要素（数学）

数学では、集合の要素（またはメンバー）とは、その集合に属する個別のオブジェクトのいずれかです。たとえば、最初の 4 つの正の整数( ) を含む集合Aがある場合、「3 はAの要素である」と言うことができ、これは と表記されます。 ${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$${\displaystyle 3\in A}$

と書くことで、集合Aの要素は 1、2、3、4 という数字であることを意味します。たとえば、 Aの要素の集合はAのサブセットです。 ${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$${\displaystyle \{1,2\}}$

集合自体が要素になることもあります。たとえば、集合 を考えてみましょう。 Bの要素は1、2、3、4 ではありません。むしろ、Bの要素は1 と 2 の数字と集合の 3 つだけです。 ${\displaystyle B=\{1,2,\{3,4\}\}}$${\displaystyle \{3,4\}}$

集合の要素は何でも構いません。たとえば、集合の要素は赤色、数字 12、集合Bです。 ${\displaystyle C=\{\mathrm {\color {赤}赤} ,\mathrm {12} ,B\}}$

論理的に言えば、. ^{[説明が必要]}${\displaystyle (x\in y)\leftrightarrow \forall x[P_{x}=y]:x\in {\mathfrak {D}}y}$

二項関係「は の要素である」は集合のメンバーシップとも呼ばれ、記号「∈」で表されます。

${\displaystyle x\in A}$

は「 x はAの要素である 」という意味です。^[1]同等の表現は「xはAのメンバーである 」、「x はAに属する 」、「xはAにある 」、「xはAにある 」です。「 A はxを含む」や「Aはxを含む」という表現も集合のメンバーシップを表すために使用されますが、一部の著者は代わりに「xはAの サブセットである」という意味で使用しています。^[2]論理学者のジョージ・ブーロスは、「含む」はメンバーシップにのみ使用し、「含む」はサブセット関係にのみ使用することを強く主張しました。^[3]

関係∈ に対して、逆の関係∈ ^Tは次のように書ける。

${\displaystyle A\ni x}$

「Aにはx が含まれている」という意味です。

集合の帰属関係の否定は記号「∉」で表されます。

${\displaystyle x\notin A}$

「 x はAの要素ではない 」 という意味です。

∈という記号は、ジュゼッペ・ペアノが1889年に著した『算術原理、新手法解説』で初めて使用されました。^[4]彼は10ページで次のように書いています。

Signum ∈significat est.Ita a ∈ blegitur aest quoddam b ; …

つまり

記号 ∈ はであることを意味します。したがって、a ∈ b は、 a はある b であると読みます。…

このシンボル自体は、ギリシャ語の小文字のイプシロン（「ϵ」）を様式化したものであり、 「である」を意味する単語ἐστίの最初の文字である。 ^[4]

上記で定義した集合、つまりA = {1, 2, 3, 4}、B = {1, 2, {3, 4}}、C = {red, green, blue} を使用すると、次のステートメントが当てはまります。

• 2∈A​
• 5 ∉A

• {3, 4} ∈ B
• 3 ∉ B
• 4 ∉ B
• 黄色 ∉ C

特定の集合内の要素の数は、濃度と呼ばれる特性です。非公式には、これは集合のサイズです。^[5]上記の例では、集合 Aの濃度は 4 ですが、集合Bと集合Cの濃度はどちらも 3 です。無限集合は要素の数が無限の集合であり、有限集合は要素の数が有限の集合です。上記の例は有限集合の例です。無限集合の例としては、正の整数{1, 2, 3, 4, ...}の集合が挙げられます。

関係として、集合のメンバーシップには定義域と値域が必要です。慣例的に、定義域はUで示されるユニバースと呼ばれます。値域はUのサブセットの集合で、 Uのべき集合と呼ばれ、P( U ) で示されます。したがって、関係はU × P( U )のサブセットです。逆の関係はP( U ) × Uのサブセットです。 ${\displaystyle \in}$${\displaystyle \ni}$

• アイデンティティ要素
• シングルトン（数学）

• Halmos、Paul R. (1974) [1960]、Naive Set Theory、Undergraduate Texts in Mathematics (Hardcover ed.)、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 0-387-90092-6- 「素朴」とは、それが完全に公理化されていないことを意味し、それが愚かであったり簡単であったりするという意味ではありません (Halmos の扱いはどちらでもありません)。
• ジェック、トーマス(2002)、「集合論」、スタンフォード哲学百科事典、スタンフォード大学形而上学研究室
• サップス、パトリック（1972）[1960]、公理的集合論、NY：ドーバー出版、ISBN 0-486-61630-4- 「集合要素」をより完全に理解するには、集合（メンバーの集合）、メンバーシップまたは要素性、拡張公理、分離公理、および和公理（Suppes はこれを和公理と呼んでいます）の概念が必要です。