ソロー・スワンモデル

ソロー・スワン・モデル、または外生的成長モデルは、長期経済成長の経済モデルです。資本蓄積、労働力または人口増加、そして主に技術進歩によってもたらされる生産性の向上に着目することで、長期経済成長を説明しようと試みます。その核心は、多くの場合コブ・ダグラス型として指定される総生産関数であり、これによりモデルは「ミクロ経済学と接触する」ことができます。^{[ 1 ]： 26}このモデルは、1956年にロバート・ソローとトレバー・スワンによって独立して開発され、 ^{[ 2 ] [ 3 ] [注1 ]}ケインズ派のハロッド・ドーマー・モデルに取って代わりました。

数学的には、ソロー・スワン・モデルは、一人当たりの資本ストックの進化をモデル化する単一の常微分方程式からなる非線形システムです。その特に魅力的な数学的特性により、ソロー・スワン・モデルはさまざまな拡張の便利な出発点となりました。たとえば、1965年に、デイビッド・キャスとチャリング・クープマンスは、フランク・ラムゼイの消費者最適化の分析^{[ 4 ]}を統合し、貯蓄率を内生化^{[ 5 ]}して、現在ラムゼイ・キャス・クープマンス・モデルとして知られるものを作成しました。

ソロー・スワン・モデルは、1946年のハロッド・ドーマー・モデルを拡張したもので、資本のみが成長に貢献するという制約的な仮定（すべての資本を使用するのに十分な労働力がある限り）を撤廃した。このモデルへの重要な貢献は、1956年にソローとスワンがそれぞれ独立して比較的単純な成長モデルを開発した研究によるものである。^{[ 2 ] [ 3 ]}ソローのモデルは、米国経済成長に関する入手可能なデータにある程度適合した。^{[ 6 ]} 1987年、ソローはその業績によりノーベル経済学賞を受賞した。今日、経済学者はソローの成長源泉会計を使用して、技術革新、資本、労働が経済成長に及ぼす個別の影響を推定している。^{[ 7 ]}

ソローモデルは、経済成長を説明するために経済学で最も広く使用されているモデルの一つでもあります。^{[ 8 ]}基本的に、このモデルは「全要素生産性（TFP）の結果は、国の生活水準の無限の増加につながる可能性がある」と主張しています。 ^{[ 8 ]}

教科書のソロー・スワン・モデルは、政府や国際貿易のない連続時間の世界を想定している。単一の財（生産物）は、2つの生産要素、労働（${\displaystyle L}$）と資本（${\displaystyle K}$）稲田条件を満たす総生産関数において、代替弾力性は漸近的に1に等しくなければならない。^{[ 15 ] [ 16 ]}

${\displaystyle Y(t)=K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }\,}$

どこ${\displaystyle t}$時間を表す、${\displaystyle 0<\alpha <1}$は資本に対する生産量の弾力性であり、${\displaystyle Y(t)}$総生産量を表す。${\displaystyle A}$労働力増強技術または「知識」を指すので、${\displaystyle AL}$有効労働を表します。すべての生産要素は完全に利用され、初期値は${\displaystyle A(0)}$、${\displaystyle K(0)}$、 そして${\displaystyle L(0)}$労働者数（すなわち労働力）と技術水準は、外生的に以下の割合で増加する。${\displaystyle n}$そして${\displaystyle g}$、 それぞれ：

${\displaystyle L(t)=L(0)e^{nt}}$

${\displaystyle A(t)=A(0)e^{gt}}$

有効労働単位数、${\displaystyle A(t)L(t)}$したがって、成長率は${\displaystyle (n+g)}$一方、資本ストックは 一定の割合で時間とともに減価償却される。${\displaystyle \delta }$しかし、出力のごく一部しか${\displaystyle cY(t)}$と${\displaystyle 0<c<1}$) が消費され、保存されたシェアが残ります${\displaystyle s=1-c}$投資の場合。この動態は次の微分方程式で表されます。

${\displaystyle {\frac {dK(t)}{dt}}=s\cdot Y(t)-\delta \cdot K(t)\,}$

${\displaystyle {\frac {dK(t)}{dt}}}$は、時間に関する資本ストックの導関数です。貯蓄の絶対額が、${\displaystyle s\cdot Y(t)}$資本ストックの絶対的な減少率を超え、${\displaystyle \delta \cdot K(t)}$。

生産関数${\displaystyle Y(K,AL)}$規模に関して収穫一定であるということは、有効労働単位当たりの生産量として表すことができる。${\displaystyle y}$これは富の創造の尺度である：^{[注2 ]}

${\displaystyle y(t)={\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}=k(t)^{\alpha }}$

このモデルの主な関心は、資本集約度の動態にある。${\displaystyle k}$は、有効労働単位当たりの資本ストックです。その時間経過に伴う挙動は、ソロー・スワン・モデルの主要方程式で表されます。^{[注3 ]}

${\displaystyle {\dot {k}}(t)=sk(t)^{\alpha }-(n+g+\delta )k(t)}$

最初の項、${\displaystyle sk(t)^{\alpha }=sy(t)}$は、有効労働単位当たりの実際の投資額です。${\displaystyle s}$有効労働単位当たりの生産量${\displaystyle y(t)}$貯蓄され投資されるもの。第２項、${\displaystyle (n+g+\delta )k(t)}$は「損益分岐点投資」であり、${\displaystyle k}$落下から。^{[ 17 ]： 16}この方程式は、${\displaystyle k(t)}$定常状態の値に収束する${\displaystyle k^{*}}$定義される${\displaystyle sk(t)^{\alpha }=(n+g+\delta )k(t)}$資本集約度が増加も減少もしない水準：

${\displaystyle k^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{1/(1-\alpha )}\,}$

資本ストックが${\displaystyle K}$効果的な労働${\displaystyle AL}$成長率は${\displaystyle (n+g)}$同様に、創出された富の定常状態を計算することも可能である。${\displaystyle y^{*}}$それは${\displaystyle k^{*}}$:

${\displaystyle y^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{\alpha /(1-\alpha )}\,}$

収穫一定を仮定すると、${\displaystyle Y}$も同様に成長している。本質的に、ソロー＝スワンモデルは、経済は出発点に関わらず、均衡成長に収束すると予測している。この状況では、労働者一人当たりの生産量の増加は、技術進歩の速度のみによって決定される。^{[ 17 ]： 18}

定義により、${\displaystyle {\frac {K(t)}{Y(t)}}=k(t)^{1-\alpha }}$平衡状態では${\displaystyle k^{*}}$我々は持っています

${\displaystyle {\frac {K(t)}{Y(t)}}={\frac {s}{n+g+\delta }}}$

したがって、均衡状態においては、資本／産出比率は貯蓄率、成長率、減価償却率のみに依存する。これは、ソロー＝スワン・モデルにおける黄金律貯蓄率に相当する。

以来${\displaystyle {\alpha }<1}$いつでも${\displaystyle t}$資本の限界生産性${\displaystyle K(t)}$ソロー・スワンモデルでは、資本労働比率と逆相関関係にある。

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }}{(K/L)^{1-\alpha }}}}$

生産性${\displaystyle A}$国によって同じであり、労働者一人当たりの資本が少ない国では${\displaystyle K/L}$限界生産性が高くなり、資本投資に対する収益率も高くなる。結果として、このモデルは、自由市場経済とグローバル金融資本の世界では、資本/労働者が${\displaystyle K/L}$および労働者一人当たりの収入${\displaystyle Y/L}$各国間の格差を是正する。

物的資本の限界生産性は貧しい国では豊かな国よりも高くないため、^{[ 18 ]}貧しい国では生産性が低いということになる。基本的なソローモデルでは、これらの国で生産性が低い理由を説明できない。ルーカスは、貧しい国では人的資本のレベルが低いことが生産性の低さを説明できると示唆した。^{[ 19 ]}

収益率が${\displaystyle r}$資本の限界生産物に等しい${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}}$それから

${\displaystyle {\frac {rK}{Y}}={\frac {K{\frac {\partial Y}{\partial K}}}{Y}}=\alpha \,}$

となることによって${\displaystyle \alpha }$は、資本によって収奪される所得の割合である。したがって、ソロー＝スワンモデルは、所得の労働と資本の分配比率が一定であると最初から仮定している。

人的資本を加味したソロー・スワンモデルは、貧困国の所得水準が、生産高に占める物的資本と人的資本の両方の貯蓄率が類似している場合、富裕国の所得水準に追いつくか収束する傾向があると予測しており、これは条件付き収束として知られるプロセスである。しかし、貯蓄率は国によって大きく異なる。特に、教育への投資には相当な資金制約が存在するため、人的資本の貯蓄率は各国の文化的およびイデオロギー的特性に応じて変化する可能性が高い。^{[ 23 ]}

1950年代以降、富裕国と貧困国の労働者当たり生産高は概して収束していないが、貯蓄率を大幅に引き上げた貧困国では、ソロー・スワン・モデルが予測した所得収束が実現している。例えば、かつては比較的貧しかった日本の労働者当たり生産高は、富裕国の水準に収束した。日本は1950年代と1960年代に貯蓄率を引き上げた後、高い成長率を記録したが、1970年頃に貯蓄率が安定してからは、モデルの予測通り、労働者当たり生産高の成長率は鈍化している。

米国南部諸州の一人当たり所得水準は、北部諸州の水準に収束する傾向にある。これらの州で観察される収束は、条件付き収束の概念とも一致する。国や地域間の絶対的収束が起こるかどうかは、以下のような類似した特性を持っているかどうかにかかっている。

• 教育政策
• 制度的取り決め
• 国内では自由市場、他国との貿易政策。 ^{[ 24 ]}

条件付き収束の追加的な証拠は、多変量、国別回帰分析から得られます。^{[ 25 ]}

シンガポールやその他の「東アジアの虎」に対する計量経済学的分析では、労働者一人当たりの生産量は増加しているものの、急速な成長のほとんどが一人当たりの生産性の向上によるものではない（「ソロー残差」が低い）という驚くべき結果が出ている。^{[ 7 ]}

• 経済成長
• 内生的成長理論

• アジェノール、ピエール＝リシャール（2004）。「成長と技術進歩：ソロー＝スワン・モデル」。『調整と成長の経済学』（第2 版）。ケンブリッジ：ハーバード大学出版局。439 ～ 462頁。ISBN  978-0-674-01578-4。
• Barro, Robert J. ; Sala-i-Martin, Xavier (2004). 「外生的貯蓄率を伴う成長モデル」 . 『経済成長』 （第2 版）. ニューヨーク：McGraw-Hill. pp. 23–84 . ISBN  978-0-262-02553-9。
• Burmeister, Edwin; Dobell, A. Rodney (1970). 「単一部門成長モデル」.経済成長の数学的理論. ニューヨーク: Macmillan. pp. 20–64 . 
• ドルンブッシュ、リューディガー；フィッシャー、スタンレー；スターツ、リチャード（2004）。「成長理論：新古典派モデル」。マクロ経済学（第9 版）。ニューヨーク：マグロウヒル・アーウィン。61 ～ 75頁。ISBN  978-0-07-282340-0。
• ファーマー、ロジャー EA ( 1999).「新古典派成長理論」マクロ経済学（第2 版）シンシナティ：サウスウェスタン。333–355頁。ISBN  978-0-324-12058-5。
• Ferguson, Brian S.; Lim, GC (1998).動的経済モデル入門. マンチェスター: マンチェスター大学出版局. pp. 42–48 . ISBN  978-0-7190-4996-5。
• ガンドルフォ、ジャンカルロ（1996）。「新古典派成長モデル」。『経済動学』 （第3 版）。ベルリン：シュプリンガー。175-189頁。ISBN  978-3-540-60988-9。
• ハルスマイヤー、ヴェレナ（2024）。ミニチュアにおける成長の管理：人工物としてのソロウのモデル。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。doi ： 10.1017 / 9781009092340。ISBN 9781009092340。
• Halsmayer, Verena (2014). 「探索的モデリングから技術的専門知識へ：多目的設計としてのソローの成長モデル」 .政治経済学史. 46 (補遺 1、MIT とアメリカ経済学の変革): 229–251 . doi : 10.1215/00182702-2716181 . 2017-11-29に取得。
• イントリリゲーター、マイケル・D. (1971).数学的最適化と経済理論. エンゲルウッド・クリフス：プレンティス・ホール. pp. 398–416 . ISBN  978-0-13-561753-3。
• ファン・ライケヘム・ウィリー（1963） ：いくつかのマクロ経済成長モデルの構造 ：比較。世界経済アーカイブ第91巻、 84～100ページ

• ソローモデル動画 - ソロー成長モデルの導出過程と結論を解説する20本以上の動画
• 動画解説：マージナル・レボリューション・ユニバーシティ
• パラメータを試したり、ソローモデルについて学んだりできるJavaアプレット
• フィオナ・マクラクランによるソロー成長モデル、ウルフラム・デモンストレーション・プロジェクト。
• ソローモデルを理解するための段階的な説明
• ミネソタ大学のホセ・ビクトル・リオス・ルル教授のコース