表面コード

表面コードは、 2 次元スピン格子上で定義される位相的量子誤り訂正コードであり、安定化コードの一例です。^{[ 1 ]} 1997 年にAlexei Kitaevによって導入された最初のタイプの表面コードはトーリック コードであり、その名前は周期境界条件から来ており、トーラスの形状を与えます。これらの条件により_、モデルは並進不変性を持ち、解析的研究に役立ちます。トーリック コードが最も単純で、最もよく研​​究されている量子二重モデルです。^{[ 2 ]}また、位相秩序の最も単純な例でもあります。Z 2位相秩序 (1991 年にZ ₂スピン液体の文脈で初めて研究されました)。^{[ 3 ] [ 4 ]}トーリック コードはまた、特定の極限におけるZ ₂格子ゲージ理論と考えることもできます。^{[ 5 ]}

しかし、多くの量子計算プラットフォームでは、表面コードを2D平面に埋め込むことができれば、表面コードの実験的実現ははるかに容易になります。これが、開放境界条件を持つ別のタイプの表面コードである平面コードの設計を促しました。 [ ^{6 ] 2025}年現在、Google Quantum AIは、最新世代の超伝導量子プロセッサであるWillowプロセッサに距離7の平面コードを実装し、閾値以下の物理的エラー率を実証しています。^{[ 7 ]}

表面コードは2次元格子上で定義され、通常は正方格子が選択されます。以下では、まずトーリックコードを用いて基本概念を説明します。トーリックコードでは、格子は周期境界条件を持ち、上側の境界は下側の境界に、左側の境界は右側の境界に接続されています。位相幾何学的には、これは格子をトーラス上に定義することと同等です。

格子の各辺に量子ビットが配置されます。d × d格子の場合、水平方向の辺がd ^{2 個}、垂直方向の辺がd ^{2 個}あるため、合計で2 d ²個の量子ビットが存在します。安定化演算子は、格子の各頂点vおよびプラケット (面) pの周囲の量子ビットに対して、次のように定義されます。

${\displaystyle A_{v}=\prod _{i\in v}X_{i},\,\,B_{p}=\prod _{i\in p}Z_{i}.}$

ここ${\displaystyle i\in v}$は頂点vに接する辺を表し、${\displaystyle i\in p}$プラークを囲む縁を示します${\displaystyle p}$トーリック符号の符号空間は、すべての安定化器が自明に作用する部分空間であり、したがって任意の状態に対して${\displaystyle |\psi \rangle }$この空間では、

${\displaystyle A_{v}|\psi \rangle =|\psi \rangle ,\,\,\forall v,\,\,B_{p}|\psi \rangle =|\psi \rangle ,\,\,\forall p.}$

トーリック符号の場合、この空間は4次元であるため、2量子ビットの量子情報を格納できます。これは、独立安定化演算子の数を考慮することで証明できます。d × d格子の場合、 d 2^個の頂点安定化演算子とd ^2個のプラケット安定化演算子がありますが、すべての頂点安定化演算子の積はIであり、すべてのプラケット安定化演算子の積も同様です。したがって、 2 d ² − 2個の独立安定化演算子があり、2量子ビット分の自由度が残ります。

エラーが発生すると、通常は状態がコード空間から外れ、上記の条件が成り立たない頂点とプラケットが生じます。具体的には、量子ビットiでのパウリZエラーにより、2 つの頂点安定化器A _{v が}反転し、${\displaystyle i\in v}$（エッジiの端点）、そして量子ビットiでのパウリXエラーにより、2 つのプラケット安定化器B _{pが反転し、}${\displaystyle i\in p}$（エッジiの両側にあるプラケット）。これらの違反の位置はコードのシンドロームであり、エラー訂正に使用できます。

表面コードのようなトポロジカルコードの特異な性質は、安定化違反を準粒子として解釈できることである。具体的には、コードが状態にある場合${\displaystyle |\phi \rangle }$そのため${\displaystyle A_{v}|\phi \rangle =-|\phi \rangle }$頂点v上には、 eアニオンと呼ばれる準粒子が存在すると言える。同様に、いくつかの違反は${\displaystyle B_{p}}$は、プラケットp上のm個のマニオンに関連付けられています。安定化子違反のないコード空間は、アニオン真空に対応します。すべての頂点（またはプラケット）安定化子の積がIであるという事実は、トーリックコード上のe（またはm ）個のアニオンの数が常に偶数であることを意味します。

単一量子ビットのZエラーはエッジに関連付けられ、そのエッジの両端に一対のeアニオンを生成します。しかし、同じ場所にある2つのeアニオンは互いに消滅するため、Zエラーはeアニオンをエッジに沿って移動させる効果もあり、格子上でeアニオンを輸送することができます。最初の2つのアニオンが最終的に出会って消滅した場合、それらの経路はループを形成します。

• ループが位相的に自明であれば、格子上のプラケット（ Z安定化生成子）の組み合わせとして記述できます。したがって、ループはコードのZ安定化子を表し、格納された情報には影響を与えません。この場合、アニオンの消滅によって、アニオンの生成と輸送に関わるすべてのエラーが修正されます。
• しかし、ループがトポロジー的に非自明な場合、それは非自明な論理演算子を表します。アニオンの再消滅は状態をコード空間に戻しますが、同時に格納された情報に対して論理演算を実行します。したがって、この場合、エラーは修正されるのではなく、統合されます。
  • トーラス上には、位相的に非自明な独立したループが2つ存在する。1つはトーリックコード格子上で水平方向にループするもの、もう1つは垂直方向にループするものである。これらは、トーリックコードに符号化された2つの論理量子ビットのZ演算子と同一視できる。

格子の双対グラフを考慮すると、上記の段落はXエラーとmマニオンにも適用されることがわかります。水平方向のZ演算子と垂直方向のX演算子は同じ量子ビットに属し、その逆もまた同様であることに注意してください。これにより、論理演算子間の正しい交換関係が保証されます。

サーフェスコードを開放境界条件に適合させると、特別な境界挙動が生じます。具体例として、上記と同様の方法でサーフェスコードを定義する場合を考えてみましょう。ただし、n × nの正方形グリッドグラフ上で定義します。境界上のいくつかの頂点は次数が 4 ではなく 3 となり（角の頂点は次数が 2 となります）、重み 3（および重み 2）のX安定化要素がいくつか存在します。

このような開放境界の最も重要な特徴は、パウリXエラーによって必ずしも2つのプラケット安定化素子が反転するわけではないという点です。境界上のエッジには隣接するプラケットが1つしかないため、対応する量子ビット上のXエラーは1つのプラケットしか反転しません。${\displaystyle B_{p}}$または、アニオンの言語で言えば、単一のmアニオンを生成または消滅させるだけです。この種のコード境界（スムーズ境界として知られています）は、 mアニオンのソースおよびシンクであると言えます。

境界が開いているサーフェスコードでは、真のループに加えて、境界で開始および終了するパスを考慮する必要があります。これは通常、アニオンの種類に固有のものです。n × nグリッドグラフの例では、mアニオンは境界上の任意の場所で生成され、グリッドを横切って移動し、境界上の他の任意の場所で消滅することができます。ただし、境界の種類は 1 つしかないため、これらのパスはすべて位相的に自明です。たとえば、mアニオンが上部境界の中央付近で生成され、水平方向に 1 ステップ移動し、再び上部境界で消滅する場合、そのパスは、前述の重み 3 のX安定化器のいずれかに対応します。一方、eアニオンは境界内でのみ移動できるため、すべてのeアニオンのループも位相的に自明です。これは、このコードが論理量子ビットをエンコードしていないことを示しており、量子ビットと安定化子の数を数えることで検証できます。2 n ( n − 1)個の量子ビット (格子端)、n ² − 1 個の独立した頂点安定化子、および( n − 1) ^{2 個}の独立したプラケット安定化子 (境界のため、すべてのプラケット安定化子の積はもはやIではなく、それらはすべて独立しています) があり、2 n ( n − 1) − ( n ² − 1) − ( n − 1) ² = 0 です。

非自明な符号空間を持つ開放境界表面符号を設計するには、滑らかな境界の双対として機能する別のタイプの境界、粗い境界を使用する必要があります。粗い境界を作成するには、滑らかな境界から始めて、境界上で1つのプラケットにのみ隣接するエッジ（量子ビット）を削除しますが、それらのプラケットは重み3のZ安定化子として残します。元の境界上の頂点安定化子は重み1になり、変更されたプラケット安定化子と適切に可換ではなくなったため、それらの頂点安定化子も削除され、格子上にいくつかの「ぶら下がった」エッジが残ります（これが「粗い」という名前の由来です）。結果として、eアニオンのソースおよびシンクとして機能する境界が得られます。

ここで、上面と下面の境界が滑らかで、左面と右面の境界が粗い格子を考えます。このような格子は、（回転していない）平面コードを定義します。上面境界から上面境界へ移動するm個のアニオンは依然として位相的に自明なパスですが、上面境界から下面境界へ移動するアニオンは、左面または右面境界から出ることができないため、位相的に自明ではなくなります。同様に、e個のアニオンの位相的に非自明なパスは、左面境界から右面境界へ移動するパスです。元のグリッドがd行d +1列の頂点を持つ場合（左面と右面境界の頂点安定化子を取り除く前）、位相的に非自明なパスのどちらのタイプも最小長dを持ち、コードがコード距離dの単一の論理量子ビットを符号化していることを示しています。論理量子ビットの数は、安定化器を数えることで再び確認できます。( d ² + ( d − 1) ² ) − d ( d − 1) − d ( d − 1) = 1 (1 つの頂点安定化器の一部にすぎない「ぶら下がったエッジ」のため、頂点安定化器もすべて独立しています)。

表面コードに格納された論理情報に対して量子計算を実行する手段が検討されており、コードの特性によって耐障害性が提供される。スタビライザー空間を「穴」、つまりスタビライザーが適用されない頂点またはプラケットを使用して拡張すると、多くの量子ビットをコードにエンコードできることが示されている。しかし、普遍的なユニタリゲートのセットはユニタリ演算によって耐障害性をもって実装することはできないため、量子計算を実現するには追加の技術が必要となる。例えば、量子ビットとして置き換えられるときに必要な追加ゲートをテレポートするために使用されるtidBitsと呼ばれるエンコードされた量子スタブを介して魔法状態を準備することで、普遍的な量子計算を実現できる。さらに、魔法状態の準備は耐障害性でなければならず、これはノイズのある魔法状態に対する魔法状態蒸留によって実現できる。この原理に基づく測定ベースの量子計算スキームが発見されており、そのエラー閾値は2次元アーキテクチャで知られている中で最も高い。^{[ 14 ] [ 15 ]}

表面コードの安定化演算子は準局所的であり、2次元格子上で互いに近い位置にあるスピンにのみ作用するため、次のハミルトニアンを定義することは非現実的ではない。

${\displaystyle H_{\rm {TC}}=-J_{e}\sum _{v}A_{v}-J_{m}\sum _{p}B_{p},\,\,\,J_{e},J_{m}>0.}$

このハミルトニアンの基底状態空間は、コードの安定化空間です。励起状態はアニオンの励起状態に対応し、そのエネルギーはアニオンの数に比例します。したがって、局所的なエラーはギャップによってエネルギー的に抑制され、このギャップは局所的な摂動に対して安定であることが示されています。^{[ 16 ]}しかし、このような摂動の動的な影響は、依然としてコードに問題を引き起こす可能性があります。^{[ 17 ] [ 18 ]}

このギャップにより、コードは熱エラーに対してある程度の耐性を持ち、ある一定の臨界時間内であればほぼ確実に修正可能となる。この時間は、${\displaystyle J}$しかし、この結合を任意に増加させることは非現実的であるため、ハミルトニアンによって与えられる保護には依然として限界がある。

表面コードを完全自己修正量子メモリにする手段はしばしば検討される。自己修正とは、ハミルトニアンが自然にエラーを無限に抑制し、熱力学的極限で発散する寿命につながることを意味する。これは、トーリックコードでは、アニオン間に長距離相互作用が存在する場合にのみ可能であることがわかっている。^{[ 19 ] [ 20 ]}これらの実現に向けて実験室で提案がなされている^{[ 21 ]。}別のアプローチは、モデルを高次元に一般化することであり、準局所的相互作用のみで4Dで自己修正が可能となる。^{[ 22 ]}

より高次元のスピンを使用して同様のコードを定義することが可能です。これらは量子ダブルモデル^{[ 23 ]}とストリングネットモデル^{[ 24 ]}であり、アニオンの振る舞いの多様性を高めることができるため、より高度な量子計算や誤り訂正の提案に使用できる可能性があります。^{[ 25 ]}これらには、アーベル統計を持つモデルだけでなく、非アーベル統計を持つモデルも含まれます。^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}

トーリック符号の特性を最も明確に実証したのは、状態ベースのアプローチです。ハミルトニアンを実現しようとするのではなく、これらのアプローチでは、単に安定化空間で符号を準備します。この手法を用いることで、アニオンの生成、輸送、統計^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]} 、およびトポロジカルエンタングルメントエントロピーの測定^{[ 31 ]}を実証することができました。最近の実験では、符号の誤り訂正特性も実証されています^{[ 32 ] [ 31 ] 。}

ハミルトニアンを用いたトーリック符号とその一般化の実現に関して、ジョセフソン接合を用いて多くの進歩が遂げられてきた。ハミルトニアンをどのように実装できるかの理論は、幅広いクラスのトポロジカル符号に対して開発されてきた。^{[ 33 ]}また、小さな格子に対してトーリック符号ハミルトニアンを実現し、その縮退した基底状態によって提供される量子メモリを実証する実験も行われた。^{[ 34 ]}

実現に向けたその他の理論的および実験的研究は、冷却原子に基づいている。光格子でトポロジカルコードを実現するために使用できる手法のツールキットが検討されており、 ^{[ 35 ]}トポロジカル秩序の最小インスタンスに関する実験も行われている。^{[ 36 ]}このようなトーリックコードの最小インスタンスは、孤立した正方形のプラケット内で実験的に実現されている。^{[ 37 ]}また、リュードベリ原子を用いたトーリックモデルのシミュレーションも進展しており、ハミルトニアンと散逸ノイズの影響を実証できる。^{[ 38 ] [ 39 ]}リュードベリ原子アレイでの実験では、もつれた原子のアレイをコヒーレントに輸送することにより、2 次元で周期境界条件を持つトーリックコードを実現することにも成功している。^{[ 40 ]}

2025年現在、Google Quantum AIは、最新世代の超伝導量子プロセッサであるWillow上で、コード距離7までの平面回転コードを実装しており、コード距離を2増やすと論理エラー抑制係数Λが2よりわずかに大きくなり、閾値以下の動作を示している。^{[ 7 ]}

• https://skepsisfera.blogspot.com/2010/04/kitaevs-toric-code.html