予測誤差の分散分解

計量経済学や多変量時系列分析のその他の応用では、分散分解または予測誤差分散分解（FEVD ）は、ベクトル自己回帰（VAR）モデルの適合後にその解釈を支援するために使用されます。 ^[1]分散分解は、自己回帰において各変数が他の変数に寄与する情報量を示します。これにより、各変数の予測誤差分散のうち、他の変数への外生ショックによって説明できる量が決定されます。

フォームのVAR（p）の場合

${\displaystyle y_{t}=\nu +A_{1}y_{t-1}+\dots +A_{p}y_{tp}+u_{t}}$ 。

これをコンパニオン形式で記述することで、VAR(1)構造に変更できます（VAR(p)の一般的な行列表記を参照）。

${\displaystyle Y_{t}=V+AY_{t-1}+U_{t}}$どこ

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&\dots &A_{p-1}&A_{p}\\\mathbf {I} _{k}&0&\dots &0&0\\0&\mathbf {I} _{k}&&0&0\\\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &\mathbf {I} _{k}&0\\\end{bmatrix}}}$、、そして${\displaystyle Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{p}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle V={\begin{bmatrix}\nu \\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle U_{t}={\begin{bmatrix}u_{t}\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}}$

ここで、、およびは次元列ベクトル、は次元行列、、およびは次元列ベクトル です。${\displaystyle y_{t}}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle u}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle kp}$${\displaystyle kp}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle kp}$

変数のhステップ予測の平均二乗誤差は ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \mathbf {MSE} [y_{j,t}(h)]=\sum _{i=0}^{h-1}\sum _{l=1}^{k}(e_{j}'\Theta _{i}e_{l})^{2}={\bigg (}\sum _{i=0}^{h-1}\Theta _{i}\Theta _{i}'{\bigg )}_{jj}={\bigg (}\sum _{i=0}^{h-1}\Phi _{i}\Sigma _{u}\Phi _{i}'{\bigg )}_{jj},}$

そしてどこで

• ${\displaystyle e_{j}}$はのj^番目の列であり、添え字は行列のその要素を指す。${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle jj}$

• ${\displaystyle \Theta _{i}=\Phi _{i}P,}$ここで、はのコレスキー分解によって得られる下三角行列であり、 は 誤差の共分散行列である 。${\displaystyle P}$${\displaystyle \Sigma _{u}}$${\displaystyle \Sigma _{u}=PP'}$${\displaystyle \Sigma _{u}}$${\displaystyle u_{t}}$

• ${\displaystyle \Phi _{i}=JA^{i}J',}$ここで、は1 次元の行列です。${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{k}&0&\dots &0\end{bmatrix}},}$${\displaystyle J}$${\displaystyle k}$${\displaystyle kp}$

変数への外生的ショックによって説明される変数の予測誤差分散の量は次のように与えられる。${\displaystyle j}$${\displaystyle l}$${\displaystyle \omega _{jl,h},}$

${\displaystyle \omega _{jl,h}=\sum _{i=0}^{h-1}(e_{j}'\Theta _{i}e_{l})^{2}/MSE[y_{j,t}(h)].}$

• 分散分析