シュニレルマン密度

加法数論において、数列のシュニレルマン密度は、数列がどれだけ「密」であるかを測定する方法である。これは、これを最初に研究したロシアの数学者レフ・シュニレルマンにちなんで名付けられた。^{[1] [2]}

自然数集合Aのシュニレルマン密度は次のように定義される。

${\displaystyle \sigma A=\inf _{n}{\frac {A(n)}{n}},}$

ここでA ( n )はAの要素数がnを超えないことを表し、infは下限を表す。^[3]

シュニレルマン密度は、 n → ∞としてのA ( n )/ nの極限が存在しなくても明確に定義されます（上限漸近密度と下限漸近密度を参照）。

定義により、0 ≤ A ( n ) ≤ nかつすべてのnに対してn σ A ≤ A ( n )であり、したがって0 ≤ σ A ≤ 1であり、A = Nの場合にのみσ A = 1となる。さらに、

${\displaystyle \sigma A=0\Rightarrow \forall \epsilon >0\ \exists n\ A(n)<\epsilon n.}$

シュニレルマン密度は集合の最初の値に敏感です。

${\displaystyle \forall k\ k\notin A\Rightarrow \sigma A\leq 1-1/k}$。

特に、

${\displaystyle 1\notin A\Rightarrow \sigma A=0}$

そして

${\displaystyle 2\notin A\Rightarrow \sigma A\leq {\frac {1}{2}}.}$

その結果、偶数と奇数のシュニレルマン密度は、それぞれ 0 と 1/2 になると考えられます。シュニレルマンとユーリ・リンニクはこの感度を利用しました。

と設定すると、ラグランジュの四平方定理はと言い換えることができます。(ここで、記号 はとの和集合を表します。) であることは明らかです。実際、 はまだ であり、どの点で和集合がシュニレルマン密度 1 に達し、それがどのように増加するのかと疑問に思うかもしれません。実際には であり、もう一度和集合にすると、より人口の多い集合、つまり のすべてが得られることがわかります。シュニレルマンはさらに、加法数論を目指してこれらのアイデアを次の定理に発展させ、ワーリングの問題やゴールドバッハの予想などの重要な問題を解くための新しいリソース(非常に強力ではないにしても)であることを証明しました。 ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=1}$${\displaystyle A\oplus B}$${\displaystyle A\cup \{0\}}$${\displaystyle B\cup \{0\}}$${\displaystyle \sigma {\mathfrak {G}}^{2}=0}$${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=0}$${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=5/6}$${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

定理。およびを の部分集合とする。すると、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle \sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B.}$

注意してください。帰納的に、次の一般化が得られます。 ${\displaystyle \sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B=1-(1-\sigma A)(1-\sigma B)}$

系。を の部分集合の有限族とします。すると、 ${\displaystyle A_{i}\subseteq \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle \sigma \left(\bigoplus _{i}A_{i}\right)\geq 1-\prod _{i}\left(1-\sigma A_{i}\right).}$

この定理は、和集合がどのように蓄積されるかについての最初の洞察を提供します。その結論が超加法性を示すまでには至っていないのは残念なことです。しかし、シュニレルマンは、目的のほとんどを満たす以下の結果を提供しました。 ${\displaystyle \sigma }$

定理。とを の部分集合とする。 の場合には、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \sigma A+\sigma B\geq 1}$

${\displaystyle A\oplus B=\mathbb {N} .}$

定理。（シュニレルマン） とする。すると、 が存在する。 ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$${\displaystyle \sigma A>0}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{k}A=\mathbb {N} .}$

有限和に対して となる性質を持つ部分集合は加法基底と呼ばれ、必要となる最小の加数の数は基底の次数（時には位数）と呼ばれます。したがって、最後の定理は、正のシュニレルマン密度を持つ任意の集合が加法基底であると述べています。この用語では、正方形の集合は次数 4 の加法基底です。（加法基底の未解決問題については、加法基底に関するエルデシュ-トゥラン予想 を参照してください。） ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$${\displaystyle A\oplus A\oplus \cdots \oplus A=\mathbb {N} }$${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }}$

歴史的に、上記の定理は、かつては仮説として知られていた次の結果を指し示すものでした。これはエドモンド・ランダウによって使用され、最終的に1942 年に ヘンリー・マンによって証明されました。${\displaystyle \alpha +\beta }$

定理。 (Mann 1942)と を の部分集合とする。 の場合でも、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle A\oplus B\neq \mathbb {N} }$

${\displaystyle \sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B.}$

この定理の類似物は、下側漸近密度に対してクネザーによって得られた。^[4]その後、E. アルティンとP. シェルクはマンの定理の証明を簡略化した。^[5]

とを自然数とする。 とする。を方程式の非負の積分解の数と 定義する。${\displaystyle k}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{k}=\{i^{k}\}_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle r_{N}^{k}(n)}$

${\displaystyle x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}=n}$

不等式の非負の積分解の数である 。${\displaystyle R_{N}^{k}(n)}$

${\displaystyle 0\leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n,}$

変数 にそれぞれ入る。したがって、 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)}$

• ${\displaystyle r_{N}^{k}(n)>0\leftrightarrow n\in N{\mathfrak {G}}^{k},}$
• ${\displaystyle R_{N}^{k}(n)\geq \left({\frac {n}{N}}\right)^{\frac {N}{k}}.}$

によって定義される次元体の体積は、サイズ の超立方体の体積によって制限されるため、 となる。難しいのは、この制限が平均に対しても有効であることを示すことである。つまり、 ${\displaystyle N}$${\displaystyle 0\leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n}$${\displaystyle n^{1/k}}$${\displaystyle R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)\leq n^{N/k}}$

補題(リンニク) すべての に対してと定数 が存在し、これは のみに依存し、すべての に対して、 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle c=c(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle r_{N}^{k}(m)<cn^{{\frac {N}{k}}-1}}$

全ての${\displaystyle 0\leq m\leq n.}$

これを使えば、次の定理を簡潔に証明できます。

定理。すべてに対してが存在する。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \sigma (N{\mathfrak {G}}^{k})>0}$

こうして、ウォーリングの問題に対する一般的な解が確立されました。

系。 (ヒルベルト 1909) すべての に対してが存在し、 のみに依存し、すべての正の整数は最大で多数の乗の和として表すことができます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle N}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle k}$

1930年にシュニレルマンはこれらのアイデアをブルン篩と組み合わせてシュニレルマンの定理^{[1] [2]}を証明した。これは、 1より大きい任意の自然数はC 個以下の素数の和として表すことができるというものであり、Cは実質的に計算可能な定数である：^{[6]シュニレルマンは}C < 800000を得た。 ^[7] シュニレルマンの定数は、この性質を持つCの最小の数である。 ^[6]

オリヴィエ・ラマレは(Ramaré 1995)でシュニレルマン定数は最大7であることを示し^{[6] 、}ハンス・リーゼルとRCヴォーンによって得られた19という以前の上限を改善した。

シュニレルマン定数は少なくとも3である。ゴールドバッハの予想はこれが定数の実際の値であることを示唆している。^[6]

2013年、ハラルド・ヘルフゴットはすべての奇数に対してゴールドバッハの弱い予想を証明した。したがって、シュニレルマン定数は最大で4である。^{[8] [9] [10] [11]}

ヒンチンは、シュニレルマン密度がゼロである正方形の列を、0 から 1 の間のシュニレルマン密度の列に追加すると、密度が増加することを証明しました。

${\displaystyle \sigma (A+{\mathfrak {G}}^{2})>\sigma (A){\text{ for }}0<\sigma (A)<1.}$

これはすぐにエルデシュによって簡略化され拡張され、 Aがシュニレルマン密度αを持つ任意の列でBがk次 の加法基底である場合、

${\displaystyle \sigma (A+B)\geq \alpha +{\frac {\alpha (1-\alpha )}{2k}}\,,}$^[12]

そして、これはプルンネッケによって改良され、

${\displaystyle \sigma (A+B)\geq \alpha ^{1-{\frac {1}{k}}}\ .}$^[13]

この性質を持つ、加算によって密度が1未満に増加するシーケンスは、ヒンチンによって 必須成分と名付けられました。リンニクは、必須成分が加法基底である必要はないことを示し^{[14] 、} x ^o(1)未満の要素 をx 個 持つ必須成分を構成しました。より正確には、シーケンスは

${\displaystyle e^{(\log x)^{c}}}$

あるc  < 1に対してxより小さい要素が存在する。これはE. Wirsingによって改良され、

${\displaystyle e^{{\sqrt {\log x}}\log \log x}.}$

しばらくの間、必須成分がいくつの要素を持たなければならないかは未解決の問題であった。最終的に、ルザは、すべてのε > 0に対して、xまでに  最大でc (log  x ) ^{1+ ε}個の要素を持つ必須成分が存在するが、 xまでに c (log  x ) ^{1+ o (1) 個}の要素を持つ必須成分は存在しないことを決定した。^{[15] [16]}

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