ウィルコクソン符号順位検定

ウィルコクソン符号順位検定は、統計的仮説検定のためのノンパラメトリック順位検定であり、データのサンプルに基づいて母集団の位置を検定するか、2 つの対応のあるサンプルを使用して 2 つの母集団の位置を比較するために使用されます。 ^{[ 1 ]} 1 サンプル版は、1 サンプルスチューデントのt検定と同様の目的を果たします。^{[ 2 ]} 2 つの対応のあるサンプルについては、対応のあるスチューデントの t 検定（「対応のあるペアの t 検定」または「従属サンプルの t 検定」とも呼ばれます）のような対応のある差の検定です。ウィルコクソン検定は、対応のある個体間の差の正規分布を仮定できない場合に、t 検定の良い代替手段となります 。代わりに、この差の分布が中心値を中心に対称であるという弱い仮説を仮定し、この中心値がゼロと有意に異なるかどうかを検定することを目的としています。ウィルコクソン検定は、差の大きさを考慮するため、符号検定よりも強力な代替手段ですが、対称性という中程度の強い仮定を必要とします。

この検定は、 2 つの独立したサンプルに対するこの検定と順位和検定の両方を 1 つの論文で提案したFrank Wilcoxon (1892–1965) にちなんで名付けられました。 ^{[ 3 ]}この検定は、Sidney Siegel (1956) がノンパラメトリック統計に関する影響力のある教科書で普及させました。 ^{[ 4 ]} Siegel は検定統計量にTという記号を使用したため、この検定はWilcoxon T検定と呼ばれることもあります。

符号順位検定には2つのバリエーションがあります。理論的には、1標本検定の方がより基本的です。なぜなら、対応のある標本検定は、データを1標本検定の状況に変換することによって実行されるからです。しかし、符号順位検定の実際の応用例のほとんどは、対応のあるデータから生じます。

ペアサンプル検定の場合、データはサンプルで構成されます${\displaystyle (X_{1},Y_{1}),\dots ,(X_{n},Y_{n})}$サンプル内の各データポイントは、一対の測定値です。最も単純なケースでは、測定値は間隔尺度です。その場合、測定値は実数に変換でき、各数値のペアを置き換えることで、対応のあるサンプル検定は1サンプル検定に変換されます。${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$その違いによって${\displaystyle X_{i}-Y_{i}}$^{[ 5 ]}一般的に、ペア間の差を順位付けできる必要があります。そのためには、データが順序尺度である必要があり、これは順序尺度よりも多くの情報を含みますが、間隔尺度よりは少ない情報を含む可能性のある尺度の一種です。^{[ 6 ]}

1標本検定のデータとは、各観測値が実数である標本のことである。${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$簡単にするために、サンプル内の観測値は絶対値がすべて異なり、観測値がゼロになることはないものとします。（ゼロや同値があると、いくつかの問題が生じます。下記を参照してください。）テストは次のように実行されます。^{[ 7 ] [ 8 ]}

1. 計算する${\displaystyle |X_{1}|,\dots ,|X_{n}|.}$
2. 選別${\displaystyle |X_{1}|,\dots ,|X_{n}|}$そして、このソート済みリストを使用してランクを割り当てます。${\displaystyle R_{1},\dots ,R_{n}}$: 最も小さい観測値の順位は1、次に小さい観測値の順位は2、といった具合です。
3. させて${\displaystyle \operatorname {sgn} }$符号関数を表す：${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=1}$もし${\displaystyle x>0}$そして${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=-1}$もし${\displaystyle x<0}$検定統計量は符号付き順位和である。${\displaystyle T}$:$${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {sgn}(X_{i})R_{i}.}$$
4. 生産する${\displaystyle p}$-値を比較して${\displaystyle T}$帰無仮説の下でのその分布に対して。

ランクは次のように定義されます。${\displaystyle R_{i}}$は、${\displaystyle j}$そのために${\displaystyle |X_{j}|\leq |X_{i}|}$さらに、${\displaystyle \sigma$ :\{1,\dots ,n\}\to \{1,\dots ,n\}} は、${\displaystyle |X_{\sigma (1)}|<\dots <|X_{\sigma (n)}|}$、 それから${\displaystyle R_{\sigma (i)}=i}$すべての人々のために${\displaystyle i}$。

符号付きランク和${\displaystyle T}$は他の2つの検定統計量と密接に関連している。正の順位和${\displaystyle T^{+}}$負のランク和${\displaystyle T^{-}}$^{[ 9 ]}で定義される$${\displaystyle {\begin{aligned}T^{+}&=\sum _{1\leq i\leq n,\ X_{i}>0}R_{i},\\T^{-}&=\sum _{1\leq i\leq n,\ X_{i}<0}R_{i}.\end{aligned}}}$$ なぜなら${\displaystyle T^{+}+T^{-}}$すべてのランクの合計に等しく、${\displaystyle 1+2+\dots +n=n(n+1)/2}$これら３つの統計は次のように関連しています。^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}T^{+}&={\frac {n(n+1)}{2}}-T^{-}={\frac {n(n+1)}{4}}+{\frac {T}{2}},\\T^{-}&={\frac {n(n+1)}{2}}-T^{+}={\frac {n(n+1)}{4}}-{\frac {T}{2}},\\T&=T^{+}-T^{-}=2T^{+}-{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}-2T^{-}.\end{aligned}}}$$ なぜなら${\displaystyle T}$、${\displaystyle T^{+}}$、 そして${\displaystyle T^{-}}$同じ情報を含んでいるため、それらのいずれも検定統計量として使用できます。

正のランク和と負のランク和には、検定の理論に役立つ別の解釈があります。ウォルシュ平均を定義してください。${\displaystyle W_{ij}}$である${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(X_{i}+X_{j})}$. 次に: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}T^{+}=\#\{W_{ij}>0\colon 1\leq i\leq j\leq n\},\\T^{-}=\#\{W_{ij}<0\colon 1\leq i\leq j\leq n\}.\end{aligned}}}$$

実際のデータでは、次のような観測結果が発生することがあります。${\displaystyle X_{i}}$サンプルでは、​​ゼロまたはペアに等しい${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$と${\displaystyle X_{i}=Y_{i}}$また、同点の観測値が存在することもあります。これは、一部の観測値については、${\displaystyle i\neq j}$、 我々は持っています${\displaystyle X_{i}=X_{j}}$（1標本の場合）または${\displaystyle X_{i}-Y_{i}=X_{j}-Y_{j}}$（ペアサンプルの場合）。これは特に離散データでよく見られます。このような場合、データの順位を一意に決定する方法がないため、上記で定義した検定手順は通常未定義となります。（唯一の例外は、観測値が1つしかない場合です。）${\displaystyle X_{i}}$（ゼロであり、他のゼロや同点はありません。）このため、検定統計量を修正する必要があります。

p値を計算するには、分布を知る必要があります。${\displaystyle T}$帰無仮説の下では、この分布には閉じた公式はありません。^{[ 38 ]}ただし、の値が小さい場合、${\displaystyle n}$分布は正確に計算できる。データがゼロに関して対称であるという帰無仮説の下では、各${\displaystyle X_{i}}$は正である可能性も負である可能性もまったく同じです。したがって、${\displaystyle T=t}$帰無仮説の下では、 は、 を生成する符号の組み合わせの数に等しい。${\displaystyle T=t}$可能な記号の組み合わせの数で割った値${\displaystyle 2^{n}}$これは、正確な分布を計算するために使用できます。${\displaystyle T}$帰無仮説の下で。^{[ 39 ]}

分布を計算する${\displaystyle T}$すべての可能性を考慮するには計算が必要です${\displaystyle 2^{n}}$合計は、最小のものを除いては扱いが困難です${\displaystyle n}$しかし、分布には効率的な再帰があります。${\displaystyle T^{+}}$[ ^{40 ] [ 41 ]}定義^​${\displaystyle u_{n}(t^{+})}$符号の組み合わせの数${\displaystyle T^{+}=t^{+}}$これは、 の部分集合の数に等しい。${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$合計すると${\displaystyle t^{+}}$再帰の基本ケースは次のとおりです。${\displaystyle u_{0}(0)=1}$、${\displaystyle u_{0}(t^{+})=0}$すべての人々のために${\displaystyle t^{+}\neq 0}$、 そして${\displaystyle u_{n}(t^{+})=0}$すべての人々のために${\displaystyle t<0}$または${\displaystyle t>n(n+1)/2}$再帰式は $${\displaystyle u_{n}(t^{+})=u_{n-1}(t^{+})+u_{n-1}(t^{+}-n).}$$ この式は、すべての部分集合が真であるためです。${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$つまり、${\displaystyle t^{+}}$どちらも含まない${\displaystyle n}$、その場合、それは の部分集合でもある${\displaystyle \{1,\dots ,n-1\}}$または、${\displaystyle n}$その場合は削除します${\displaystyle n}$サブセットからサブセットを生成する${\displaystyle \{1,\dots ,n-1\}}$つまり、${\displaystyle t^{+}-n}$帰無仮説の下では、確率質量関数は${\displaystyle T^{+}}$満たす${\displaystyle \Pr(T^{+}=t^{+})=u_{n}(t^{+})/2^{n}}$. 機能${\displaystyle u_{n}}$整数分割関数と密接に関連している。^{[ 42 ]}

もし${\displaystyle p_{n}(t^{+})}$確率は${\displaystyle T^{+}=t^{+}}$帰無仮説の下では、${\displaystyle n}$サンプル内の観測値、次に${\displaystyle p_{n}(t^{+})}$同様の再帰を満たす：^{[ 42 ]}$${\displaystyle 2p_{n}(t^{+})=p_{n-1}(t^{+})+p_{n-1}(t^{+}-n)}$$ 同様の境界条件を持つ。累積分布関数には漸化式もある。${\displaystyle \Pr(T^{+}\leq t^{+})}$[ ^{42 ]​}

非常に大きい${\displaystyle n}$上記の再帰でさえ遅すぎる。この場合、帰無分布を近似することができる。帰無分布は${\displaystyle T}$、${\displaystyle T^{+}}$、 そして${\displaystyle T^{-}}$漸近的に平均と分散が正規分布に従う：^{[ 43 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} [T^{+}]&=\mathbf {E} [T^{-}]={\frac {n(n+1)}{4}},\\\mathbf {E} [T]&=0,\\\operatorname {Var} (T^{+})&=\operatorname {Var} (T^{-})={\frac {n(n+1)(2n+1)}{24}},\\\operatorname {Var} (T)&={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.\end{aligned}}}$$

エッジワース展開を使用すると、より良い近似が得られます。4 次エッジワース展開を使用すると、次のことがわかります。^{[ 44 ] [ 45 ]}$${\displaystyle \Pr(T^{+}\leq k)\approx \Phi (t)+\phi (t){\Big (}{\frac {3n^{2}+3n-1}{10n(n+1)(2n+1)}}{\Big )}(t^{3}-3t),}$$ どこ $${\displaystyle t={\frac {k+{\tfrac {1}{2}}-{\frac {n(n+1)}{4}}}{\sqrt {\frac {n(n+1)(2n+1)}{24}}}}.}$$ これらの展開の技術的な基礎はかなり複雑で、従来のエッジワース展開は IID 連続確率変数の和に適用されるのに対し、${\displaystyle T^{+}}$は、分布が異なる離散確率変数の和です。しかし、最終的な結果として、上記の展開には誤差が生じます。${\displaystyle O(n^{-3/2})}$従来の4次エッジワース展開と同様である。^{[ 44 ]}

モーメント生成関数${\displaystyle T}$正確な式は次のとおりです。^{[ 46 ]}$${\displaystyle M(t)={\frac {1}{2^{n}}}\prod _{j=1}^{n}(1+e^{jt}).}$$

ゼロが存在し、符号付きランクゼロ手順が使用される場合、または同順位が存在し、平均ランク手順が使用される場合、帰無分布は${\displaystyle T}$変更。キュアトンはこの状況に対する正規近似を導出した。^{[ 47 ] [ 48 ]}元の観測数が${\displaystyle n}$そしてゼロの数は${\displaystyle z}$. タイ補正は $${\displaystyle c=\sum t^{3}-t,}$$ ここで、合計はすべてのサイズにわたるものです。${\displaystyle t}$同点観測値の各グループについて。期待値は${\displaystyle T}$は依然としてゼロですが、期待値は${\displaystyle T^{+}}$は $${\displaystyle \mathbf {E} [T^{+}]={\frac {n(n+1)}{4}}-{\frac {z(z+1)}{4}}.}$$ もし $${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)-z(z+1)(2z+1)-c/2}{6}},}$$ それから $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (T)&=\sigma ^{2},\\\operatorname {Var} (T^{+})&=\sigma ^{2}/4.\end{aligned}}}$$

ウィルコクソン^{[ 49 ]}は、ウィルコクソン順位和統計量を次のように定義した。${\displaystyle \min(T^{+},T^{-})}$^{シーゲル[ 6 ]}などの初期の著者はウィルコクソンに従いました。これは両側仮説検定には適していますが、片側検定には使用できません。

1 からnまでのランクを割り当てる代わりに、0 から n までのランクを割り当てることも可能です。${\displaystyle n-1}$これらは修正ランクと呼ばれます。^{[ 50 ]}修正符号付きランク和${\displaystyle T_{0}}$修正された正ランク和${\displaystyle T_{0}^{+}}$修正負ランク和${\displaystyle T_{0}^{-}}$は、以下のように定義される。${\displaystyle T}$、${\displaystyle T^{+}}$、 そして${\displaystyle T^{-}}$ただし、通常のランクの代わりに修正されたランクを使用します。2 つの独立した${\displaystyle F}$-分布す​​るランダム変数は正であり、次のように推定できます。${\displaystyle 2T_{0}^{+}/(n(n-1))}$[ ^{51 ]}連続分布に限定して考える場合、これは最小分散不偏推定量である^。${\displaystyle p_{2}}$[ ^{52 ]​}

次の表には、次のペアのデータが含まれています。 ${\displaystyle (x_{1,1},x_{2,1}),\dots ,(x_{1,n},x_{2,n})}$:

この表には、差分の値も示されています。${\displaystyle x_{2,1}-x_{1,1},\dots ,x_{2,n}-x_{1,n}}$、つまり、差分の符号${\displaystyle \operatorname {sgn}(x_{2,1}-x_{1,1}),\dots ,\operatorname {sgn}(x_{2,n}-x_{1,n})}$どこ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$は符号関数であり、差の絶対値、すなわち${\displaystyle \operatorname {abs} (x_{2,1}-x_{1,1}),\dots ,\operatorname {abs} (x_{2,n}-x_{1,n})}$どこ${\displaystyle \operatorname {abs} }$は絶対値です。

次に、絶対差の昇順でデータを並べ替えると、次の表が得られます。

コラム${\displaystyle R_{i}}$は順位を示します。ペア3と9は絶対値が同点であることに注目してください。これらは1位と2位にランク付けされるため、それぞれがこれらの順位の平均値である1.5を得ます。

${\displaystyle W=1.5+1.5-3-4-5-6+7+8+9=9}$

${\displaystyle |W|<W_{\operatorname {crit} (\alpha =0.05,\ 9{\text{, two-sided}})}=15}$

${\displaystyle \therefore {\text{failed to reject }}H_{0}}$ペアワイズ差の中央値がゼロと異なること。

の${\displaystyle p}$この結果の値は${\displaystyle 0.6113}$

符号付き順位検定の効果量を計算するには、順位双列相関係数を使用できます。

検定統計量Tが報告されている場合、順位相関 r は、検定統計量Tを合計順位和Sで割った値、つまりr = T / Sとなります。 ^{[ 53 ]}上記の例を使用すると、検定統計量はT = 9 です。サンプルサイズ 9 の合計順位和はS = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 45 です。したがって、順位相関は 9/45 なので、r = 0.20 となります。   

検定統計量Tが報告されている場合、順位相関を計算する同等の方法は、2 つの順位合計の割合の差を使用することです。これは Kerby (2014) の単純差分式です。^{[ 53 ]}現在の例を続けると、サンプルサイズは 9 なので、合計順位合計は 45 です。Tは2 つの順位合計のうち小さい方なので、Tは 3 + 4 + 5 + 6 = 18 です。この情報だけで、残りの順位合計を計算できます。これは合計SからTを引いたもので、この場合は 45 − 18 = 27 です。次に、2 つの順位合計の割合は 27/45 = 60% と 18/45 = 40% です。最後に、順位相関は 2 つの割合の差 (.60 マイナス .40) なので、r = .20 です。

• Rには、xとyが同じ長さのベクトルであるとして、テストの実装が含まれています。 ^{[ 54 ]}wilcox.test(x,y,paired=TRUE)
• ALGLIBには、C++、C#、Delphi、Visual Basicなどで実装されたウィルコクソン符号順位検定が含まれています。
• GNU Octave は、関数内でテストのさまざまな片側検定および両側検定バージョンを実装していますwilcoxon_test。
• SciPyには、Pythonによるウィルコクソン符号順位検定の実装が含まれています。
• Accord.NETには、.NETアプリケーション向けにC#で実装されたウィルコクソン符号順位検定が含まれています。
• MATLABでは、この検定を「ウィルコクソン順位和検定」を用いて実装しており、[p,h] = signrank(x,y)検定結果を示す論理値を返します。結果h = 1は帰無仮説の棄却を示し、h = 0は5%の有意水準で帰無仮説を棄却できなかったことを示します。
• Julia HypothesisTests パッケージには、Wilcoxon 符号順位検定が含まれていますvalue(SignedRankTest(x, y))。
• SAS PROC UNIVARIATE には、フレーム タイトル「位置の検定」に「符号付き順位」として Wilcoxon 符号付き順位検定が含まれています。この手順では W 統計量ではなく S 統計量が計算されますが、結果として得られる p 値はこの検定に使用できます。^{[ 55 ]}また、SAS の PROC NPAR1WAY には、多くのノンパラメトリック検定と、ベイズ mcmc アプローチを使用したスポーツ正確検定が含まれています。
  • SASドキュメント

• マン・ホイットニー・ウィルコクソン検定
• サインテスト

• Rにおけるウィルコクソン符号順位検定
• ウィルコクソン符号順位検定の使用例
• テストのオンライン版
• ウィルコクソン符号順位検定の臨界値表
• 実験心理学者カール・L・ウェンシュによる簡単なガイド（ 2015年11月17日にWayback Machineにアーカイブ済み） – ノンパラメトリック効果量推定法（著作権2015年 カール・L・ウェンシュ）
• Kerby, DS (2014). 単純差分公式：ノンパラメトリック相関の教授法。総合心理学、第3巻、論文1。doi:10.2466/11.IT.3.1。論文へのリンク