パラメータ同定問題

ある特定の財の需要と供給に関する線形モデルを考えてみましょう。需要量は価格と負の相関関係にあり、価格が高くなると需要量は減少します。供給量は価格と正の相関関係にあり、価格が高くなると供給量は増加します。

例えば、数年間にわたってこの商品の価格と取引量に関するデータがあると仮定します。しかし残念ながら、これだけではQとPの観測値に対する回帰分析を用いて2つの方程式（需要と供給）を特定するには不十分です。2つの変数のみを含む1つの線形回帰直線では、下降勾配と上昇勾配を推定することはできません。追加の変数を用いることで、個々の関係を特定することが可能になります。

ここに示したグラフでは、供給曲線（赤線、右上がり）は供給量が価格に正比例することを示し、需要曲線（黒線、右下がり）は供給量が価格に負比例するだけでなく、需要曲線の位置に影響を与える追加変数Zにも負比例することを示している。このZは消費者の所得を表し、所得が増加すると需要曲線は外側にシフトする。これはZの値1、2、3で象徴的に示されている。

供給量と需要量が等しい場合、数量と価格に関する観測値はグラフ上の3つの白い点で表され、供給曲線を示します。したがって、Zが需要に与える影響から、供給方程式の（正の）傾きを特定することができます。この場合、需要方程式の（負の）傾きパラメータを特定することはできません。言い換えれば、ある変数が一方の方程式には含まれず、もう一方の方程式には含まれていることが分かれば、方程式のパラメータを特定することができます。

需要方程式には変数Zが含まれるが供給方程式には含まれず、かつ供給方程式には変数Xが含まれるが需要方程式には含まれない場合、供給方程式と需要方程式の両方が特定される状況が生じる。

供給：  ${\displaystyle Q=a_{S}+b_{S}P+cX\,}$

要求： ${\displaystyle Q=a_{D}+b_{D}P+dZ\,}$

b _Sが正、b _Dが負の場合。ここで、 cとdがゼロでない場合、両方の式が一致します。

これはモデルの構造形式であり、 QとPの関係を示していることに注意してください。ただし、簡略化された形式は容易に識別できます。

フィッシャーは、この問題はモデルの根本的な問題であり、統計的推定の問題ではないと指摘している。

問題は、特定の推定手法の適切性にあるのではない。ここで述べた状況（Z変数がない場合）では、いかなる手法を用いても真の需要（または供給）曲線を推定する方法は明らかに存在しない。また、ここでの問題は、統計的推論、つまりランダムな撹乱の影響を分離することにあるのでもない。このモデルには撹乱は存在しない[...] 困難を生じさせているのは、需給均衡そのものの論理なのである。（フィッシャー 1966、p. 5） 

より一般的には、 M > 1であるM個の線形方程式系を考えます。 

データから方程式を識別できる変数の数がM  − 1 未満の場合、その方程式から変数を除外することはできません。これは識別条件の順序条件の特殊な形式です。（順序条件の一般形は、除外以外の制約も扱います。）順序条件は識別条件として必要ではありますが、十分条件ではありません。

ランク条件は、識別のための必要十分条件である。除外制約のみの場合、「その方程式から事前に除外された変数に対応する行列Aの列から、少なくとも1つのM -1次の非零行列式を形成できること」が必要である（Fisher 1966、p. 40）。ここで、Aは方程式の係数行列である。これは、上記の（数式の上の行にある）「他の方程式には含まれる」という要件を行列代数で一般化したものである。