ウィグナー回転

トーマス回転を基本レベルで研究する場合、通常は 3 つの座標系Σ、Σ ′、 Σ ′ ′を用いた設定を使用します。フレームΣ ′ はフレームΣに対して速度uを持ち、フレームΣ ′ ′ はフレームΣ ′に対して速度vを持ちます。

軸は、構成上、次のように方向付けられています。Σ ′から見ると、 Σ ′とΣの軸は平行です ( Σから見た場合のフレームのペアについても同じことが言えます)。 また、Σ ′から見ると、 Σ ′とΣ ′ ′の空間軸は平行です ( Σ ′ ′から見た場合のフレームのペアについても同じことが言えます)。^{[ 12 ]}これは EVPR の応用です。u がΣに対するΣ ′の速度である場合、u ′ = − uはΣに対するΣの速度です。 速度3ベクトルu は、プライム付きシステムとプライムなしシステムの両方で座標軸に対して同じ角度をなします。 これは、特定の時点で結合システムの 2 つのフレームのいずれかで取得されたスナップショットを表すものではありません。これは、以下の詳細な説明から明らかになるはずです。

これは、例えば正のz方向へのブーストが座標軸の直交性を維持するため可能である。一般的なブーストB ( w )は、 L = R ⁻¹ ( e _z , w ) B _z ( w ) R ( e _z , w )と表すことができ、ここでR ( e _z , w )はz軸をwの方向に向ける回転であり、B _zは新しいz方向へのブーストである。^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}各回転は、空間座標軸が直交するという性質を保持する。ブーストは、(中間) z軸をγ倍に引き伸ばし、中間x軸とy軸はそのままにする。^{[ 16 ]} 2回の連続した非共線ブーストの後、この構成で座標軸が平行でないという事実は、トーマス回転現象の正確な表現である。^{[ nb 1 ]}

Σから見えるΣ ′ ′の速度はw _d = u ⊕ vと表され、⊕ は速度の相対論的加算(通常のベクトル加算ではない)を指し、 ^{[ 17 ]で与えられます。}

そして

${\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{c^{2}}}}}}}$

は速度uのローレンツ因子です(縦棒| u |はベクトルの大きさを表します)。速度u はフレームΣに対するフレームΣ ′の速度と考えることができ、vは、例えば粒子や別のフレームΣ ′ ′に対する物体の速度です。特に指定がない限り、この文脈ではすべての速度はフレームの相対速度と考えるのが最適です。結果w = u ⊕ vは、フレーム Σ に対するフレーム Σ ′ ′の相対速度です。

速度の加算は非線形、非結合的、非可換であるが、演算の結果は正しくcより小さい大きさの速度を得る。通常のベクトル加算を使用した場合、 cより大きい大きさの速度を得る可能性がある。両方の合成速度のローレンツ因子γは等しい。

${\displaystyle \gamma =\gamma _{\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} }=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} }=\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }\left(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,,}$

速度ベクトルの交換の下では、ノルムは等しい。

${\displaystyle |\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |=|\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |={\frac {c}{\gamma }}{\sqrt {\gamma ^{2}-1}}\,.}$

考えられる2つの合成速度は大きさが等しく方向が異なるため、一方は他方の回転コピーでなければなりません。詳細およびここでは直接関係のないその他の特性については、メイン記事を参照してください。

逆の構成、すなわち、フレームΣ がフレームΣ ′に対して速度− uで移動し、フレームΣ ′がフレームΣ ′ ′に対して速度− vで移動するとします。つまり、 EPVR によりu → − uおよびv → − vとなります。すると、 ΣのΣ ′ ′に対する速度は( − v ) ⊕ (− u ) ≡ − v ⊕ uとなります。再び EPVR により、 ΣのΣ ′ ′に対する速度はw _i = v ⊕ uとなります。(A)

w _d ≠ w _iであることがわかります。これらは大きさは等しいですが、間に角度があります。2 つの慣性系間の単一のブーストの場合、明確な相対速度 (またはその負の値) は 1 つだけです。2 つのブーストの場合、1 つではなく 2 つの不等な相対速度という特異な結果は、任意の 2 つのフレーム間の相対運動の対称性と矛盾するように見えます。Σ ′ ′のΣに対する正しい速度はどれでしょうか? この不等式はやや予想外で、EPVR を破る可能性があるため、この質問は妥当です。^{[ nb 2 ]}

質問への答えはトーマス回転にあり、各ステップでどの座標系が関係しているかを注意深く指定する必要があるということです。Σから見ると、 ΣとΣ ′ ′の座標軸は平行ではありません。 (Σ, Σ ′ )と(Σ ′ , Σ ′ ′ )の両方のペアは平行な座標軸を持っているため、これは想像しにくいかもしれませんが、数学的に説明するのは簡単です。

速度の加算だけでは、フレーム間の関係を完全に記述することはできません。速度に対応するローレンツ変換を用いて、完全な記述を定式化する必要があります。任意の速度v (大きさがc未満)によるローレンツブーストは、記号的に次のように表されます。

${\displaystyle X'=B(\mathbf {v} )X}$

ここで、座標と変換行列はブロック行列形式で簡潔に表現される。

${\displaystyle X'={\begin{bmatrix}ct'\\\mathbf {r} '\end{bmatrix}}\quad B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma _{\mathbf {v} }&-{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }}{c}}\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\\-{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }}{c}}\mathbf {v} &\mathbf {I} +{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}{\dfrac {\mathbf {vv} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\\\end{bmatrix}}\quad X={\begin{bmatrix}ct\\\mathbf {r} \end{bmatrix}}}$

そして、r、r ′、vは列ベクトル（これらの行列転置は行ベクトル）であり、 γv_は速度vのローレンツ因子である。ブースト行列は対称行列である。逆変換は次式で与えられる。

${\displaystyle B(\mathbf {v} )^{-1}=B(-\mathbf {v} )\quad \Rightarrow \quad X=B(-\mathbf {v} )X'.}$

許容される各速度vには純粋なローレンツブーストが対応していることは明らかです。

${\displaystyle \mathbf {v} \leftrightarrow B(\mathbf {v} ).}$

速度加算u ⊕ v は、ブーストB ( v ) B ( u )の合成をこの順序で表したものです。B ( u )は最初にXに作用し、次にB ( v )はB ( u ) Xに作用します。演算子の合成では、後続の演算子は左側に作用することに注意してください。したがって、B ( v ) B ( u ) は、速度がuの次にvであるブーストとして解釈されるべきであり、vの次にuであるブーストとして解釈されるべきではありません。ブロック行列乗算によってローレンツ変換を実行すると、

${\displaystyle X''=B(\mathbf {v} )X'\,,\quad X'=B(\mathbf {u} )X\quad \Rightarrow \quad X''=\Lambda X}$

複合変換行列は^{[ 18 ]}

${\displaystyle \Lambda =B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}}$

そして、今度は、

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\gamma _{\mathbf {v} }\gamma _{\mathbf {u} }\left(1+{\frac {\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {a} &={\frac {\gamma }{c}}\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} \,,\quad \mathbf {b} ={\frac {\gamma }{c}}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \\\mathbf {M} &=\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }{\frac {\mathbf {vu} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}+\left(\mathbf {I} +{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}{\frac {\mathbf {vv} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\right)\left(\mathbf {I} +{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}{\frac {\mathbf {uu} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

ここでγは合成ローレンツ因子であり、aとbは合成速度に比例する3×1の列ベクトルである。3×3行列Mは幾何学的な意味を持つことがわかるだろう。

逆変換は

${\displaystyle X=B(-\mathbf {u} )X'\,,\quad X'=B(-\mathbf {v} )X''\quad \Rightarrow \quad X=\Lambda ^{-1}X''}$

そしてその構成は速度の否定と交換に相当する。

${\displaystyle \Lambda ^{-1}=B(-\mathbf {u} )B(-\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}}$

相対速度を交換すると、 Λのブロックを見ると、合成変換はΛの行列転置であることがわかります。これは元の行列と同じではないため、合成ローレンツ変換行列は対称ではなく、したがって単一のブーストではありません。これは、2 つのブーストの結果からの速度合成の不完全性に相当します。記号的に、

${\displaystyle B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\neq B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )\,.}$

説明を完全なものにするには、ブーストの前または後に回転を導入する必要があります。この回転はトーマス回転です。回転は次のように与えられます。

${\displaystyle X'=R({\boldsymbol {\theta }})X}$

ここで、4×4回転行列は

${\displaystyle R({\boldsymbol {\theta }})={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf {R} ({\boldsymbol {\theta }})\end{bmatrix}}}$

Rは3×3回転行列です。^{[ nb 3 ]}この記事では軸角表現が使用され、θ = θ eは「軸角ベクトル」、つまり角度θに軸に平行な単位ベクトルeを掛けたものです。また、空間座標には右手系が使用されています (方向 (ベクトル空間) を参照)。そのため、回転は右手の法則に従って反時計回りの方向で正、時計回りの方向で負になります。これらの規則により、回転行列は任意の 3d ベクトルを軸eの周りで角度θだけ反時計回りに回転させます (能動変換)。これは、座標系を同じ軸の周りで同じ角度だけ時計回りに回転させる (受動変換) のと同等の効果があります。

回転行列は直交行列であり、その転置行列は逆行列に等しく、回転行列の角度または軸のいずれかを反転すると反対方向の回転に対応するため、逆変換は容易に得られます。

${\displaystyle R({\boldsymbol {\theta }})^{-1}=R({\boldsymbol {\theta }})^{\mathrm {T} }=R(-{\boldsymbol {\theta }})\quad \Rightarrow \quad X=R(-{\boldsymbol {\theta }})X'\,.}$

回転の前後にブーストが行われる場合も、これらの操作によって時空間隔が不変となるため、ローレンツ変換となります。同じローレンツ変換は、適切なラピディティベクトルと軸角ベクトルを選択することで、2つの分解が可能です。

${\displaystyle \Lambda ({\boldsymbol {\theta }},\mathbf {u} )=R({\boldsymbol {\theta }})B(\mathbf {u} )}$

${\displaystyle \Lambda (\mathbf {v} ,{\boldsymbol {\theta }})=B(\mathbf {v} )R({\boldsymbol {\theta }})}$

そして、これら２つの分解が等しい場合、２つのブーストは次のように関連付けられます。

${\displaystyle B(\mathbf {u} )=R(-{\boldsymbol {\theta }})B(\mathbf {v} )R({\boldsymbol {\theta }})}$

つまり、ブースト値は行列類似変換によって関連付けられている。

2 つのブーストと、単一のブーストの前後に続く回転との間の等式は正しいことが判明しました。フレームの回転は合成速度の角度分離と一致し、1 つの合成速度が 1 つのフレームに適用され、もう 1 つの合成速度が回転したフレームに適用される理由を説明します。回転はまた、全体的なローレンツ変換の対称性を破り、非対称にします。この特定の回転の場合、角度をεとし、軸を単位ベクトルeで定義すると、軸角度ベクトルはε = ε eとなります。

全体として、2 つのブーストの 2 つの異なる順序付けは、2 つの非等価な変換が存在することを意味します。これらのそれぞれは、ブーストと回転、または回転とブーストに分割でき、非等価な変換の数は 4 つに倍増します。逆変換も同様に重要です。それらは、他の観測者が何を知覚するかについての情報を提供します。全体として、2 つのローレンツ ブーストの問題だけでも、考慮すべき変換は 8 つあります。要約すると、後続の操作が左側に作用すると、次のようになります。

ブーストと回転を一致させると、元の設定では、Σの観測者はΣ ′ ′が速度u ⊕ vで移動してから時計回りに回転することに気づき (最初の図)、回転のため、Σ ′ ′の観測者はΣが速度− v ⊕ uで移動してから反時計回りに回転することに気づきます (2 番目の図)。速度を交換すると、 Σの観測者はΣ ′ ′が速度v ⊕ uで移動してから反時計回りに回転することに気づき(3 番目の図)、回転のため、Σ ′ ′の観測者はΣ が速度− u ⊕ vで移動してから時計回りに回転することに気づきます(4 番目の図)。

回転とブーストのケースは同様です（図は示されていません）。回転とブーストを対応させると、元の設定では、Σの観測者はΣ ′ ′が時計回りに回転し、速度v ⊕ uで移動することに気づき、回転のため、Σ ′ ′の観測者はΣ が反時計回りに回転し、速度− u ⊕ vで移動することに気づきます。速度を交換すると、Σの観測者はΣ ′ ′ が反時計回りに回転し、速度u ⊕ vで移動することに気づき、回転のため、Σ ′ ′の観測者はΣ が時計回りに回転し、速度− u ⊕ vで移動することに気づきます。

上記の式は、一般ローレンツ変換における相対論的速度加算とトーマス回転を明示的に表している。ブーストと回転への分解のあらゆる合成において、重要な式は次のようになる。

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {R} +{\frac {1}{\gamma +1}}\mathbf {ba} ^{\mathrm {T} }}$

が成り立つため、回転行列は相対速度uとvで完全に定義できます。軸-角度表現における回転行列の角度は、回転行列のトレースから求めることができ、任意の軸に対する一般的な結果はtr( R ) = 1 + 2 cos εです。方程式のトレースを取ると^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]が得られます。}

${\displaystyle \cos \epsilon ={\frac {(1+\gamma +\gamma _{\mathbf {u} }+\gamma _{\mathbf {v} })^{2}}{(1+\gamma )(1+\gamma _{\mathbf {u} })(1+\gamma _{\mathbf {v} })}}-1}$

aとbの間の角度εは、 uとvの間の角度αとは異なります。

ΣとΣ ′ ′の両フレームにおいて、すべての合成と分解に対して、もう1つの重要な公式が成り立つ。

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {Ra} }$

成り立つ。ベクトルaとb は確かに回転によって関連付けられており、実際には座標系を回転させる同じ回転行列Rによって関連付けられています。 aから始めて、行列Rはこれをbに反時計回りに回転させ、それらの外積(右手系)に従います。

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\frac {\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }\left(\gamma ^{2}-1\right)(\gamma +\gamma _{\mathbf {v} }+\gamma _{\mathbf {u} }+1)}{c^{2}(\gamma _{\mathbf {v} }+1)(\gamma _{\mathbf {u} }+1)(\gamma +1)}}\mathbf {u} \times \mathbf {v} }$

軸を正しく定義しているため、軸はu × vにも平行です。この擬似ベクトルの大きさは興味深くも重要でもなく、方向だけが重要なので、単位ベクトルに正規化できます。

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {u} \times \mathbf {v} }{|\mathbf {u} \times \mathbf {v} |}}}$

これにより、情報の損失なく軸の方向を完全に定義することができます。

この回転は単なる「静的」回転であり、フレーム間には相対的な回転運動はなく、ブースト内では相対的な並進運動のみが存在する。しかし、フレームが加速すると、回転したフレームは角速度で回転する。この現象はトーマス歳差運動として知られており、連続するローレンツブーストの運動学から純粋に生じる。

速度からブーストへの移行は次のようにして得られる。任意のブーストは^{[ 23 ]で与えられる。}

${\displaystyle e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} },}$

ここで、ζは実数の3つ組であり、行列によって張られるリー代数のブースト部分空間（3, 1）上の座標として機能する。

${\displaystyle (K_{1},K_{2},K_{3})=\left(\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right],\left[{\begin{smallmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right],\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{smallmatrix}}\right]\right).}$

ベクトル

${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}={\frac {\boldsymbol {\beta }}{\beta }}\tanh ^{-1}\beta }$

はブーストパラメータまたはブーストベクトルと呼ばれ、そのノルムはラピディティです。ここでβは速度パラメータであり、ベクトルβ = u / cの大きさです。

ζについては0 ≤ ζ < ∞であるが、パラメータβは0 ≤ β < 1の範囲内に限定され、したがって0 ≤ u < cとなる。

${\displaystyle e^{-\tanh ^{-1}(\beta ){\frac {\boldsymbol {\beta }}{\beta }}\cdot \mathbf {K} }=e^{-{\tanh ^{-1}\beta \over c\beta }\mathbf {u} \cdot \mathbf {K} }\equiv B(\mathbf {u} )~.}$

0 ≤ u < cを満たす速度の集合はℝ ³の開球であり、文献では許容速度の空間と呼ばれています。これは、リンク先の記事で説明されている双曲幾何学を備えています。^{[ 24 ]}

異なる方向のブースト生成元K ₁、K ₂、K ₃は可換ではありません。このため、連続する 2 つのブーストは一般に純粋なブーストではなく、ブーストに先行する回転となります。

x方向、次にy方向への一連のブーストを考え、各ブーストを1次まで展開します^{[ 25 ]}

${\displaystyle e^{\zeta _{y}K_{y}}e^{\zeta _{x}K_{x}}=(I-\zeta _{y}K_{y}+\cdots )(I-\zeta _{x}K_{x}+\cdots )=I-\zeta _{x}K_{x}-\zeta _{y}K_{y}+\zeta _{x}\zeta _{y}K_{y}K_{x}+\cdots }$

それから

${\displaystyle e^{-\zeta _{y}K_{y}}e^{-\zeta _{x}K_{x}}=I+\zeta _{x}K_{x}+\zeta _{y}K_{y}+\zeta _{x}\zeta _{y}K_{y}K_{x}+\cdots }$

そして群の交換子は

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-\zeta _{y}K_{y}}e^{-\zeta _{x}K_{x}}e^{\zeta _{y}K_{y}}e^{\zeta _{x}K_{x}}=I&+\zeta _{x}\zeta _{y}[K_{y},K_{x}]-(\zeta _{x}K_{x})^{2}-(\zeta _{y}K_{y})^{2}\\&+\zeta _{x}^{2}\zeta _{y}[K_{x},K_{y}]K_{x}+\zeta _{x}\zeta _{y}^{2}K_{y}[K_{y},K_{x}]\\&+(\zeta _{x}\zeta _{y})^{2}K_{y}K_{x}K_{y}K_{x}+\cdots \end{aligned}}}$

ローレンツ発生器の交換関係のうち3つは以下のとおりである。

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{x},J_{y}]&=J_{z}\\[][K_{x},K_{y}]&=-J_{z}\\[][J_{x},K_{y}]&=K_{z}\end{aligned}}}$

ここで、括弧[ A , B ] = AB − BAは交換子として知られる二項演算であり、他の関係はx、y、z 成分の巡回置換(つまり、x を y に、y を z に、z を x に変更し、これを繰り返す) によって見つけることができます。

グループ交換子に戻ると、ブーストジェネレータの交換関係は、x 方向、次に y 方向へのブーストに対して、z 軸を中心とした回転が生じることを意味する。ラピディティの観点から、回転角θは次のように与えられる。

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}=\tanh {\frac {\zeta _{x}}{2}}\tanh {\frac {\zeta _{y}}{2}},}$

同等に表現すると

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sinh {\zeta _{x}}~\sinh \zeta _{y}}{\cosh \zeta _{x}+\cosh \zeta _{y}}}~.}$

実際、ウィグナー回転を研究するには、完全なローレンツ群は必ずしも必要ではありません。この現象は空間次元が2つしかないため、部分群SO(2, 1) ⁺で関連する問題を分析するのに十分です。SO (3)のオイラーパラメータ化と同様に、SO(2, 1) ^{+ は}3つの単純な部分に分解でき、ウィグナー回転問題を調査するための直接的で直感的な枠組みを提供します。^{[ 26 ]}