収束クロスマッピング

収束クロス マッピング( CCM ) は、 2 つの変数間の因果関係を統計的に検定する手法であり、グレンジャー因果性検定と同様に、相関関係が因果関係を意味しないという問題を解決しようとします。^{[ 1 ]}グレンジャー因果性は、因果変数の影響が分離可能 (互いに独立) な純粋な確率的システムに最適ですが、CCM は動的システムの理論に基づいており、因果変数が相乗効果を持つシステムにも適用できます。そのため、CCM は、互いに無相関に見える変数間のリンクを特定することを特に目的としています。

システム変数を時系列観測として利用できる場合、タケンスの埋め込み定理を適用できます。タケンスの定理は、動的システムの 1 つの観測時系列から、そのシステムの状態空間を再構築できることを一般的に証明しています。${\displaystyle X}$この再構築された、あるいは影の多様体${\displaystyle M_{X}}$真の多様体と微分同相であり、${\displaystyle M}$固有の状態空間特性を保持${\displaystyle M}$で${\displaystyle M_{X}}$。

^{収束クロスマッピング（CCM）は、一般化タケンス定理[ 2 ]}の系を利用しており、同じシステムから観測された変数間でクロス予測またはクロスマッピングが可能であるはずです。変数を含むある動的システムにおいて、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$、${\displaystyle X}$原因${\displaystyle Y}$。 以来${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$同じ動的システムに属し、埋め込みによるそれらの再構築${\displaystyle M_{X}}$そして${\displaystyle M_{Y}}$同じシステムにマッピングされます。

因果変数${\displaystyle X}$影響を受ける変数に署名を残します${\displaystyle Y}$、したがって、再構築された状態は${\displaystyle Y}$値の相互予測に使用できます${\displaystyle X}$CCMはこの特性を利用して、予測によって因果関係を推論します。${\displaystyle X}$使用${\displaystyle M_{Y}}$ポイントのライブラリ（または因果関係の逆方向の場合も同様）を使用し、クロスマップ予測性の改善を評価しながら、ランダムサンプリングの規模が大きくなるにつれて、${\displaystyle M_{Y}}$が使用されています。予測スキルが${\displaystyle X}$全体が増加して飽和する${\displaystyle M_{Y}}$が使用されると、これは次の証拠を提供する。${\displaystyle X}$因果関係に影響を与えている${\displaystyle Y}$。

クロスマッピングは一般的に非対称です。${\displaystyle X}$力${\displaystyle Y}$一方向、可変${\displaystyle Y}$情報が含まれます${\displaystyle X}$だが、逆は成り立たない。したがって、${\displaystyle X}$予測できる${\displaystyle M_{Y}}$、 しかし${\displaystyle Y}$予測不可能${\displaystyle M_{X}}$。

変数に対する収束クロスマッピングの基本手順${\displaystyle X}$長さ${\displaystyle N}$変数に対して${\displaystyle Y}$は：

1. 必要に応じて、状態空間多様体を作成する${\displaystyle M_{Y}}$から${\displaystyle Y}$
2. ライブラリサブセットサイズのシーケンスを定義する${\displaystyle L}$ごくわずかな割合から${\displaystyle N}$に近づく${\displaystyle N}$。
3. アンサンブルの数を定義する${\displaystyle N_{E}}$各図書館規模ごとに評価する。
4. 各ライブラリサブセットサイズにおいて${\displaystyle L_{i}}$:
   1. のために${\displaystyle N_{E}}$アンサンブル：
      1. ランダムに選択${\displaystyle L_{i}}$状態空間ベクトルから${\displaystyle M_{Y}}$
      2. 見積もり${\displaystyle {\hat {X}}}$ランダムなサブセットから${\displaystyle M_{Y}}$シンプレックス状態空間予​​測を使用する
      3. 相関を計算する${\displaystyle \rho }$間${\displaystyle {\hat {X}}}$そして${\displaystyle X}$
   2. 平均相関を計算する${\displaystyle {\bar {\rho }}}$オーバー${\displaystyle N_{E}}$アンサンブル${\displaystyle L_{i}}$
5. スペクトル${\displaystyle {\bar {\rho }}}$対${\displaystyle L}$収束性を示す必要がある。
6. 有意性を評価する。一つの手法は比較することである。${\displaystyle {\bar {\rho }}}$に${\displaystyle {\bar {\rho _{S}}}}$から計算${\displaystyle S}$ランダムな実現（代理）${\displaystyle X}$。

CCMは、2つの変数が同じ力学系に属しているかどうかを検出するために使用されます。たとえば、イワシの個体数データから過去の海洋表面温度を推定できるかどうか、または宇宙線と地球の気温の間に因果関係があるかどうかなどです。後者については、宇宙線が雲の形成、ひいては雲量、ひいては地球の気温に影響を与える可能性があるという仮説が立てられました。^{[ 3 ]}

CCMの拡張機能には以下が含まれます。

• 拡張収束クロスマッピング^{[ 4 ]}
• 収束型クロスソート^{[ 5 ]}

• 経験的動的モデリング
• システムダイナミクス
• 複雑なダイナミクス

• Chang, CW., Ushio, M. & Hsieh, Ch. (2017). "初心者のための経験的動的モデリング" . Ecol Res . 32 (6): 785– 796. doi : 10.1007/s11284-017-1469-9 . hdl : 2433/235326 .{{cite journal}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)
• Stephan B Munch、Antoine Brias、George Sugihara 、Tanya L Rogers (2020)。「非線形ダイナミクスと経験的動的モデリングに関するよくある質問」。ICES Journal of Marine Science。77 ( 4): 1463–1479。doi : 10.1093/icesjms/fsz209。{{cite journal}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)

アニメーション:

• 状態空間再構成：時系列と動的システム（YouTube）
• 状態空間の再構築：タケンスの定理とシャドウ多様体（YouTube）
• 状態空間再構成：収束クロスマッピング（YouTube）