デュアルスティーンロッド代数

代数的位相幾何学では、代数演算（双対化）を通じて、非可換スティーンロッド代数から双対スティーンロッド代数と呼ばれる関連する可換代数^{[1]が存在します。この双対代数は、可換であることや、多くの場合（ [2] ：61–62}など）アダムススペクトル列を非常に簡単に計算するための技術的なツールを提供することなど、多くの驚くべき利点があります。 ${\displaystyle \pi _{*}(MU)}$

^{[2] : 59} で述べたように、スティーンロッド代数( とも表記) は次数付き非可換ホップ代数であり、これは共可換、つまりその共乗法は共可換である。つまり、双対ホップ代数 (または単に と表記) を取ると、次数付き可換代数が得られ、これは非可換共乗法を持つ。この双対性は、スティーンロッドのホップ代数構造の可換図を双対化することでまとめることができる。${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p,*}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{*}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}^{*}\xrightarrow {\psi ^{*}} {\mathcal {A}}_{p}^{*}\otimes {\mathcal {A }}_{p}^{*}\xrightarrow {\phi ^{*}} {\mathcal {A}}_{p}^{*}}$

双対化すると地図が得られる

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p,*}\xleftarrow {\psi _{*}} {\mathcal {A}}_{p,*}\otimes {\mathcal {A}}_{ p,*}\xleftarrow {\phi _{*}} {\mathcal {A}}_{p,*}}$

双対ホップ代数の主な構造マップを示します。双対ホップ代数には、素数か奇数かで分けられた優れた構造定理があることがわかります。 ${\displaystyle 2}$

この場合、双対スティーンロッド代数は次数が である次数付き可換多項式代数である。すると、余積写像は次のように与えられる。${\displaystyle {\mathcal {A}}_{*}=\mathbb {Z} /2[\xi _{1},\xi _{2},\ldots ]}$${\displaystyle \deg(\xi _{n})=2^{n}-1}$

${\displaystyle \Delta :{\mathcal {A}}_{*}\to {\mathcal {A}}_{*}\otimes {\mathcal {A}}_{*}}$

送信

${\displaystyle \Delta \xi _{n}=\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{ni}^{2^{i}}\otimes \xi _{i}}$

どこ。 ${\displaystyle \xi_{0}=1}$

他の素数の場合、双対スティーンロッド代数はやや複雑で、次数可換多項式代数に加えて次数可換外代数も含まれる。 を生成元と を持つ外代数とすると、双対スティーンロッド代数は次のように表される。${\displaystyle \Lambda (x,y)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{*}=\mathbb {Z} /p[\xi _{1},\xi _{2},\ldots ]\otimes \Lambda (\tau _{0},\tau _{1},\ldots )}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}\deg(\xi _{n})&=2(p^{n}-1)\\\deg(\tau _{n})&=2p^{n} -1\end{整列}}}$

さらに、共乗法は次のように定義される。${\displaystyle \Delta :{\mathcal {A}}_{*}\to {\mathcal {A}}_{*}\otimes {\mathcal {A}}_{*}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (\xi _{n})&=\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{ni}^{p^{i}}\otimes \ xi _{i}\\\Delta (\tau _{n})&=\tau _{n}\otimes 1+\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{ni}^{p^{i}}\otimes \tau _{i}\end{aligned}}}$

またどこで。 ${\displaystyle \xi_{0}=1}$

ホップ代数の残りの構造は、どちらの場合もまったく同じように記述できます。単位写像と余単位写像の両方があります。${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta &:\mathbb {Z} /p\to {\mathcal {A}}_{*}\\\varepsilon &:{\mathcal {A}}_{*}\to \mathbb {Z} /p\end{aligned}}}$

これらはどちらも次数で同型である。これらは元々のスティーンロッド代数から来ている。さらに、共役写像も存在し、これは再帰的に次の方程式によって定義される。${\displaystyle 0}$${\displaystyle c:{\mathcal {A}}_{*}\to {\mathcal {A}}_{*}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c(\xi _{0})&=1\\\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{ni}^{p^{i}}c(\xi _{i})&=0\end{aligned}}}$

さらに、を 度 でと同型な余単位写像の核として表記します。 ${\displaystyle {\overline {{\mathcal {A}}_{*}}}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{*}}$${\displaystyle >1}$

• アダムス・ノビコフスペクトル列