交代多項式

代数学では、交代多項式は多項式です${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$つまり、任意の2つの変数を入れ替えると、多項式の符号が変わる。

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}).}$

同様に、変数を入れ替えると、多項式の値は入れ替えの符号だけ変化する。

${\displaystyle f\left(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}\right)=\mathrm {sgn} (\sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n}).}$

より一般的には、多項式${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{t})}$交互に${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$符号が変わる場合、1つが2つを入れ替える場合${\displaystyle x_{i}}$残して$\displaystyle y_j}}$修正済み。^{[ 1 ]}

対称多項式と交代多項式の積（同じ変数）${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$）このように振る舞う：

• 2 つの対称多項式の積は対称であり、
• 対称多項式と交代多項式の積は交代多項式であり、
• 2つの交代多項式の積は対称である。

これはまさにパリティの加算表であり、「対称」は「偶数」に対応し、「交代」は「奇数」に対応します。したがって、対称多項式と交代多項式の空間の直和は超代数を形成します（${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$-次数付き代数）、対称多項式が偶数部分、交代多項式が奇数部分です。この次数付けは、次数による多項式の次数付けとは関係ありません。

特に、交代多項式は対称多項式の代数上の加群を形成します（超代数の奇数部分は偶数部分上の加群です）。実際、それはn変数のヴァンデルモンド多項式を生成元とする階数1の自由加群です。 

係数環の特性が2の場合、2つの概念に違いはありません。交代多項式はまさに対称多項式です。

基本的な交代多項式はヴァンデルモンド多項式である。

${\displaystyle v_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

これは明らかに交替式です。2 つの変数を入れ替えると、一方の項の符号が変わりますが、他の項の符号は変わりません。^{[ 2 ]}

交代多項式は、ヴァンデルモンド多項式と対称多項式の積に正確に一致する。${\displaystyle a=v_{n}\cdot s}$どこ${\displaystyle s}$対称です。理由は以下のとおりです。

• ${\displaystyle v_{n}}$は、すべての交代多項式の因数です。${\displaystyle (x_{j}-x_{i})}$は、すべての交代多項式の因数である。${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$多項式はゼロになります（入れ替えても多項式は変わらないので、

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}),}$

それで${\displaystyle (x_{j}-x_{i})}$（要因）であり、したがって${\displaystyle v_{n}}$要因の一つです。

• 交代多項式と対称多項式の積は交代多項式になります。したがって、すべての倍数は${\displaystyle v_{n}}$交代多項式である

逆に、2つの交代多項式の比は対称関数であり、有理数になる場合もある（必ずしも多項式になるとは限らない）。ただし、交代多項式とヴァンデルモンド多項式の比は多項式となる。 このようにして、交代多項式をヴァンデルモンド多項式で割った値として、シューア多項式が定義される。

表現論の観点から見ると、対称多項式と交代多項式は、n個の変数を持つ多項式環上のn個の文字に対する対称群の作用の部分表現である。（厳密には、対称群はn個の文字に作用し、したがって派生対象、特にn個の文字上の自由対象（例えば多項式環）に作用する。）

対称群には、自明表現と符号表現という2つの1次元表現があります。対称多項式は自明表現であり、交代多項式は符号表現です。厳密には、任意の対称多項式（または交代多項式）のスカラースパンは、対称群の自明表現（または符号表現）であり、これらの多項式を乗算することで、それぞれの表現をテンソル化することができます。

特性2においては、これらは明確に区別できる表現ではなく、分析はより複雑になる。

もし${\displaystyle n>2}$また、対称群の表現論で議論されているように、多項式環に対する対称群の作用の他の部分表現も存在する。

交代多項式は不安定な現象です。n 変数の対称多項式の環は、上記のすべての変数を評価することによって、任意の数の変数の対称多項式の環から得られます。${\displaystyle x_{n}}$ゼロに収束する: 対称多項式は安定または互換性のある定義となる。しかし、これは交代多項式、特にヴァンデルモンド多項式には当てはまらない。

• 対称多項式
• オイラークラス

• ジャンブルーノ、アントニオ；ザイチェフ、ミハイル（2005）。多項式の恒等式と漸近的方法。第 122巻。アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-3829-7。
• 交代関数の基本定理、マチュー・ロマニー著、2005年9月15日