フルヴィッツ数 を定義する
h g ; k 1 、 … 、 k n {\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}} 複素射影線 (リーマン球面 、P 1 （ C ） ） {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ))} それらは種数g の連結曲線であり、無限遠点の n 個の番号付き逆像を持ち、重複度を持つ。k 1 、 … 、 k n {\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}} m 個の単純な分岐点が ある。ここで、被覆が非自明な自己同型群G を持つ場合、重み付きでカウントする必要がある。1 / | G | {\displaystyle 1/|G|}
ELSVの式は次のようになります。
h g ; k 1 、 … 、 k n = m ! # オート （ k 1 、 … 、 k n ） ∏ 私 = 1 n k 私 k 私 k 私 ! ∫ M ¯ g 、 n c （ E * ） （ 1 − k 1 ψ 1 ） ⋯ （ 1 − k n ψ n ） 。 {\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}={\dfrac {m!}{\#{\text{Aut}}(k_{1},\ldots ,k_{n})}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}.} ここでの表記法は以下のとおりです。
g ≥ 0 {\displaystyle g\geq 0} n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} k 1 、 … 、 k n {\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}} # オート （ k 1 、 … 、 k n ） {\displaystyle \#\operatorname {Aut} (k_{1},\ldots ,k_{n})} n タプルの自己同型写像の数（ k 1 、 … 、 k n ） ; {\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{n});} m = ∑ k 私 + n + 2 g − 2 ; {\displaystyle m=\sum k_{i}+n+2g-2;} M ¯ g 、 n {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}} は、 n個の マークされた点 を持つ種数g の安定曲線 のモジュライ空間 である。Eは ホッジベクトル束 であり、c(E*)は その双対ベクトル束の全チャーン類である。 ψ i は、 i 番目のマークされた点への余接線束の最初のチャーン類である。数字
h g ; k 1 、 … 、 k n {\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}} 左辺には組み合わせ論的な定義があり、組み合わせ論的に証明できる性質を満たします。これらの性質はそれぞれ、ELSV 式の右辺の積分に関する記述に変換されます( Kazarian 2009 ) 。
ハーヴィッツ数 ハーヴィッツ数
h g ; k 1 、 … 、 k n {\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}} また、純粋に代数的な定義も存在する。K = k 1 + ... + k n m = K + n + 2 g − 2 とすると、τ 1 , ..., τ m は S K k 1 , ..., k n のn 個の番号付きサイクルを持つ置換である。すると、
（ τ 1 、 … 、 τ m 、 σ ） {\displaystyle (\tau _{1},\dots ,\tau _{m},\sigma )} 積が( k 1 , ..., k n
τ 1 ⋯ τ m σ \displaystyle \tau _{1}\cdots \tau _{m}\sigma } 恒等置換と、によって生成されるグループに等しい
τ 1 、 … 、 τ m \displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{m}} 推移的 である。
意味。 h g ; k 1 、 … 、 k n {\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}} は、( k 1 , ..., k n K ! で割ったものです。
例A. 番号h g ; k {\displaystyle h_{g;k}} k !倍です （ τ 1 、 … 、 τ k + 2 g − 1 ） {\displaystyle (\tau _{1},\dots ,\tau _{k+2g-1})} k サイクルである。言い換えれば、h g ; k {\displaystyle h_{g;k}} これは、与えられたkサイクルを k + 2 g − 1 回の転置の積に因数分解する回数の1/ k 倍です。
フルヴィッツ数の2つの定義（球面の分岐被覆を数えること、または推移的因数分解を数えること）の等価性は、分岐被覆をそのモノドロミー で記述することによって確立されます。より正確には、球面上に基点を選び、その逆像を1からK まで番号付けし（これによりK!という因子が導入され、 K ! による除算が説明されます）、分岐点周りの被覆のモノドロミーを考えます。これにより、推移的因数分解が得られます。
モジュライ空間上の積分 モジュライ空間 M ¯ g 、 n {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}} 3g − 3 + n の滑らかなデリーニュ・マンフォードスタック です。(直感的には、これは複素多様体とよく似た振る舞いをしますが、多様体では整数となる特性類の積分は、デリーニュ・マンフォードスタックでは有理数になります。)
ホッジ束 E は、モジュライ空間上のランクgベクトル束である。 M ¯ g 、 n {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}} n 個 のマークされた点を持つ曲線 ( C , x 1 , ..., x n C 上のアーベル微分 空間である。そのチャーン類は次のように表される。
λ j = c j （ E ） ∈ H 2 j （ M ¯ g 、 n 、 Q ） 。 {\displaystyle \lambda _{j}=c_{j}(E)\in H^{2j}({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n},\mathbf {Q} ).} 我々は持っています
c （ E * ） = 1 − λ 1 + λ 2 − ⋯ + （ − 1 ） g λ g 。 {\displaystyle c(E^{*})=1-\lambda _{1}+\lambda _{2}-\cdots +(-1)^{g}\lambda _{g}.} ψクラス。 線束を導入するL 1 、 … 、 L n \displaystyle {\mathcal {L}}_{1},\ldots ,{\mathcal {L}}_{n}} M ¯ g 、 n {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}} L 私 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}} C 、x 1 、 ...、x n ) 上の余接線はx i C に接する線です。L 私 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}}
ψ 私 = c 1 （ L 私 ） ∈ H 2 （ M ¯ g 、 n 、 Q ） 。 {\displaystyle \psi _{i}=c_{1}({\mathcal {L}}_{i})\in H^{2}({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n},\mathbf {Q} )。} 。 1 / （ 1 − k 私 ψ 私 ） {\displaystyle 1/(1-k_{i}\psi _{i})} 1 + k 私 ψ 私 + k 私 2 ψ 私 2 + ⋯ {\displaystyle 1+k_{i}\psi _{i}+k_{i}^{2}\psi _{i}^{2}+\cdots } g − 3 + n (モジュライ空間の次元) で分割できます。したがって、被積分関数はn + 1 個の因子の積になります。この積を展開し、次数 3 g − 3 + n の部分を取り出して、モジュライ空間で積分します。
積分は多項式として 表される。したがって、積分は
∫ M ¯ g 、 n c （ E * ） （ 1 − k 1 ψ 1 ） ⋯ （ 1 − k n ψ n ） {\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}} は変数k 1 , ..., k n g − 3 + n から 2 g − 3 + n の間である。単項式の係数はk 1 d 1 ⋯ k n d n \displaystyle k_{1}^{d_{1}}\cdots k_{n}^{d_{n}}}
∫ M ¯ g 、 n （ − 1 ） j λ j ψ 1 d 1 ⋯ ψ n d n 、 {\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}(-1)^{j}\lambda _{j}\psi _{1}^{d_{1}}\cdots \psi _{n}^{d_{n}},} どこ
j = 3 g − 3 + n − ∑ d 私 。 {\displaystyle j=3g-3+n-\sum d_{i}.} 注記。 数値の多項式性
h g ; k 1 、 … 、 k n m ! ∏ 私 = 1 n k 私 ! k 私 k 私 {\displaystyle {\frac {h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}{m!}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}!}{k_{i}^{k_{i}}}}} これは、IP ゴールデンとDM ジャクソンによって最初に予想された。ELSV の公式とは独立した証明は知られていない。
例B. g = n = 1とする。すると
∫ M ¯ g 、 n c （ E * ） （ 1 − k 1 ψ 1 ） ⋯ （ 1 − k n ψ n ） = ∫ M ¯ 1 、 1 1 − λ 1 1 − k 1 ψ 1 = [ ∫ M ¯ 1 、 1 ψ 1 ] k 1 − [ ∫ M ¯ 1 、 1 λ 1 ] 。 \left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k_{1}\psi _{1}}}=\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k_{1}-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right].}
例 n = g = 1とする。表記を簡略化するために、k 1 を k と表記する。m = K + n + 2 g − 2 = k + 1となる。
例Bによれば、この場合のELSV式は次のようになる。
h 1 ; k = （ k + 1 ） ! k k k ! ∫ M ¯ 1 、 1 1 − λ 1 1 − k ψ 1 = （ k + 1 ） k k { [ ∫ M ¯ 1 、 1 ψ 1 ] k − [ ∫ M ¯ 1 、 1 λ 1 ] } 。 {\displaystyle h_{1;k}=(k+1)!{\frac {k^{k}}{k!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k\psi _{1}}}=(k+1)k^{k}\left\{\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right]\right\}.} 一方、例Aによれば、フルヴィッツ数h 1, kは 、対称群S k のkサイクルを k + 1個の転置の積に分解する方法の数の1/ k 倍に等しい。特に、h 1, 1 = 0（ S 1 には転置がないため）であり、h 1, 2 = 1/2（ S 2 の転置(1 2)を3つの転置の積に分解する方法は一意であるため）である。
これらの2つの値をELSVの式に代入すると、
∫ M ¯ 1 、 1 ψ 1 = ∫ M ¯ 1 、 1 λ 1 = 1 24 。 {\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}={\frac {1}{24}}.} そこから我々は推論する
h 1 ; k = （ k 2 − 1 ） k k 24 。 {\displaystyle h_{1;k}={\frac {(k^{2}-1)k^{k}}{24}}.}
証明の概念 させてM g ; k 1 、 … 、 k n {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}} g の曲線からP 1 ( C )への安定写像f の空間を、f がちょうどn 個の次数を持つ極を持つものと定義する。k 1 、 … 、 k n {\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}
分岐射 br またはLyashko–Looijenga 写像 は、f ∈ M g ; k 1 、 … 、 k n {\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}} C内の m 個の分岐点の順序付けされていない集合。実際には、この定義はf が滑らかな写像の場合にのみ機能します。しかし、安定写像の空間への自然な拡張があります。たとえば、方程式xy = tで与えられる曲線の族 C t f t x , y ) = x + y を見るとわかるように、ノード上のfの値は二重分岐点とみなされます。t → 0 の とき、f t の 2 つの分岐点は、 C 0 のノードでのf 0 の値に近づきます。
分岐射は有限次数を持つが、ファイバーは無限である。本稿の目的は、その次数を2つの異なる方法で計算することである。
第一の方法は、像内の任意の点の逆像の数を数えることです。言い換えれば、無限遠点にタイプ ( k 1 , ..., k n m 個の固定された単純分岐点を持つ P 1 ( C ) の分岐被覆の数を数えます。これはまさにフルヴィッツ数です。h g ; k 1 、 … 、 k n {\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}
br の次数を求める 2 つ目の方法は、最も退化した点の逆像を調べることです。つまり、Cの 0 に m 個の分岐点をすべてまとめます。
この点の逆像はM g ; k 1 、 … 、 k n {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}} br の無限ファイバーである。M ¯ g 、 n {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}} 実際、 n 個のマークされた点を持つ安定曲線が与えられた場合、この曲線をP 1 ( C )で 0 に送り、そのマークされた点にn 個の有理成分を付加すると、安定写像は次の形式になります。z ↦ z k 1 、 … 、 z ↦ z k n {\displaystyle z\mapsto z^{k_{1}},\dots ,z\mapsto z^{k_{n}}} M g ; k 1 、 … 、 k n {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}
したがって、ELSV式は、分岐射の次数を計算する2つの方法間の等価性を表している。
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![\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k_{1}\psi _{1}}}=\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k_{1}-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e47065d94c07167e1baf8efab5270250fb0e84d4)
![{\displaystyle h_{1;k}=(k+1)!{\frac {k^{k}}{k!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k\psi _{1}}}=(k+1)k^{k}\left\{\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right]\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056041e152d01edc94bdbfd0d1d5c6d3f470cc4a)
