クーロン衝突

クーロン衝突は、 2つの荷電粒子がそれぞれの電場を介して相互作用する二元弾性衝突である。あらゆる逆二乗則と同様に、衝突粒子の軌道は双曲ケプラー軌道となる。このタイプの衝突は、粒子の典型的な運動エネルギーが大きすぎて衝突粒子の初期軌道から大きな偏差を生み出せないプラズマでよく見られ、代わりに多数の衝突の累積効果が考慮される。クーロン衝突の重要性は、1936年にレフ・ランダウによって初めて指摘され、^[1]彼はランダウ運動方程式として知られる対応する運動方程式も導出した。

プラズマでは、クーロン衝突によって大きな偏向が生じることはめったにありません。しかし、多数の小角度衝突の累積効果は、発生する少数の大角度衝突の効果よりも大きくなることが多いため、小さな偏向の限界における衝突ダイナミクスを考慮することは有益です。

電荷と質量の電子が、電荷と質量の静止したイオンを速度 で通過するとします。垂直方向の力は最も接近した位置で、接触の持続時間は約 です。これらの式の積を質量で割ると、垂直方向の速度の変化が得られます。 ${\displaystyle -e}$${\displaystyle m_{\text{e}}}$${\displaystyle +Ze}$${\displaystyle b}$${\displaystyle v}$${\displaystyle Ze^{2}/(4\pi \epsilon _{0}b^{2})}$${\displaystyle b/v}$

${\displaystyle \Delta m_{\text{e}}v_{\perp }\approx {\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {1}{vb}}}$

偏向角は に比例することに注意してください。高速粒子は「滑りやすい」ため、多くの輸送プロセスで優位を占めます。速度が一致した相互作用の効率は、核融合生成物が (望ましいように) イオンではなく電子を加熱する傾向がある理由でもあります。電場が存在する場合、高速電子は抵抗が少なくなり、「暴走」プロセスでさらに高速になります。 ${\displaystyle 1/v^{2}}$

密度 のイオン場を通過する際、電子はさまざまな衝突パラメータ（イオンまでの距離）と方向で同時に多数の衝突を経験する。累積効果は垂直運動量の拡散として記述できる。対応する拡散定数は、運動量の個々の変化の2乗を積分することで求められる。衝突パラメータ と の間の衝突率は であるため、拡散定数は次のように与えられる。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (b+\mathrm {d} b)}$${\displaystyle nv(2\pi b\mathrm {d} b)}$

${\displaystyle D_{v\perp}=\int \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)^{2}\,{\frac {1}{v^{2}b^{2}}}\,nv(2\pi b\,{\mathrm {d} }b)=\left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)^{2}\,{\frac {2\pi n}{v}}\,\int {\frac {{\mathrm {d} }b}{b}}}$

明らかに、積分は衝突パラメータが小さい場合も大きい場合も発散する。衝突パラメータが小さい場合の発散は明らかに非物理的である。なぜなら、ここで使用した仮定の下では、最終的な垂直運動量は初期運動量よりも高い値を取ることができないからである。上記の推定値を と等しくすると、衝突パラメータの下限は約 となることがわかる。 ${\displaystyle \Delta m_{\text{e}}v_{\perp}}$${\displaystyle mv}$

${\displaystyle b_{0}={\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {1}{m_{\text{e}}v^{ 2}}}}$

大角度衝突の断面積の推定値としてを使用することもできます。条件によっては、量子力学、つまり電子のド・ブロイ波長によるより厳しい下限があり、ここで はプランク定数です。 ${\displaystyle \pi b_{0}^{2}}$${\displaystyle h/m_{\text{e}}v}$${\displaystyle h}$

大きな衝突パラメータでは、電子がイオンの近傍に集まり、他のイオンがそれを避ける傾向により、イオンの電荷は遮蔽されます。したがって、衝突パラメータの上限カットオフは、デバイ長とほぼ等しくなります。

${\displaystyle \lambda _{\text{D}}={\sqrt {\frac {\epsilon _{0}kT_{\text{e}}}{n_{\text{e}}e^{2}}}}}$

したがって、の積分は、上限カットオフと下限カットオフの比の対数になります。この数はクーロン対数として知られ、またはで表されます。これは、小角衝突が大角衝突よりも効果的である要因です。クーロン対数は、1936 年にLev Landau ^[1]と1943 年にSubrahmanyan Chandrasekhar ^[2]によって独立に導入されました。多くの興味深いプラズマでは、クーロン対数はからの間の値を取ります。(便利な公式については、 NRL Plasma formularyの 34 ページと 35 ページを参照してください。) 衝突パラメータ積分の限界は明確ではありませんが、1 のオーダーの要因によって不確実であり、 のオーダーの理論的不確実性につながります。このため、便利な選択 を単に採用することが正当化されることがよくあります。ここでの分析により、スケーリングと桁数が得られます。^[3]${\displaystyle 1/b}$${\displaystyle \ln \Lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle 5}$${\displaystyle 15}$${\displaystyle 1/\lambda }$${\displaystyle \lambda =10}$

すべての衝突パラメータを考慮した N 体処理は、いくつかの単純な事実を考慮に入れることで実行できます。主な 2 つの事実は次のとおりです。(i) 上記の垂直速度の変化は、ラザフォード偏向の 1/ bにおける最低次の近似です。したがって、上記の摂動論もこの完全な偏向を使用して実行できます。これにより、この完全な偏向を使用しなければならない最小の衝突パラメータまで計算が正確になります。(ii) 大きな衝突パラメータに対するデバイ遮蔽の効果は、デバイ遮蔽クーロンポテンシャル (遮蔽効果 デバイ長) を使用することで対応できます。これにより、大きな衝突パラメータでの上記の発散がキャンセルされます。上記のクーロン対数は、1 の定数によって修正されることがわかります。^[4]

1950 年代、非磁化プラズマ中の衝突による輸送が、カリフォルニア大学バークレー校放射線研究所の 2 つのグループによって同時に研究されました。彼らはそれぞれの論文で互いの結果を引用しました。^{[5] [6]}最初の参考文献は、電場振幅の摂動論を使用して、相互作用の平均場部分を扱っています。同じ近似内で、バレスク-レナード方程式を使用することで、衝突輸送係数のよりエレガントな導出が提供されました ( ^{[7]のセクション 8.4 と[8]} のセクション 7.3 と 7.4 を参照)。2 番目の参考文献は、2 体衝突のラザフォード描像を使用しています。最初の参考文献の計算は、衝突パラメータが粒子間距離よりもはるかに大きい場合に正確ですが、2 番目の参考文献の計算は逆のケースで機能します。両方の計算は、それぞれ単一のアドホックカットオフを導入することで衝撃パラメータの全範囲に拡張され、上記の簡略化された数学的処理のように 2 つではなく、輸送係数はそれに対数的にのみ依存します。両方の結果は一致し、拡散定数の上記の式が得られます。

• ラザフォード散乱

• イオン化の影響 [ApJ 論文] Gordon Emslie 著
• NRL 血漿処方集 2013 版。2016 年 12 月 23 日にWayback Machineにアーカイブされました。