乗法数列

数学において、乗法列またはm列とは、形式的な群構造に関連付けられた多項式の列のことである。これらは代数トポロジーにおけるコボルディズム環に応用されている。

K _{n を、}環A上の不定元p ₁ , ...に関する多項式とし、p _{i の}重みがi ( p _{0 = 1) であり、} K _nのすべての項の重みがnであるように重み付けする(特に、K _nはp ₁ ,  ..., p _nに関する多項式である)。数列K _nは、写像が次の条件を満たす場合に乗法的である。 

${\displaystyle K:\sum _{n=0}^{\infty }q_{n}z^{n}\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }K_{n}(q_{1},\cdots ,q_{n})z^{n}}$

は乗法モノイドの自己準同型である${\displaystyle (A[x_{1},x_{2},\cdots ][[z]],\cdot )}$、 どこ$\displaystyle q_n\in A[x_1,x_2,\cdots ]}$。

パワーシリーズ

${\displaystyle K(1+z)=\sum K_{n}(1,0,\ldots ,0)z^{n}}$

はK _nの特性冪級数です。乗法数列は特性冪級数Q ( z ) によって決定され、定数項 1 を持つすべての冪級数は乗法数列を生成します。 

特性べき級数Q ( z ) から乗法列を復元するために、積におけるz ^jの係数を考慮する。

$\displaystyle \prod _{i=1}^{m}Q(\beta _{i}z)\ }$

任意のm > jに対して。これはβ _iに関して対称であり、重みjに関して同次であるため、 βの基本対称関数pに関する多項式K _j ( p ₁ , ..., p _j )として表現できます。すると、K _{j は}乗法列を定義します。      

例えば、数列K _n = p _nは乗法的であり、特性べき級数 1 + zを持ちます。 

べき級数を考えてみよう

${\displaystyle Q(z)={\frac {\sqrt {z}}{\tanh {\sqrt {z}}}=1-\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {2^{2k}}{(2k)!}}B_{k}z^{k}\ }$

ここで、B _kはk 番目のベルヌーイ数である。特性べき級数としてQを用いた乗法数列はL _j ( p ₁ ,  ..., p _j ) で表される。 

特性べき級数を持つ乗法数列

${\displaystyle Q(z)={\frac {2{\sqrt {z}}}{\sinh 2{\sqrt {z}}}\ }$

A _j ( p ₁ ,..., p _j )と表記される。

特性べき級数を持つ乗法数列

${\displaystyle Q(z)={\frac {z}{1-\exp(-z)}}=1+{\frac {x}{2}}-\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {B_{k}}{(2k)!}}z^{2k}\ }$

T _j ( p ₁ ,..., p _j )と表記される。これらはトッド多項式である。

乗法列の種数は、滑らかで向き付けられたコンパクト多様体のコボルディズム環から 別の環（通常は有理数の環）への環準同型である。

例えば、トッド種数は特性冪級数を持つトッド多項式に関連付けられています。${\displaystyle {\frac {z}{1-\exp(-z)}}}$。

• ヒルツェブルッフ、フリードリヒ(1995) [1978].代数幾何学における位相幾何学的方法. 数学古典シリーズ. ドイツ語からの翻訳および付録1はR.L.E.シュヴァルツェンベルガーによる。付録2はA.ボレルによる（第2版の再版、第3版の修正版 ）。ベルリン：シュプリンガー出版. ISBN 3-540-58663-6. Zbl 0843.14009 .