共和分

共和分は、時系列変数の集合( X ₁、  X ₂、...、  X _k )の統計的特性です。まず、すべての系列はd次で積分されている必要があります。次に、この集合の線形結合が d 未満の次で積分される場合、その集合は共和分であると言われます。正式には、 ( X、Y、Z ) がそれぞれd次で積分され、 aX  +  bY  +  cZが d 未満の次で積分されるような係数a、b、cが存在する場合、 X、Y、およびZは共和分です。共和分は、現代の時系列分析において重要な特性となっています。時系列には、決定論的または確率的な傾向があることがよくあります。影響力のある論文^[1]で、 Charles Nelson とCharles Plosser (1982) は、多くの米国のマクロ経済時系列 (GNP、賃金、雇用など) が確率的な傾向があるという統計的証拠を示しました。

2 つ以上の系列が個別に 積分されている(時系列の意味で)が、それらの線形結合の積分次数が低い場合、その系列は共和分されていると言われます。一般的な例としては、個々の系列が 1 次積分されている ( ⁠ ⁠ ) が、それらの${\displaystyle I(1)}$定常線形結合を形成するために係数の何らかの (共和分) ベクトルが存在する場合が挙げられます。

偽回帰（またはナンセンス回帰）の概念を最初に導入し分析したのは、1926年のユールでした。 ^[2] 1980年代以前は、多くの経済学者が非定常時系列データに線形回帰を使用していましたが、ノーベル賞受賞者のクライヴ・グレンジャーとポール・ニューボールドは、これが偽の相関を生み出す危険なアプローチであることを示しました。^[3]標準的なトレンド除去技術では、依然として非定常なデータが得られる可能性があるためです。^{[4]グレンジャーと}ロバート・エングルが1987年に発表した論文では、共和分ベクトルアプローチが形式化され、この用語が生まれました。^[5]

統合されたプロセス${\displaystyle I(1)}$の場合、Granger と Newbold は、トレンド除去では偽相関の問題を解消できず、共和分を確認する方が優れた代替策であることを示しました。トレンドを持つ 2 つの系列は、両者の${\displaystyle I(1)}$間に真の関係がある場合にのみ共和分できます。したがって、時系列回帰の現在の標準的な方法論は、統合に関係するすべての時系列を確認することです。回帰関係の両側に系列がある場合、${\displaystyle I(1)}$回帰によって誤った結果が生じる可能性があります。

単位根（つまり、少なくとも1次の積分）を持つ2つの変数の関係に関する仮説を検定する手法を選択する際には、共和分が存在する可能性を考慮する必要があります。 ^[3]非定常変数の関係に関する仮説を検定する通常の手順は、差分化されたデータに対して通常の最小二乗法（OLS）回帰を実行することでした。この方法は、非定常変数が共和分されている場合にバイアスがかかります。

たとえば、任意の国（例：フィジー）の消費系列をランダムに選択された異なる国（例：アフガニスタン）の GNP に対して回帰すると、高い R 二乗関係（アフガニスタンの GNP によるフィジーの消費の説明力が高いことを示唆）が得られる可能性があります。これは偽回帰と呼ばれ、直接因果関係のない 2 つの統合系列が、それでも有意な相関関係を示す場合があり ます${\displaystyle I(1)}$。

共和分性をテストするための 6 つの主な方法は次のとおりです。

と の両方の積分次数がd =1 で共和分である場合、それらの線形結合はとのある値に対して定常でなければなりません。言い換えると、 ${\displaystyle x_{t}}$${\displaystyle y_{t}}$ ${\displaystyle \beta}$${\displaystyle u_{t}}$

${\displaystyle y_{t}-\beta x_{t}=u_{t}\,}$

静止している場所。 ${\displaystyle u_{t}}$

がわかっている場合は、拡張ディッキー・フラー検定またはフィリップス・ペロン検定で定常性を検定できます。がわからない場合は、まず推定する必要があります。これは通常、通常の最小二乗法（と切片を回帰する）を使用して行われます。次に、 でADF検定を実行できます。ただし、が推定される場合、このADF検定の臨界値は標準的ではなく、回帰変数が増えるにつれて絶対値が増加します。^[6]${\displaystyle \beta}$${\displaystyle u_{t}}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle y_{t}}$${\displaystyle x_{t}}$${\displaystyle u_{t}}$${\displaystyle \beta}$

変数が共和分であることが判明した場合、第 2 段階の回帰が実行されます。これは、遅延回帰変数と、第 1 段階の遅延残差に対する の回帰です。第 2 段階の回帰は次のように表されます。 ${\displaystyle \Delta y_{t}}$${\displaystyle \Delta x_{t}}$${\displaystyle {\hat {u}}_{t-1}}$${\displaystyle \Delta y_{t}=\Delta x_{t}b+\alpha u_{t-1}+\varepsilon _{t}}$

変数が共和分でない場合（ をテストするときに共和分がないという帰無仮説を棄却できない場合）、 およびでは差異モデルを推定します。${\displaystyle u_{t}}$${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \Delta y_{t}=\Delta x_{t}b+\varepsilon _{t}}$

ヨハンセン検定は、エングル・グレンジャー法とは異なり、複数の共和分関係を許容する共和分検定であるが、この検定は漸近特性、すなわち大きなサンプルの影響を受ける。サンプルサイズが小さすぎると結果は信頼できないため、自己回帰分散ラグ（ARDL）を使用する必要があります。^{[7] [8]}

Peter CB Phillipsと Sam Ouliaris (1990) は、推定された共和分残差に適用された残差ベースの単位根検定は、共和分がないという帰無仮説の下では、通常の Dickey–Fuller 分布を持たないことを示している。^[9]帰無仮説の下での疑似回帰現象のため、これらの検定の分布は、(1) 決定論的傾向項の数と (2) 共和分を検定する変数の数に依存する漸近分布を持つ。これらの分布は Phillips–Ouliaris 分布として知られ、臨界値が表にまとめられている。有限サンプルでは、​​これらの漸近臨界値を使用するより優れた代替手段は、シミュレーションから臨界値を生成することである。

実際には、共和分は 2 つの系列${\displaystyle I(1)}$によく使用されますが、より一般的に適用可能であり、高次の変数に統合されるために使用できます (相関加速度やその他の 2 次差分効果を検出するため)。多重共和分は、共和分手法を 2 つの変数を超えて拡張し、場合によっては異なる次数で統合される変数に拡張します。

共和分検定では、共和分ベクトルが研究期間中一定であると仮定する。実際には、基礎変数間の長期的な関係が変化する可能性がある（共和分ベクトルのシフトが発生する可能性がある）。その理由としては、技術の進歩、経済危機、人々の好みやそれに応じた行動の変化、政策や体制の変更、組織や制度の発展などが考えられる。これは、サンプル期間が長い場合に特に起こりやすい。この問題を考慮するために、1つの未知の構造的ブレークを持つ共和分検定が導入されており、^[10] 2つの未知のブレークを持つ共和分検定も利用可能である。^[11]

共和分関係の数と共和分線形結合の事後分布を計算するために、いくつかのベイズ法が提案されている。 ^[12]

• エラー訂正モデル
• グレンジャー因果律
• 定常部分空間解析

• エンダーズ、ウォルター (2004)。「共和分と誤差修正モデル」。応用計量経済学時系列 (第 2 版)。ニューヨーク: ワイリー。pp. 319–386。ISBN 978-0-471-23065-6。
• 林文夫（2000年）『計量経済学』プリンストン大学出版局、pp.623-669、ISBN 978-0-691-01018-2。
• Maddala, GS ; Kim, In-Moo (1998)。単位根、共和分、構造変化。ケンブリッジ大学出版局。pp. 155–248。ISBN 978-0-521-58782-2。
• マレー、マイケル P. ( 1994)。「酔っぱらいとその犬: 共和分とエラー訂正の図解」( PDF)。アメリカ統計学者。48 (1): 37–39。doi :10.1080/00031305.1994.10476017。共和分の直感的な入門。