモンズには、 L10a140に関連するメディアのリンクがあります。

• 「それはそれである」、Flickr.com。