ウォーリングの問題

数論において、ウォーリングの問題は、各自然数 kには、すべての自然数が最大でs個の自然数のk乗の和となるような正の整数 sが関連付けられているかどうかを問うものです。たとえば、すべての自然数は、最大で 4 個の平方、9 個の立方、または 19 個の 4 乗の和になります。ウォーリングの問題は、エドワード ウォーリングによって 1770 年に提案され、彼にちなんで名付けられました。その肯定的な答えはヒルベルト–ウォーリングの定理として知られ、 1909 年にヒルベルトによって提供されました。^[1]ウォーリングの問題には、独自の数学主題分類11P05、「ウォーリングの問題とその変種」があります。

ウォーリングがこの問題を提起するずっと前に、ディオファントスは、すべての正の整数は0 以上の4 つの完全平方の和として表せるかどうかを問うていた。この問題は後に、1621 年にクロード・ガスパール・バシェ・ド・メジリアックがディオファントスを翻訳したことにちなんでバシェ予想と呼ばれるようになり、1770 年にジョゼフ＝ルイ・ラグランジュが四平方定理で解決したが、これはウォーリングが予想を行ったのと同じ年である。ウォーリングは、すべての正の整数を立方数の和、整数の 4 乗などとして表すことでこの問題を一般化し、任意の正の整数は他の整数を特定の指数で累乗した和として表せること、また、すべての正の整数をこのように表すために必要な特定の指数で累乗した整数の最大数があることを示しようとした。

任意の に対して、がすべての正の整数を表すために必要な自然数の 乗の最小数を表すものとします。すべての正の整数は 1 乗、つまりそれ自身の和であるため となります。簡単な計算により、7 には 4 個の平方、23 には 9 個の立方、^[2]、79 には 19 個の 4 乗が必要であることがわかります。これらの例は、、、および であることを示しています。ウォーリングは、これらの下限が実際には正確な値であると推測しました。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle g(k)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle k}$${\displaystyle g(1)=1}$${\displaystyle g(2)\geq 4}$${\displaystyle g(3)\geq 9}$${\displaystyle g(4)\geq 19}$

1770年のラグランジュの四平方定理は、すべての自然数は最大で4つの平方の和であると述べています。3つの平方では十分ではないため、この定理は次を成立させます。ラグランジュの四平方定理は、バシェの1621年版ディオファントスの算術で推測されました。フェルマーは証明を持っていると主張しましたが、公表しませんでした。^[3]${\displaystyle g(2)=4}$

長年にわたり、ますます洗練され、複雑化する証明技術を使用して、さまざまな境界が確立されました。たとえば、リウヴィルは、が最大で 53 であることを示しました。ハーディとリトルウッドは、十分に大きい数はすべて、最大で 19 の 4 乗の合計であることを示しました。 ${\displaystyle g(4)}$

これは1909年から1912年にかけてヴィーフェリッヒ^[4]とAJケンプナー^[5]によって確立され、1986年にはR.バラスブラマニアン、F.ドレス、J.-M.デシュイラーズ^{[6] [7]}によって、 1964年にはチェン・ジンルンによって、1940年にはピライ^[8]によって確立されました。${\displaystyle g(3)=9}$ ${\displaystyle g(4)=19}$ ${\displaystyle g(5)=37}$${\displaystyle g(6)=73}$

と がそれぞれ正の実数 の整数部と分数部を表すものとする。 が与えられた場合、を表すにはとのみを使用できます。最も経済的な表現には の項と の項が必要です。したがって、 はと少なくとも同じ大きさになります。これは、レオンハルト・オイラーの息子であるJ. A. オイラーによって1772 年頃に指摘されました。^{[9]その後、}ディクソン、ピライ、ルブガンデイ、ニーヴン^[10]およびその他多くの人々による研究で、次のことが証明されました。 ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c=2^{k}\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -1<3^{k}}$${\displaystyle 2^{k}}$${\displaystyle 1^{k}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \lfloor (3/2)^{k}\rfloor -1}$${\displaystyle 2^{k}}$${\displaystyle 2^{k}-1}$${\displaystyle 1^{k}}$${\displaystyle g(k)}$${\displaystyle 2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2}$

${\displaystyle g(k)={\begin{cases}2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2&{\text{if}}\quad 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor \leq 2^{k},\\2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor -2&{\text{if}}\quad 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}{\text{ かつ }}\lfloor (4/3)^{k}\rfloor \lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor +\lfloor (3/2)^{k}\rfloor =2^{k},\\2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor -3&{\text{if}}\quad 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}{\text{ かつ }}\lfloor (4/3)^{k}\rfloor \lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor +\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}.\end{cases}}}$

となるの値は知られていません。Mahler ^[11]は、そのような は有限個しか存在しないことを証明し、Kubina と Wunderlich ^[12]は、そのような は必ず を満たすことを示しました。したがって、これは決して起こらない、つまりすべての正の整数 に対して となると推測されます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k>471\,600\,000}$${\displaystyle g(k)=2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2}$${\displaystyle k}$

の最初のいくつかの値は次のとおりです。 ${\displaystyle g(k)}$

1、4、9、19、37、73、143、279、548、1079、2132、4223、8384、16673、33203、66190、132055、263619、526502、1051899、...（OEISの配列A002804）。

ハーディとリトルウッドの研究^[13]から、関連する量G ( k )がg ( k ) とともに研究されました。G ( k )は、十分に大きい整数（つまり、ある定数より大きいすべての整数）が最大s個の正の整数のk乗の和として表されるような最小の正の整数sとして定義されます。明らかに、G (1) = 1です。平方は0、1、または4（mod 8）と合同なので、7（mod 8）と合同な整数は3つの平方の和として表すことはできません。これは、G (2) ≥ 4を意味します。すべてのkに対してG ( k ) ≤ g ( k )なので、これはG (2) = 4を示しています。ダベンポートは1939年にG (4) = 16であることを示しました^{[14] 。これは、1から16を法として14までの十分大きな数は14の4乗の和として表すことができることを実証することでした（ヴォーンは1986年[15]}と1989年^[16]に14の4乗を順に13と12に簡約しました）。他のkに対するG ( k )の正確な値は不明ですが、境界が存在します。

数G ( k )は、

合同制約がない場合、密度の議論は、G ( k )がk +1に等しいことを示唆します。

G (3) は少なくとも 4 である（立方体は 0、1、または -1 mod 9 と合同であるため）。1.3 × 10未満の数の場合⁹、1 290 740は6つの立方体を必要とする最後の数であり、Nと2 Nの間の5つの立方体を必要とする数の数は、 Nが増加するにつれて、 G (3) = 4であると人々が信じるほどの速さで減少します。^[17]現在4つの立方体の和ではないことが知られている最大の数は7 373 170 279 850 , ^[18]と著者らは、これが最大可能値である可能性があるという合理的な議論を行っている。上限G (3) ≤ 7 は、 1943 年にリンニクによって提案された。^[19]（すべての非負整数は最大で 9 個の立方体を必要とし、9、8、7、6、5 個の立方体を必要とする最大の整数は 239、454、8042、1 290 740とそれぞれ7,373,170,279,850です。 ​​

13 792は17の4乗を必要とする最大の数である（デシュイラー、ヘネカート、ランドローは2000年に^[20]で、13 792の間のすべての数は13 793と10 ^245は最大で16必要であり、Kawada、Wooley、Deshouillersは^{[21] Davenportの1939年の結果を拡張して、10 220を}超えるすべての数は最大で16必要であることを示した。31· ¹⁶ⁿの形式の数は常に16の4乗を必要とする。

68 578 904 422は、9つの5乗を必要とする最後の既知の数です（整数シーケンスS001057、Tony D. Noe、2017年7月4日）。617 597 724は1.3 × 10未満の最後の数字です⁹は10の5乗を必要とし、51 033 617は1.3 × 10未満の最後の数字です⁹には 11 が必要です。

k = 5, 6, ..., 20の右側の上限はVaughanとWooleyによるものである。^[22]

I. M. ヴィノグラドフは改良したハーディ・ラマヌジャン・リトルウッド法を用いて、数多くの改良を発表し、

${\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11)}$

1947年^[23]そして最終的には、

${\displaystyle G(k)\leq k(2\log k+2\log \log k+C\log \log \log k)}$

1959年に不特定の定数Cと十分に大きなkに対して^[24]

アナトリー・アレクセーヴィッチ・カラツバは、ハーディ・ラマヌジャン・リトルウッド・ヴィノグラドフ法のp進形式を、小さな素因数を持つ数について三角関数の和を推定する手法に適用し、 1985年に次の新しい推定値を得た^[25]。 ${\displaystyle k\geq 400}$

${\displaystyle G(k)\leq k(2\log k+2\log \log k+12).}$

1989年にヴォーンによってさらなる改良が行われた。^[16]

ウーリーは、ある定数Cに対して、^[26]

${\displaystyle G(k)\leq k(\log k+\log \log k+C).}$

2002年のヴォーンとウーリーの調査論文は当時としては包括的なものでした。^[22]

• フェルマーの多角数定理、すべての正の整数は最大でn 個のn角数の和である
• ウォーリング・ゴールドバッハ問題、数を素数の累乗の和として表す問題
• 部分集合和問題、与えられた数を累乗の和として最も短く表現する方法を見つけるために使用できるアルゴリズムの問​​題。
• ポロックの推測
• 3つの立方体の合計、必ずしも正の立方体ではない3つの立方体の合計が何であるかについて説明します。
• 4つの立方数の和の問題、すべての整数が4つの立方数の和であるかどうかを議論します。

• GI Arkhipov、VN Chubarikov、AA Karatsuba、「数論と解析における三角関数の和」。ベルリン-ニューヨーク：Walter de Gruyter、（2004年）。
• GI Arkhipov、AA Karatsuba、VN Chubarikov、「多重三角関数和の理論」。モスクワ: ナウカ、(1987)。
• Yu. V. Linnik、「シュニレルマン法によるワーリング問題の基本的解法」。Mat . Sb.、N. Ser. 12 (54)、225–230 (1943)。
• RC Vaughan、「ウォーリング問題における新しい反復法」。Acta Mathematica (162)、1–71 (1989)。
• IM Vinogradov、「数論における三角和の方法」。Trav . Inst. Math. Stekloff (23)、109 pp. (1947)。
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• Khinchin, A. Ya. (1998).数論の三つの真珠. ミネオラ、ニューヨーク州: ドーバー. ISBN 978-0-486-40026-6。シュニレルマン密度を用いたG ( k )の存在の初等的証明を持つ。
• ナサンソン、メルヴィン B. (1996)。加法数論: 古典的基底。数学大学院テキスト。第 164 巻。Springer - Verlag。ISBN 0-387-94656-X.ZBL0859.11002  .​ラグランジュの定理、多角形数定理、ウォーリング予想のヒルベルトの証明、およびN をk乗 の和として表す方法の数に関する漸近公式のハーディ・リトルウッドの証明の証明があります。
• ハンス・ラーデマッハーとオットー・テプリッツ著『数学の楽しみ』（1933年）（ISBN 0-691-02351-4）。高校生でも理解できるラグランジュの定理の証明が掲載されている。 

Wikisource にはこの記事に関連する原文があります:

Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (ワーリングシェス問題)

• 「ウォーリング問題」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]