衛星結び目

結び目に関する数学理論では、衛星結び目とは、その補節に非圧縮で境界に平行でないトーラスを含む結び目である。^[1]すべての結び目は、双曲結び目、トーラス、衛星結び目のいずれかである。衛星結び目のクラスには、合成結び目、ケーブル結び目、ホワイトヘッドダブルが含まれる。衛星リンクは、伴結び目 K の通常の近傍内にあるという意味で伴結び目Kを周回するリンクである。 ^{[2] : 217}

衛星結び目は、次のように図解的に説明できます。まず、結び目のない立体トーラス内にある非自明な結び目を取ります。ここで「非自明」とは、結び目が3 ボールの内部に収まらず、 立体トーラスの中心コア曲線と同位体にならないことを意味します。次に、立体トーラスを非自明な結び目に結びます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle V}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle V}$${\displaystyle K'}$

これは、非自明な埋め込みとが存在することを意味します。ソリッド トーラスの中心コア曲線は結び目 に送られます。この結び目は「コンパニオン ノット」と呼ばれ、「サテライト ノット」が周回する惑星として考えられます。この構成により、は の補集合における非境界平行非圧縮トーラスであることが保証されます。複合ノットには、スワロー フォロー トーラスと呼ばれる特定の種類の非圧縮トーラスが含まれます。これは、1 つの加数を飲み込み、別の加数を追うものとして視覚化できます。 ${\displaystyle f\colon V\to S^{3}}$${\displaystyle K=f\left(K'\right)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle H}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f(\partial V)}$${\displaystyle K}$

は結び目のない立体トーラスなので、は結び目のない円管状近傍です。 2 成分リンクと埋め込みを合わせて、衛星演算に関連付けられた パターンと呼ばれます。${\displaystyle V}$${\displaystyle S^{3}\setminus V}$${\displaystyle J}$${\displaystyle K'\cup J}$${\displaystyle f}$

慣例: 埋め込みは、の標準経度を の標準経度に送るという意味でねじれがないことを要求するのが普通です。言い換えると、任意の 2 つの互いに素な曲線 が与えられた場合、はそれらのリンク数、つまり を保存します 。 ${\displaystyle f\colon V\to S^{3}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f(V)}$${\displaystyle c_{1},c_{2}\subset V}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {lk} (f(c_{1}),f(c_{2}))=\operatorname {lk} (c_{1},c_{2})}$

がトーラス結び目である場合、 はケーブル結び目と呼ばれます。例 3 と 4 はケーブル結び目です。別の結び目Kから指定された巻き数 ( m、n ) で構成されたケーブルは、 Kの( m、n ) ケーブルと呼ばれることがよくあります。 ${\displaystyle K'\subset \partial V}$${\displaystyle K}$

が における非自明な結び目であり、 の圧縮円板が正確に 1 点で交差する場合、 は接続和と呼ばれます。別の言い方をすると、パターンはホップリンクを持つ非自明な結び目の接続和です。 ${\displaystyle K'}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K'\cup J}$${\displaystyle K'}$

リンクがホワイトヘッドリンクである場合、はホワイトヘッドダブルと呼ばれます。がねじれていない場合、はねじれのないホワイトヘッドダブルと呼ばれます。 ${\displaystyle K'\cup J}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K}$

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  例 1: 三つ葉結びと 8 の字結びの連結和。
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  例 2: 8 の字のホワイトヘッド ダブル。
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  例3: コネクトサムのケーブル。
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  例4: 三つ葉のケーブル。
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  例 5: 2 倍の衛星である結び目、つまり、非平行なスワローフォロートーラスを持つ結び目。
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  例 6: 2 倍の衛星である結び目、つまり、非平行なスワローフォロートーラスを持つ結び目。

例 5 と 6 は同じ構成のバリエーションです。どちらも、その補集合に 2 つの非平行かつ非境界平行の非圧縮性トーラスがあり、補集合を 3 つの多様体の和集合に分割します。例 5 では、これらの多様体は、ボロミアン環補集合、三つ葉補集合、および 8 の字補集合です。例 6 では、8 の字補集合が別の三つ葉補集合に置き換えられています。

1949年^[3]に ホルスト・シューベルトは、任意の向き付けられた結び目は、並べ替えを除けば、一意に素結び目の接続和として分解され、可算無限個の生成元上の自由可換モノイドの向き付けられた結び目の同位体のモノイドを作ることを証明した。その後まもなく、彼は、接続和の補集合に存在する非圧縮トーラスを詳細に分析することで、定理の新しい証明を与えることができることに気付いた。これがきっかけで、彼は結び目の補集合における一般的な非圧縮トーラスを、彼の大著「結び目と束」^[4]で研究し、その中で衛星結び目と伴結び目を定義した。 ${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{3}}$

シューベルトによる非圧縮トーラスが結び目理論で重要な役割を果たすという実証は、3次元多様体理論と結び目理論の統一につながる初期の洞察の1つでした。これはヴァルトハウゼンの注目を集め、ヴァルトハウゼンは後に非圧縮面を用いて、3次元多様体の大きなクラスが同相であるためには、それらの基本群が同型であることが必要であることを示した。^[5] ヴァルトハウゼンは、現在では3次元多様体のヤコ・シャレン・ヨハンソン分解と呼ばれるものを予想しました。これは、3次元多様体を球面と非圧縮トーラスに沿って分解するものです。これは後に、3次元多様体の部分分類と見なすことができる幾何化の発展における主要な要素となりました。結び目理論への影響は、ボナホンとジーベンマンの長らく未発表だった原稿で初めて説明されました。^[6]

シューベルトは、結び目と結び目の結合において、結び目を衛星として表現する方法が本質的に一意である場合があることを証明した。しかし、分解が一意ではない例も数多く知られている。^[7]スプライシングと呼ばれる衛星操作の概念を適切に拡張すると、JSJ分解は衛星結び目に対して適切な一意性定理を与える。^{[8] [9]}

• 双曲結び目
• トーラスノット
• ビングダブル