4つの立方体の合計問題

1959年、W. SierpińskiとA. Schinzelは、次のカテゴリのすべての整数は4つの整数の立方和として表すことができることを証明しました。^{[ 2 ]}

• 6を法として0と合同な整数
• 3を法とする整数（6を法とする）
• 1を法とする整数（18）
• 18を法として7に合同な整数
• 18を法として8に合同な整数

シェルピンスキーとシンツェルは、これらの圏の証明で使用されている恒等式を置き換えることによって補完的な恒等式を導出する方法についても説明している。${\displaystyle x}$と${\displaystyle -x}$同一性全体を通して、それは元の同一性とは反対のカテゴリーであることを証明している。 ^{[ 2 ]}

これらを総合すると、18 を法として ±2、±4、±5 に合同な整数を除くすべての整数は、4 つの立方数の和として表すことができることが証明された。^{[ 2 ]}

さらに、SierpińskiとSchinzelは、2から300までの範囲の多くの特定の整数に対する解を示す表を提供し、これらの表（論文の前半で述べた恒等式と方法に加えて）を合わせると、 ±148、±257、および±284を除く絶対値が300以下のすべての整数は4つの立方数の和に分解できることが証明されると述べています。^{[ 2 ]}

2004年に、アンリ・コーエンは、以下の恒等式（そのうちのいくつかは、シェルピンスキーとシンツェルが使用したものとほぼ同じ）を用いて、これらの結果をより簡潔にまとめた。^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}6x&=(x+1)^{3}+(x-1)^{3}-x^{3}-x^{3}\\6x+3&=x^{3}+(-x+4)^{3}+(2x-5)^{3}+(-2x+4)^{3}\\18x+1&=(2x+14)^{3}+(-2x-23)^{3}+ (-3x-26)^{3}+(3x+30)^{3}\\18x+7&=(x+2)^{3}+(6x-1)^{3}+(8x-2)^{3}+(-9x+2)^{3}\\18x+8&=(x-5)^{3}+(-x+14)^{3}+(-3x+29)^{3}+(3x-30)^{3}\ .\end{aligned}}}$$

1966年、VAデムジャネンコは以下の身元情報を提供した。^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}54x+2&=(29484x^{2}+2211x+43)^{3}+(-29484x^{2}-2157x-41)^{3}+(9828x^{2}+485x+4)^{3}+(-9828x^{2}-971x-22)^{3}\\54x+20&=(3x-11)^{3}+(-3x+10)^{3}+(x+2)^{3}+(-x+7)^{3}\\21 6x-16&=(14742x^{2}-2157x+82)^{3}+(-14742x^{2}+2211x-86)^{3}+(4914x^{2}-971x+44)^{3}+(-4914x^{2}+485x-8)^{3}\\216x+92&=(3x-164)^{3}+(-3x+160)^{3}+(x-35)^{3}+(-x+71)^{3}\end{aligned}}}$$

これらの恒等式と相補的な恒等式は、108x±38 と合同な整数を除いて 18x±2 の場合を証明します。デムジャネンコは、より高度な方法を用いて論文の中で 108x±38 の場合も証明しており、それによって 18x±2 の場合を完全に証明しています。^{[ 5 ]}

この結果を、SierpińskiとSchinzelによる以前の結果と合わせて考えると、18x±4と18x±5の場合のみが未証明のまま残っており、これらは9x±4とより簡単に表現できる。

デムヤネンコはまた、9x±4 の場合の多くの特定の数の分解表も提供しており、これはシエルピンスキーとシンツェルの研究を拡張して、絶対値が 1000 以下のすべての整数は 4 つの立方数の和に分解できることを証明していると述べています。^{[ 5 ]}