エラー訂正モデル

誤差修正モデル( ECM )は、複数の時系列モデルのカテゴリに属し、基礎となる変数が共和分とも呼ばれる長期の共通の確率的傾向を持つデータに最も一般的に使用されます。ECM は、ある時系列が別の時系列に及ぼす短期的および長期的な影響を推定するのに役立つ、理論に基づいたアプローチです。誤差修正という用語は、最終期間の長期均衡からの偏差 (誤差) が短期的なダイナミクスに影響を与えるという事実に関連しています。したがって、ECM は、他の変数の変化後に従属変数が均衡に戻る速度を直接推定します。

Yule (1926) とGrangerとNewbold (1974) は、偽相関の問題に注目し、時系列分析でそれに対処する方法を見つけた最初の人たちでした。^{[1] [2]}完全に無関係だが統合された (非定常) 時系列が与えられた場合、一方を他方に対して回帰分析すると、明らかに統計的に有意な関係が生じる傾向があり、そのため研究者はこれらの変数の間に真の関係の証拠を見つけたと誤って信じる可能性があります。通常の最小二乗法は一貫性がなくなり、一般的に使用される検定統計量は有効でなくなります。特に、モンテカルロシミュレーションでは、非常に高いR 二乗、非常に高い個別のt 統計量、および低いDurbin–Watson 統計量が得られることが示されています。技術的に言えば、Phillips (1986) は、サンプルサイズが大きくなるにつれて、パラメータ推定値は確率的に収束せず、切片は発散し、傾きは非退化分布になることを証明しました。^{[3]しかし、両方の系列に共通の}確率的傾向がある可能性があり、それはこれらの変数間の長期的な関係を反映しているため、研究者が本当に興味を持っている可能性があります。

トレンドの確率的性質のため、統合された系列を決定論的 (予測可能) なトレンドとトレンドからの偏差を含む定常系列に分割することはできません。決定論的にトレンドを除去したランダム ウォークでも、最終的には偽の相関関係が現れます。したがって、トレンドを除去しても推定の問題は解決されません。

Box–Jenkins アプローチを引き続き使用するには、一般的に使用される多くの時系列 (たとえば、経済学) が 1 次差分で定常であるように見えることを考慮して、系列を差分してからARIMAなどのモデルを推定することができます。このようなモデルからの予測は、データに存在するサイクルと季節性を反映します。ただし、レベルのデータに含まれる可能性のある長期的な調整に関する情報は省略され、より長期的な予測は信頼できません。

これにより、サーガン（1964）はレベル情報を保持するECM手法を開発しました。^{[4] [5]}

文献では、上述のように洗練された動的モデルを推定するいくつかの方法が知られている。その中には、 1ステップでECMを推定するEngleとGrangerの2ステップアプローチや、 Johansenの方法を使用したベクトルベースのVECMなどがある。^[6]

この方法の最初のステップは、使用する個々の時系列を事前テストして、そもそもそれらが非定常であることを確認することです。これは、標準の単位根 DFテストとADF テスト(連続相関エラーの問題を解決するため)によって実行できます。2 つの異なる系列との場合を考えてみましょう。両方が I(0) の場合、標準の回帰分析が有効になります。これらが異なる順序で積分されている場合 (たとえば、一方が I(1) でもう一方が I(0) の場合)、モデルを変換する必要があります。 ${\displaystyle x_{t}}$${\displaystyle y_{t}}$

両者が同じ次数（通常はI(1)）に積分されている場合、次のようなECMモデルを推定することができる。

${\displaystyle A(L)\,\Delta y_{t}=\gamma +B(L)\,\Delta x_{t}+\alpha (y_{t-1}-\beta _{0}-\beta _{1}x_{t-1})+\nu _{t}.}$

両方の変数が統合され、この ECM が存在する場合、それらは Engle–Granger 表現定理によって共統合されます。

2番目のステップは、通常の最小二乗法を使用してモデルを推定することです。 上記のテスト基準によって回帰が偽でない場合、通常の最小二乗法は有効であるだけでなく、一貫性もあります（Stock、1987）。次に、この回帰から予測された残差が保存され、差分変数と遅延誤差項の回帰に使用されます。 ${\displaystyle y_{t}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{t}+\varepsilon _{t}}$${\displaystyle {\hat {\varepsilon_{t}}}=y_{t}-\beta_{0}-\beta_{1}x_{t}}$

${\displaystyle A(L)\,\Delta y_{t}=\gamma +B(L)\,\Delta x_{t}+\alpha {\hat {\varepsilon }}_{t-1}+\nu _{t}.}$

次に、 の標準t 統計量を使用して共和分を検定することができます。このアプローチは簡単に適用できますが、多くの問題があります。 ${\displaystyle \alpha}$

• 第一段階で使用される単変量単位根検定は統計的検出力が低い。
• 第一段階での従属変数の選択はテスト結果に影響を及ぼします。つまり、グレンジャー因果律によって決定される弱い外生性が必要です。${\displaystyle x_{t}}$
• サンプルに若干の偏りが生じる可能性がある
• 共和分検定は標準分布に従わない${\displaystyle \alpha}$
• 残差を得る最初の回帰段階における長期パラメータの妥当性は、共和分ベクトルのOLS推定値の分布が非常に複雑で非正規であるため検証できない。
• 最大で1つの共和分関係を調べることができます。^{[引用が必要]}

上で説明した Engle-Granger アプローチには、いくつかの弱点があります。つまり、従属変数として指定された 1 つの変数を持つ単一の方程式のみに制限され、その変数は、関心のあるパラメータに対して弱外生的であると想定される別の変数によって説明されます。また、変数が I(0) か I(1) かを調べるために、時系列を事前テストする必要があります。これらの弱点は、Johansen の手順を使用することで対処できます。その利点には、事前テストが不要であること、多数の共和分関係が存在する可能性があること、すべての変数が内生的として扱われること、長期パラメータに関連するテストが可能であることが挙げられます。結果として得られるモデルは、ベクトル自己回帰(VAR) と呼ばれる多因子モデルにエラー修正機能を追加するため、ベクトル エラー修正モデル (VECM) と呼ばれます。手順は次のように実行されます。

• ステップ1: 潜在的に非定常な変数を含む無制限VARを推定する
• ステップ2:ヨハンセン検定を使用して共和分を検定する
• ステップ 3: VECM を作成して分析します。

共和分の考え方は、単純なマクロ経済の設定で実証することができます。消費と可処分所得が、長期的には関連するマクロ経済の時系列であると仮定します（永久所得仮説を参照）。具体的には、平均消費性向が90%、つまり長期的には であるとします。計量経済学者の観点からは、この長期的な関係（別名共和分）は、回帰からの誤差が定常系列である（ただし、と は非定常である）場合に存在します。また、 が突然 だけ変化すると、 がだけ変化する、つまり限界消費性向が50% になると仮定します。最終的な仮定は、現在の消費と均衡消費の差が各期間で 20% 減少することです。 ${\displaystyle C_{t}}$${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle C_{t}=0.9Y_{t}}$${\displaystyle C_{t}=\beta Y_{t}+\varepsilon _{t}}$${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle C_{t}}$${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle \Delta Y_{t}}$${\displaystyle C_{t}}$${\displaystyle \Delta C_{t}=0.5\,\Delta Y_{t}}$

この設定では、消費レベルの変化はとしてモデル化できます。右辺の第 1 項は の変化の への短期的な影響を表し、第 2 項は変数間の均衡関係に向かう長期的な引力について説明します。第 3 項はシステムが受けるランダム ショック (例: 消費に影響を与える消費者信頼感のショック) を反映します。モデルがどのように機能するかを確認するために、永続的なショックと一時的 (一時的) なショックの 2 種類について考えます。簡単にするために、すべての t に対して を 0 とします。期間t  − 1 にシステムが均衡状態、つまり に あるとします。期間 t に可処分所得が10 増加し、その後以前のレベルに戻るとします。その後、最初 (期間 t で) は 5 (10 の半分) 増加しますが、2 番目の期間の後は減少し始め、最初のレベルに収束します。対照的に、 へのショックが永続的である場合、 は最初のレベルを 9 上回る値にゆっくりと収束します。 ${\displaystyle \Delta C_{t}=C_{t}-C_{t-1}}$${\displaystyle \Delta C_{t}=0.5\,\Delta Y_{t}-0.2(C_{t-1}-0.9Y_{t-1})+\varepsilon _{t}}$${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle C_{t}}$${\displaystyle \varepsilon _{t}}$${\displaystyle C_{t-1}=0.9Y_{t-1}}$${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle C_{t}}$${\displaystyle C_{t}}$${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle C_{t}}$${\displaystyle C_{t-1}}$

この構造はすべての ECM モデルに共通です。実際には、計量経済学者は最初に共和分関係 (レベルの式) を推定し、次にそれをメイン モデル (差分の式) に挿入することがよくあります。

• ドラド、フアン・J。ゴンサロ、ヘスス。マルモル、フランセスク (2001)。 「共積分」。 Baltagi、Badi H. (編)。理論計量経済学の仲間。オックスフォード: ブラックウェル。 634–654ページ。土井：10.1002/9780470996249.ch31。ISBN 0-631-21254-X。
• エンダース、ウォルター (2010)。応用計量経済時系列(第 3 版)。ニューヨーク: ジョン ワイリー アンド サンズ。pp. 272–355。ISBN 978-0-470-50539-7。
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