S 変換は 、地球物理データの解析のために 1994 年に時間周波数分布として開発されました。 [ 1 ] [ 2 ] S変換は 短時間フーリエ変換 (STFT)の一般化であり、連続ウェーブレット変換を 拡張し、そのいくつかの欠点を克服しています。1 つには、変調正弦波が時間軸に対して固定されているため、 S 変換ではスケーラブルなガウス窓の拡大と移動が局所化されます。さらに、 S 変換にはクロスタームの問題がなく、ガボール変換 よりも優れた信号の明瞭度が得られます。ただし、 S変換には独自の欠点があります。明瞭度は、 ウィグナー分布関数 やコーエンのクラス分布関数 よりも劣ります。
2010 年に高速S変換アルゴリズムが発明されました。 [ 3 ] [ 4 ] 2 ·log(N)] から O[N·log(N)] に削減し、変換を 1 対 1 にすることで、変換後の点数が元の信号または画像と同じになります。これは、元の定式化のストレージ複雑度が N 2 であるのと比較したものです。[ 4 ] [ 5 ] 実装はオープンソース ライセンス の下で研究コミュニティに提供されています。[ 6 ] [ 7 ]
S変換の一般的な定式化[ 4 ] [ 4 ]
意味 S 変換の概念を表現する方法はいくつかあります。ここでは、S変換は、ウィンドウ関数が ガウス関数 である連続ウェーブレット変換の位相補正として導出されます。
S x （ t 、 f ） = ∫ − ∞ ∞ x （ τ ） | f | e − π （ t − τ ） 2 f 2 e − j 2 π f τ d τ {\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )|f|e^{-\pi (t-\tau )^{2}f^{2}}e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau } x （ τ ） = ∫ − ∞ ∞ [ ∫ − ∞ ∞ S x （ t 、 f ） d t ] e j 2 π f τ d f {\displaystyle x(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }S_{x}(t,f)\,dt\right]\,e^{j2\pi f\tau }\,df}
上記の定義は、s変換関数が以下の畳み込みとして表現できることを示唆している。（ x （ τ ） e − j 2 π f τ ） {\displaystyle (x(\tau )e^{-j2\pi f\tau })} （ | f | e − π t 2 f 2 ） {\displaystyle (|f|e^{-\pi t^{2}f^{2}})} フーリエ変換を 両方に 適用する（ x （ τ ） e − j 2 π f τ ） {\displaystyle (x(\tau )e^{-j2\pi f\tau })} （ | f | e − π t 2 f 2 ） {\displaystyle (|f|e^{-\pi t^{2}f^{2}})}
S x （ t 、 f ） = ∫ − ∞ ∞ X （ f + α ） e − π α 2 / f 2 e j 2 π α t d α {\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }X(f+\alpha )\,e^{-\pi \alpha ^{2}/f^{2}}\,e^{j2\pi \alpha t}\,d\alpha } S変換のスペクトル形式から、離散時間S変換を導出できる 。t = n Δ T f = m Δ F α = p Δ F {\displaystyle t=n\Delta _{T}\,\,f=m\Delta _{F}\,\,\alpha =p\Delta _{F}} Δ T \displaystyle \Delta _{T}} Δ F {\displaystyle \Delta _{F}}
S x （ n Δ T 、 m Δ F ） = ∑ p = 0 N − 1 X [ （ p + m ） Δ F ] e − π p 2 m 2 e j 2 p n N {\displaystyle S_{x}(n\Delta _{T}\,,m\Delta _{F})=\sum _{p=0}^{N-1}X[(p+m)\,\Delta _{F}]\,e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}\,e^{\frac {j2pn}{N}}}
ガボール変換（GT）とS変換の唯一の違いはウィンドウサイズです。GTの場合、ウィンドウサイズはガウス関数です。（ e − π （ t − τ ） 2 ） {\displaystyle (e^{-\pi (t-\tau )^{2}})} ウィンドウ関数 はfの関数です。ウィンドウ関数が周波数に比例する場合、入力周波数が低いときはS変換は周波数領域解析 で優れた性能を発揮します。入力周波数が高いときは、S変換は時間領域 でより鮮明な結果を示します。下の表を参照してください。
このような特性により、S変換は音を分析するための強力なツールとなります。なぜなら、人間は音信号の低周波成分に敏感だからです。
ウィグナー変換の主な問題点は、ウィグナー変換関数に含まれる自己相関関数に起因する交差項です。この交差項は、信号解析においてノイズや歪みを引き起こす可能性があります。S変換解析では、この問題を回避できます。
S 変換と短時間フーリエ変換（STFT）を比較できます。 [ 2 ] [ 8 ]
アプリケーション 信号フィルタリング[ 9 ] 磁気共鳴画像法 （MRI）[ 10 ] 電力系統障害の認識 S 変換は、電圧低下、電圧上昇、瞬間的な停電、振動過渡現象など、いくつかの種類の障害を識別できることが証明されています。[ 11 ] S 変換は、ノッチ、サグやスウェルを伴う高調波など、他の種類の擾乱にも適用できます。S 変換は、簡単な目視検査に適した輪郭線を生成します。一方、ウェーブレット変換には、標準的な多重解像度解析 などの専用ツールが必要です。 地球物理信号解析
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さらに読む Rocco Ditommaso、Felice Carlo Ponzo、Gianluca Auletta (2015)。フレーム構造物の損傷検出：地震動下におけるストックウェル変換を用いたモード曲率評価。Earthquake Engineering and Engineering Vibration。2015年6月、第14巻、第2号、pp 265–274。 Rocco Ditommaso、Marco Mucciarelli、Felice C. Ponzo (2010)。土壌および建物の非線形動的挙動の解析に適用されたS変換ベースのフィルタ。第14回欧州地震工学会議。議事録。マケドニア共和国、オフリド。2010年8月30日～9月3日。（http://roccoditommaso.xoom.itからダウンロード可能） M. ムチャレッリ、M. ビアンカ、R. ディトンマソ、MR ガリポリ、A. マシ、C ミルケライト、S. パロライ、M. ピコッツィ、M. ヴォナ (2011)。 RC 建物の遠方現場被害: ラクイラ (イタリア) 地震シーケンス中のナヴェッリのケーススタディ、2009 年。地震工学紀要 。土井 ： 10.1007/s10518-010-9201-y。 JJ Ding、「時間周波数解析とウェーブレット変換の講義ノート」、国立台湾大学（NTU）電気工学科、台北、台湾、2007年。 Jaya Bharata Reddy、Dusmanta Kumar Mohanta、BM Karan、「ウェーブレットとS変換技術を用いた電力系統擾乱の認識」、Birla Institute of Technology、Mesra、Ranchi-835215、2004年。 B. Boashash、「時間周波数信号解析におけるウィグナー分布の使用に関する注記」、IEEE Trans. on Acoust. Speech. and Signal Processing、第26巻、第9号、1987年 R.N. ブレイスウェル著『フーリエ変換とその応用』マグロウヒル・ブック・カンパニー、ニューヨーク、1978年 E.O.ブリガム著『高速フーリエ変換』 、プレンティス・ホール社、ニュージャージー州エングルウッド・クリフス、1974年 Cohen, L. (1989). "時間周波数分布—レビュー". Proc. IEEE . 77 (7): 941–981 . CiteSeerX 10.1.1.1026.2853 . doi : 10.1109/5.30749 . I. Daubechies、「ウェーブレット変換、時間周波数局在化、および信号解析」、IEEE Transactions on Information Theory 、第36巻、第5号、1990年9月 Farge, M. (1992). "ウェーブレット変換とその乱流への応用" . Annual Review of Fluid Mechanics . 24 : 395–457 . doi : 10.1146/annurev.fluid.24.1.395 . D. ガボール、「通信理論」、電気工学会誌、第93巻、第3号、 429～457ページ、1946年 Goupillaud, P.; Grossmann, A.; Morlet, J. (1984). "地震解析におけるサイクルオクターブ変換および関連変換". Geoexploration . 23 : 85–102 . doi : 10.1016/0016-7142(84)90025-5 . F. Hlawatsch および GF Boudreuax-Bartels、1992年「線形および二次時間周波数信号表現」、IEEE Signal Processing Magazine、pp. 21–67 Rioul, O.; Vetterli, M. (1991). "ウェーブレットと信号処理" (PDF) . IEEE Signal Processing Magazine . 8 (4): 14– 38. Bibcode : 1991ISPM....8...14R . doi : 10.1109/79.91217 . S2CID 13266737 . R.K.ヤング著、『ウェーブレット理論とその応用』、クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ、ドルトレヒト、1993年 
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