トポロジカル量子コンピュータ

その名に恥じないようにするには、トポロジカル量子コンピュータは、捕捉された量子粒子を使用する従来の量子コンピュータ設計によって約束された独自の計算特性を提供しなければなりません。2000年に、Michael H. Freedman、Alexei Kitaev、Michael J. Larsen、およびZhenghan Wangは、トポロジカル量子コンピュータは原理的に、従来の量子コンピュータが実行できるすべての計算を実行でき、またその逆も可能であることを証明しました。^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

彼らは、論理回路がエラーなく動作する場合、従来の量子コンピュータ装置は絶対的な精度で解を与えるが、トポロジカル量子コンピューティング装置が完璧に動作しても、有限の精度でしか解を与えないことを発見した。しかし、トポロジカル量子コンピュータにブレイドツイスト（論理回路）を追加することで、単純な線形関係で、任意の精度で答えを得ることができる。言い換えれば、要素（ブレイドツイスト）を適度に増やすことで、答えの精度を高くすることができる。実際の計算[ゲート]は、分数量子ホール効果のエッジ状態によって行われる。このため、1次元アニオンのモデルが重要になる。1次元空間では、アニオンは代数的に定義される。

量子ブレイドは、捕捉された量子粒子よりも本質的に安定しているものの、隣接するブレイドに干渉するランダムな迷走アニオンのペアを生成する、エラーを引き起こす熱ゆらぎを制御する必要がある。これらのエラーを制御するには、干渉する迷走アニオンの発生率がほぼゼロになる距離までアニオンを分離すればよい。トポロジカル量子コンピュータのダイナミクスをシミュレートすることは、標準的な量子情報処理方式であっても、フォールトトレラントな量子計算を実装する有望な方法となる可能性がある。Raussendorf、Harrington、およびGoyalは、有望なシミュレーション結果を得て、1つのモデルを研究した。^{[ 16 ]}

フィボナッチアニオンは、次の3つの性質によって定義されます。

1. それらは位相電荷を持ち、$\displaystyle \tau }$この議論では、別の電荷について検討します。${\displaystyle 1}$これは、エニオン同士が対消滅した場合の「真空」電荷である。
2. これらのアニオンはそれぞれ、自身の反粒子である。${\displaystyle \tau =\tau ^{*}}$そして${\displaystyle 1=1^{*}}$。
3. 互いに近づけると、それらは非自明な方法で「融合」する。具体的には、「融合」のルールは以下のとおりである。
   • ${\displaystyle 1\otimes 1=1}$
   • ${\displaystyle 1\otimes \tau =\tau \otimes 1=\tau }$
   • ${\displaystyle \tau \otimes \tau =1\oplus \tau }$
4. このシステムの多くの特性は、2つのスピン1/2粒子の場合と同様に説明できます。特に、同じテンソル積を使用します。${\displaystyle \otimes }$直接合計${\displaystyle \oplus }$オペレーター。

最後の「融合」ルールは、3つのアニオンからなるシステムにも拡張できる。

${\displaystyle \tau \otimes \tau \otimes \tau =\tau \otimes (1\oplus \tau )=\tau \otimes 1\oplus \tau \otimes \tau =\tau \oplus 1\oplus \tau =1\oplus 2\cdot \tau }$

したがって、3つのアニオンを融合すると、最終的な全電荷状態が得られます。$\displaystyle \tau }$2つの方法で、または${\displaystyle 1}$正確には1つの方法で。基底を定義するために3つの状態を使用します。^{[ 19 ]}しかし、これら3つのアニオン状態を0と1の重ね合わせとしてエンコードしたいので、基底を2次元ヒルベルト空間に制限する必要があります。したがって、合計電荷が2つの状態のみを考慮します。$\displaystyle \tau }$この選択は純粋に現象論的なものです。これらの状態では、左端の2つのアニオンを「コントロールグループ」にまとめ、右端を「非計算アニオン」とします。${\displaystyle |0\rangle }$対照群が合計「融合」した電荷を持つ状態として${\displaystyle 1}$、そして${\displaystyle |1\rangle }$総「融合」電荷を持つ対照群は$\displaystyle \tau }$より詳しい説明については、Nayak を参照してください。^{[ 19 ]}

上記の考え方に従って、これらのアニオンを断熱的に互いに編み込むと、ユニタリ変換が得られます。これらの編み込み演算子は、2つのサブクラスの演算子から構成されます。

• F行列​
• R行列​

R行列は、概念的には、編み込み中にアニオンに付与される位相と考えることができる。アニオンが互いに巻き付くにつれて、アハロノフ・ボーム効果によって位相が付与される。

F行列は、アニオンの物理的な回転の結果です。アニオン同士が編み込まれる際、下位2つのアニオン（制御群）が依然として量子ビットの状態を区別することに留意することが重要です。したがって、アニオンを編み込むと、制御群に含まれるアニオンが変わり、基底も変わります。アニオンの評価は、常に最初に制御群（下位のアニオン）を融合することによって行われるため、これらのアニオンを交換するとシステムが回転します。これらのアニオンは非可換であるため、アニオンの順序（制御群に含まれるアニオン）が重要となり、それによってシステムが変換されます。

完全なブレイド演算子は次のように導出できます。

${\displaystyle B=F^{-1}RF}$

F演算子とR演算子を数学的に構築するために、これらの F 演算子と R 演算子の順列を考えることができます。操作する基底を順次変更すると、最終的に同じ基底に戻ることがわかっています。同様に、アニオンを互いに一定回数編み込むと、同じ状態に戻ることがわかっています。これらの公理は、それぞれ五角形公理と六角形公理と呼ばれ、操作の実行は状態変換の五角形/六角形で視覚化できます。数学的には難しいですが、^{[ 20 ]}これらは視覚的にはるかにうまくアプローチできます。

これらのブレイド演算子を用いることで、ブレイドがヒルベルト空間上でどのように作用するかという観点からブレイドの概念を形式化し、任意の普遍的な量子ゲートを構築することができる。^{[ 21 ]}