リー超代数

数学において、リー超代数は、次数を含むようにリー代数を一般化したものです。リー超代数は、超対称性の数学を記述するために使用される理論物理学において重要です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

ここで使用される次数の概念は、コホモロジー起源の2 番目の次数とは異なります。次数付きリー代数(またはによって次数付けされる) が反可換で次数付きヤコビ恒等式を持つ場合も次数付けがあります。これは代数を奇数部分と偶数部分に「まとめる」ことです。このまとめは通常「スーパー」とは呼ばれません。したがって、スーパー次数付きリー超代数は 2 つの次数を持ちます。1つは超対称で、もう 1 つは古典的です。 ピエール・ドリーニュは超対称の次数をスーパー次数、古典の次数をコホモロジー次数と呼んでいます。これら 2 つの次数は互換性がある必要があり、どのようにみなすべきかについて意見の相違がしばしばあります。^[1]${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

正式には、リー超代数は、可換環（通常はRまたはC ）上の非結合Z ₂次数代数、または超代数であり、その積 [·, ·] はリー超括弧または超交換子と呼ばれ、次の 2 つの条件（次数を持つ通常のリー代数公理の類似体）を満たします。

超歪対称性:

${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x].\ }$

スーパーヤコビ恒等式: ^[2]

${\displaystyle (-1)^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1)^{|y||x|}[y,[z,x]]+( -1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,}$

ここで、 x、y、zはZ ₂次数において純粋です。ここで、 | x | はxの次数（0 または 1）を表します。[x,y] の次数は、 x と y の次数を 2 で割った値の合計です。

また、| x | = 0 (2 が可逆であれば自動的に従う) および| x | = 1 (3 が可逆であれば自動的に従う) の公理を追加することもあります。基底環が整数であるか、リー超代数が自由モジュールである場合、これらの条件はポアンカレ-バーコフ-ウィットの定理が成立する条件と同等です(そして、一般に、これらは定理が成立するための必要条件です)。 ${\displaystyle [x,x]=0}$${\displaystyle [[x,x],x]=0}$

リー代数の場合と同様に、リー超代数の普遍包絡代数にはホップ代数構造を与えることができます。

リー超代数は物理学においてさまざまな形で現れる。従来の超対称性では、超代数の偶数要素はボソンに対応し、奇数要素はフェルミオンに対応する。これは、次数がゼロの括弧に対応する。

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|}$

これは常に当てはまるわけではありません。たとえば、BRST 超対称性やBatalin–Vilkovisky 形式では逆になり、次のようになります。これは、-1 のグレーディングを持つ括弧に相当します。

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|-1}$

この区別は、代数が 1 つではなく 2 つの次数付き結合積を持つ場合に特に重要になります。リー括弧に加えて、「通常の」積も存在する場合があり、これによりポアソン超代数とゲルステンハーバー代数が生じます。このような次数は変形理論でも見られます。

をリー超代数とする。ヤコビ恒等式を調べると、引数が偶数か奇数かによって8つのケースがあることがわかる。これらは、奇数要素の数によって4つのクラスに分類される。^[3]${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$

1. 奇数要素はありません。ステートメントは、通常のリー代数であるということだけです。${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
2. 1 つの奇数要素。次に、アクションの -moduleです。${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle \mathrm {ad} _{a}:b\rightarrow [a,b],\quad a\in {\mathfrak {g}}_{0},\quad b,[a,b]\in {\mathfrak {g}}_{1}}$
3. 2 つの奇数要素。ヤコビ恒等式によれば、括弧は対称な- マップです。${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$
4. 3 つの奇数要素。すべての に対して、。${\displaystyle b\in {\mathfrak {g}}_{1}}$${\displaystyle [b,[b,b]]=0}$

したがって、リー超代数の偶数部分代数は、すべての符号が消えるので（通常の）リー代数を形成し、超括弧は通常のリー括弧になります。一方、はの線型表現であり、対称-同変線型写像が存在し、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}$

${\displaystyle [\left\{x,y\right\},z]+[\left\{y,z\right\},x]+[\left\{z,x\right\},y]=0,\quad x,y,z\in {\mathfrak {g}}_{1}.}$

条件(1)～(3)は線形であり、すべて通常のリー代数の観点から理解できる。条件(4)は非線形であり、通常のリー代数( )と表現( )から始めてリー超代数を構成するときに検証するのが最も難しい条件である。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$

リー超代数は、それ自体からそれ自体への逆線型写像を備えた複素リー超代数であり、Z 2 次数を尊重し、リー超代数_内のすべての x と y に対して [ x , y ] * = [ y * , x * ] を満たします。(一部の著者は、[ x , y ] * = ( −1 ⁾  | x ^|| y | ^[ y * , x ^*  ]^{という規則を好みます}。*^を− *^に変更すると、2 つの規則が切り替わります。) その普遍包絡代数は、通常の^*代数になります。 ${\displaystyle *}$

任意の結合的超代数 が与えられた場合、同次元上の超交換子を次のように定義できる。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx\ }$

そして、すべての元に線型性によって拡張します。代数は超交換子と一緒にリー超代数になります。この手順の最も単純な例は、おそらく が超ベクトル空間のそれ自身へのすべての線型関数の空間であるときです。 のとき、この空間はまたはで表されます。^[4]上記のリー括弧を使用すると、空間は で表されます。^[5]${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {終了} (V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{p|q}}$${\displaystyle M^{p|q}}$${\displaystyle M(p|q)}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(p|q)}$

ポアソン代数は、リー括弧を伴う結合代数です。代数にZ ₂次数を与えてリー括弧をリー超括弧にすると、ポアソン超代数が得られます。さらに、結合積を超可換にすると、超可換ポアソン超代数が得られます。

ホモトピー群上のホワイトヘッド積は、整数上のリー超代数の多くの例を与えます。

超ポアンカレ代数は平坦超空間の等長変換を生成します。

単純複素有限次元リー超代数は、Victor Kacによって分類されました。

それらは（リー代数を除く）^[6]

特殊線形リー超代数 。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}$

リー超代数は、超トレースがゼロである行列からなるの部分代数です。 のときは単純です。 のときは、単位行列はイデアルを生成します。 このイデアルを商化すると となり、 のときは単純です。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|n)}$${\displaystyle m\not =n}$${\displaystyle m=n}$${\displaystyle I_{2m}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|m)/\langle I_{2m}\rangle }$${\displaystyle m\geq 2}$

オルトシンプレクティックリー超代数 。 ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)}$

上の偶数、非退化、超対称双線型形式を考えます。すると、正シンプレクティックリー超代数は、この形式を不変にする行列からなるの部分代数になります。その偶数部分は で与えられます。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{m|2n}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|2n)}$$${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)=\{X\in {\mathfrak {gl}}(m|2n)\mid \langle Xu,v\rangle +(-1)^{|X||u|}\langle u,Xv\rangle =0{\text{ すべての }}u,v\in \mathbb {C} ^{m|2n}\} に対して。}$$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n)}$

例外的なリー超代数 。 ${\displaystyle D(2,1;\alpha )}$

パラメータ に依存する (9∣8) 次元リー超代数の族が存在します。これらは の変形です。 およびの場合、D(2,1,α) は単純です。さらに、 および が写像および の下で同じ軌道の下にある場合。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle D(2,1)={\mathfrak {osp}}(4|2)}$${\displaystyle \alpha \not =0}$${\displaystyle \alpha \not =-1}$${\displaystyle D(2,1;\alpha )\cong D(2,1;\beta )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{-1}}$${\displaystyle \alpha \mapsto -1-\alpha }$

例外的なリー超代数 。 ${\displaystyle F(4)}$

次元は(24|16)です。その偶数部は で与えられます。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {so}}(7)}$

例外的なリー超代数 。 ${\displaystyle G(3)}$

次元は(17|14)です。その偶数部は で与えられます。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus G_{2}}$

およびと呼ばれる、いわゆる奇妙なシリーズも 2 つあります。 ${\displaystyle {\mathfrak {pe}}(n)}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)}$

カルタン型。これらは、、、の4 つのファミリーに分類できます。カルタン型の単純リー超代数では、奇数部は偶数部の作用によって完全には還元できなくなります。 ${\displaystyle W(n)}$${\displaystyle S(n)}$${\displaystyle {\widetilde {S}}(2n)}$${\displaystyle H(n)}$

この分類は、10 個のシリーズW ( m , n )、S ( m , n ) ((m, n) ≠ (1, 1))、H(2m, n)、K (2 m + 1, n )、HO(m, m) ( m ≥ 2)、SHO ( m , m ) ( m ≥ 3)、KO ( m , m + 1)、SKO(m, m + 1; β) ( m ≥ 2)、SHO  ~ (2 m , 2 m )、SKO  ~ (2 m + 1, 2 m + 3) と 5 つの例外代数から構成されます。

E(1, 6)、E(5, 10)、E(4, 4)、E(3, 6)、E(3, 8)

最後の2つは、標準モデルゲージ群SU (3)× S U(2)× U (1)を零レベル代数として持つため、特に興味深い（Kacによれば）。無限次元（アフィン）リー超代数は、超弦理論における重要な対称性である。特に、超対称性を持つヴィラソロ代数は、までの中心拡大のみを持つ。^[7]${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle K(1,{\mathcal {N}})}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$

圏論では、リー超代数は、積が次を満たす 非結合超代数 として定義される。

• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ({\operatorname {id} }+\tau _{A,A})=0}$
• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes {\operatorname {id} }\circ ({\operatorname {id} }+\sigma +\sigma ^{2})=0}$

ここで、σ は巡回置換編組です。図式的に表すと次のようになります。 ${\displaystyle ({\operatorname {id} }\otimes \tau _{A,A})\circ (\tau _{A,A}\otimes {\operatorname {id} })}$

• ゲルステンハーバー代数
• 任意リー代数
• グラスマン代数
• リー超代数の表現
• 超空間
• スーパーグループ
• 普遍包絡代数

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• アーヴィング・カプランスキー + リー超代数