テトラション

指数関数${\displaystyle 0^{0}}$は一貫して定義されていない。したがって、テトラレーションは${\displaystyle {^{n}0}}$は、先に示されていた式では明確に定義されていません。しかし、${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$明確に定義されており、存在します: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\text{ even}}\\0,&n{\text{ odd}}\end{cases}}}$

したがって、我々は一貫して定義することができる${\displaystyle {}^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$これは定義することに似ています${\displaystyle 0^{0}=1}$。

この延長により、${\displaystyle {}^{0}0=1}$ルール${\displaystyle {^{0}a}=1}$元の定義は依然として有効である。

複素数はべき乗できるため、テトレーションはz = a + bi ( aとbは実数)の形の基数に適用できます。例えば、z = iのⁿ zでは、自然対数の主枝を使用することでテトレーションが実現されます。オイラーの公式を用いると、次の関係が得られます。

${\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}$

これは、任意のⁿ i = a + biに対して^{n +1} i = a′ + b′iの再帰的な定義を示唆している。

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}$

以下の近似値が導き出せる。

前のセクションと同様に逆関係を解くと、期待どおり⁰ i = 1および⁻¹ i = 0が得られ、nの負の値は虚軸上で無限の結果をもたらします。複素平面にプロットすると、数列全体が極限0.4383 + 0.3606 iに螺旋状に収束し、これはnが無限大となる値と解釈できます。

このようなテトレーション列はオイラーの時代から研究されてきましたが、そのカオス的な挙動のため、十分に理解されていません。これまで発表された研究のほとんどは、無限回反復された指数関数の収束に焦点を当ててきました。現在の研究は、フラクタルや記号計算ソフトウェアを備えた高性能コンピュータの登場によって大きく進歩しました。テトレーションについて知られていることの多くは、複雑な力学に関する一般的な知識と、指数写像に関する具体的な研究に基づいています。

テトラレーションは無限の高さまで拡張できます。つまり、特定のa値の場合、${\displaystyle {}^{n}a}$無限のnに対して明確な結果が存在する。これは、ある区間内の基底に対して、高さが無限大に近づくにつれてテトレーションが有限値に収束するためである。例えば、${\displaystyle \cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}}}}}$は2に収束し、したがって2に等しいと言える。2への収束傾向は、小さな有限の塔を評価することで確認できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{1.89}\\&\approx 1.93\end{aligned}}}$

一般に、無限に反復された指数関数${\displaystyle \cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{x^{x}}}}}$の限界として定義される${\displaystyle {}^{n}x}$nが無限大に近づくと、 e ^{− e} ≤ x ≤ e ^{1/ e}の範囲で収束し、おおよそ 0.066 ^{[ 11 ]}から1.44 ^{[ 12 ]}の範囲になります。これは、レオンハルト・オイラーによって示された結果です。^{[ 13 ]}極限yが存在する場合、それは方程式y = x ^yの正の実数解です。したがって、x = y ^{1/ y}です。x の無限指数を定義する極限は、y ^{1 / y}の最大値がe 1/ ^eであるため、 x > e ^{1/ e}の場合には存在しません。また、 0 < x < e ^{− e}の場合には極限は存在しません。

これは、定義によって複素数zにも拡張できます。

${\displaystyle {}^{\infty }z=\cdot ^{\cdot ^{z^{z^{z}}}}=e^{-\mathrm {W} (-\ln {z})}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}~,}$

ここで、WはランベルトのW関数を表す。この式は、以下の仮定から導かれる。 ${\displaystyle \cdot ^{\cdot ^{z^{z^{z}}}}=a}$収束し、したがって${\displaystyle z^{a}=a}$、${\displaystyle z=a^{1/a}}$、${\displaystyle 1/z=(1/a)^{1/a}={}^{2}(1/a)}$、 そして${\displaystyle 1/a=\mathrm {ssrt} (1/z)=e^{W(\ln(1/z))}}$（下記の平方根を参照）。

極限y = ^∞ x (正の実数直線上に存在する場合、つまりe ^{− e} ≤ x ≤ e ^{1/ e}の場合)はx ^y = yを満たさなければならないため、 x ↦ y = ^∞ xはy ↦ x = y ^{1/ y}の逆関数 (下側の枝) であることがわかります。

テトラレーションの再帰規則を逆にして、

${\displaystyle {^{k+1}a}=a^{\left({^{k}a}\right)},}$

書く：

${\displaystyle ^{k}a=\log _{a}\left(^{k+1}a\right).}$

kに-1を代入すると

${\displaystyle {}^{-1}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0}$[ ^{14 ]​}

より小さな負の値は、この方法では適切に定義できません。同じ方程式でkに −2 を代入すると、

${\displaystyle {}^{-2}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0=-\infty }$

これは明確に定義されていません。しかし、それらは集合とみなされることもあります。^{[ 14 ]}

のために${\displaystyle a=1}$定義​​${\displaystyle {^{-1}a}}$規則に合致している。具体的には、${\displaystyle {^{-1}1}}$任意の値になり得る${\displaystyle z}$なぜなら​

${\displaystyle {^{0}1}=1=1^{z}}$いかなる場合でも${\displaystyle z={^{-1}1}}$。

線形近似（連続性条件の解、微分可能性条件の近似）は次のように表される。

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left(^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left(^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$

したがって：

など。ただし、これは区分的に微分可能であり、xの整数値では、導関数は で乗算されます。${\displaystyle \ln {a}}$連続的に微分可能である${\displaystyle x>-2}$かつその場合に限り${\displaystyle a=e}$例えば、これらの方法を用いると${\displaystyle {}^{\frac {\pi }{2}}e\approx 5.868...}$そして${\displaystyle {}^{-4.3}0.5\approx 4.03335...}$

^{Hooshmandの論文[ 6 ]}の主要定理は次のように述べている。${\displaystyle 0<a\neq 1}$。 もし${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$連続であり、以下の条件を満たす。

• ${\displaystyle f(x)=a^{f(x-1)}}$すべての人々のために${\displaystyle x>-1}$そして${\displaystyle f(0)=1,}$
• ${\displaystyle f}$(−1, 0)上で微分可能である。
• ${\displaystyle f^{\prime }}$は(−1, 0)上で非減少または非増加関数であり、
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{+}\right)=(\ln a)f^{\prime }\left(0^{-}\right){\text{ or }}f^{\prime }\left(-1^{+}\right)=f^{\prime }\left(0^{-}\right),}$

それから${\displaystyle f}$方程式によって一意に決定される

${\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}\left(a^{(x)}\right)=\exp _{a}^{[x+1]}((x))}$すべての人々のために${\displaystyle x>-2,}$

どこ${\displaystyle (x)=x-[x]}$はxの小数部分を表し、${\displaystyle \exp _{a}^{[x]}}$は${\displaystyle [x]}$-関数の反復関数${\displaystyle \exp _{a}}$。

その証明は、2番目から4番目の条件から、fが[ −1, 0 ]上の線形関数であることが自明に導かれるということである。

自然テトラレーション関数の線形近似${\displaystyle {}^{x}e}$は連続的に微分可能であるが、引数の整数値では2階微分は存在しない。フーシュマンドはこれについて別の一意性定理を導き出し、次のように述べている。

もし${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$は、以下の条件を満たす連続関数である。

• ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}}$すべての人々のために${\displaystyle x>-1}$そして${\displaystyle f(0)=1}$、
• ${\displaystyle f}$(−1, 0)上で凸であり、
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{-}\right)\leq f^{\prime }\left(0^{+}\right)}$、

それから${\displaystyle f={\text{uxp}}}$。 （ここ${\displaystyle f={\text{uxp}}}$（これは、フーシュマンドが自然テトレーション関数の線形近似に付けた名称である。）

証明は以前とほぼ同じです。再帰方程式により、${\displaystyle f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{+}),}$そして凸性条件は、${\displaystyle f}$(−1, 0)上で線形である。

したがって、自然テトラレーションの線形近似は、この方程式の唯一の解である。${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}}$のために${\displaystyle x>-1}$そして${\displaystyle f(0)=1}$これは(−1, +∞)上で凸関数である。他の十分に微分可能な解はすべて、区間(−1, 0)上に変曲点を持つ必要がある。

線形近似を超えて、 （微分可能性の要件に対する）二次近似は次のように与えられる。

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left({}^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+{\frac {2\ln(a)}{1+\ln(a)}}x-{\frac {1-\ln(a)}{1+\ln(a)}}x^{2}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&x>0\end{cases}}}$

これはすべての場合において微分可能である。${\displaystyle x>0}$、ただし2回微分可能ではない。例えば、${\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}2\approx 1.45933...}$もし${\displaystyle a=e}$これは線形近似と同じです。^{[ 1 ]}

計算方法の都合上、この関数は指数とは異なり「打ち消し合わない」。${\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a}$すなわち、

${\displaystyle {}^{n}\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)=\underbrace {\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)}}}}}}} _{n}\neq a}$。

2次近似があるのと同様に、3次近似やn次近似への一般化方法も存在するが、それらははるかに扱いにくい。^{[ 1 ] [ 15 ]}

2次スーパールート、平方スーパールート、またはスーパー平方根には、2つの同等の表記法があります。${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)}$そして${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$それは逆です${\displaystyle ^{2}x=x^{x}}$そして、ランベルトW関数で表すことができる：^{[ 20 ]}

${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=\exp(W(\ln x))={\frac {\ln x}{W(\ln x)}}}$または

${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=e^{W(\ln x)}}$

この関数は、以下の式が成り立つのは特定の条件を満たす場合のみであることから、根関数と対数関数の反射的な性質も示している。${\displaystyle y=\mathrm {ssrt} (x)}$:

${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=\log _{y}x}$

平方根と同様に、 xの平方根は単一の解を持たない場合があります。平方根とは異なり、 xの平方根の数を決定することは難しい場合があります。一般に、${\displaystyle e^{-1/e}<x<1}$すると、x は0 から 1 の間に 2 つの正の平方根を持ち、それは以下の式を用いて計算されます。${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=\left\{e^{W_{-1}(\ln x)};e^{W_{0}(\ln x)}\right\}}$; そしてもし${\displaystyle x>1}$すると、x には 1 より大きい正の平方根が 1 つ存在し、計算式は次のようになります。${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=e^{W_{0}(\ln x)}}$xが正で、かつ以下より小さい場合${\displaystyle e^{-1/e}}$実数の平方根は存在しないが、上記の式は、1 に等しくない任意の有限のxに対して、可算無限個の複素数の平方根を生成する。 ^{[ 20 ]}この関数は、データ クラスタのサイズを決定するために使用されてきた。^{[ 21 ]}

で${\displaystyle x=1}$:

$${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=1+(x-1)-(x-1)^{2}+{\frac {3}{2}}(x-1)^{3}-{\frac {17}{6}}(x-1)^{4}+{\frac {37}{6}}(x-1)^{5}-{\frac {1759}{120}}(x-1)^{6}+{\frac {13279}{360}}(x-1)^{7}+{\mathcal {O}}{\left((x-1)^{8}\right)}}$$

3次超根を求めるためのより単純で高速な公式の1つは、再帰公式です。${\displaystyle y=x^{x^{x}}}$そうすれば以下を使用できます。

• ${\displaystyle x_{0}=1}$
• ${\displaystyle x_{n+1}=\exp(W(W(x_{n}\ln y)))}$

この再帰式は、上記のランベルトW関数による平方根の明示的な表現を利用しており、次のように表すことができます。${\displaystyle y=x^{x^{x}}}$の形で${\displaystyle y^{x}=(x^{x})^{(x^{x})}}$そして平方根を2回適用します。${\displaystyle x=\mathrm {ssrt} (\mathrm {ssrt} (y^{x}))}$。

各整数n > 2に対して、関数ⁿ xは定義され、x ≥ 1に対して増加し、ⁿ 1 = 1であるため、xのn番目のスーパールートは、${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$、x ≥ 1の場合に存在します。

しかし、上記の線形近似を用いると、${\displaystyle ^{y}x=y+1}$−1 < y ≤ 0 の場合、${\displaystyle ^{y}{\sqrt {y+1}}_{s}}$存在し得ない。

平方根と同様に、他の超根の用語も通常の根に基づいて定義できます。「立方根」は次のように表すことができます。${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}_{s}}$;「4番目のスーパールート」は次のように表すことができます。${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}$; そして「n番目のスーパールート」は${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$。 ご了承ください${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$n^乗根は複数存在する可能性があるため、一意に定義されない場合があります。たとえば、nが奇数の場合はx は1 つの (実数) スーパー ルートを持ち、 nが偶数の場合は最大 2 つのスーパー ルートを持ちます。

テトレーションを無限の高さまで拡張する場合と同様に、スーパールートはn = ∞まで拡張でき、 1/ e ≤ x ≤ eの場合に適切に定義されます。${\displaystyle x={^{\infty }y}=y^{\left[^{\infty }y\right]}=y^{x},}$そしてそれゆえ${\displaystyle y=x^{1/x}}$したがって、それが明確に定義されている場合、${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{x}}_{s}=x^{1/x}}$また、通常のテトラレーションとは異なり、基本関数です。例えば、${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{2}}_{s}=2^{1/2}={\sqrt {2}}}$。

ゲルフォンド・シュナイダーの定理から、スーパールートは${\displaystyle {\sqrt {n}}_{s}}$任意の正の整数nに対して、 nは整数または超越数であり、${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}_{s}}$は整数か無理数のいずれかである。^{[ 22 ]}後者の場合、無理数の根が超越数であるかどうかは未解決の問題である。