交換子部分空間

数学において、可分ヒルベルト空間上の有界線型作用素の両側イデアルの交換子部分空間は、有界作用素を持つイデアル内の作用素の交換子によって張られる線型部分空間である。交換子部分空間の現代的な特徴付けはカルキン対応を通じて行われ、作用素イデアルのカルキン列空間がチェザロ平均をとらないことを含んでいる。この明示的なスペクトル特徴付けは、両側イデアル上の 交換子とトレースに関する問題と疑問を、列空間上の（より解決可能な）問題と条件に還元する。

ヒルベルト空間上の線型作用素の交換子は、1930年代に行列力学、あるいは量子力学のハイゼンベルク定式化で取り上げられたことで注目を集めるようになった。しかし、交換子部分空間は1970年代までほとんど注目されなかった。アメリカの数学者ポール・ハルモスは1954年に、可分な無限次元ヒルベルト空間上のすべての有界作用素は、有界作用素の交換子2つの和であることを示した。^[1] 1971年にカール・パーシーとデイビッド・トッピングがこのテーマを再検討し、シャッテンイデアルの交換子部分空間を研究した。^[2]学生時代、アメリカの数学者ゲイリー・ワイスは、ヒルベルト・シュミット作用素の交換子のスペクトル条件を調べ始めた。^{[3] [4]}ワイスのスペクトル条件に注目した イギリスの数学者ナイジェル・カルトンは、すべてのトレースクラスの交換子を特徴付けた。^[5] カルトンの結果は、交換子部分空間の現代的な特徴付けの基礎を形成しています。2004年にケン・ダイクマ、タデウシュ・フィギエル、ゲイリー・ワイス、マリウス・ウォジツキは、コンパクト作用素の両側イデアルすべてについて、交換子部分空間における正規作用素のスペクトル的特徴付けを発表しました。^[6]

可分ヒルベルト空間H上の有界線型作用素B ( H ) の両側イデアルJの交換子部分空間は、 Jからのすべての作用素AとB ( H )からのすべての作用素Bに対して[ A , B ] =  AB  −  BAの形式をとるJ内の作用素の線型範囲です。

Jの交換子部分空間は、Com( J )または[ B ( H ), J ]で表されるJの線型部分空間です。

カルキン対応は、コンパクト演算子 A が両側イデアルJに属する場合と、Aの特異値μ( A ) がJに関連付けられたカルキンシーケンス空間jに属する場合に限ります。 交換子部分空間 Com( J )に属する正規演算子は、 μ( A ) がjに属し、シーケンス μ( A ) のチェザロ平均がjに属するようなAとして特徴付けることができます。^{[6]次の定理は、正規演算子の差分[7]}へのわずかな拡張です(以下でB  = 0 と設定すると、前の文のステートメントが得られます)。

定理。A ,B が両側イデアルJに属するコンパクト正規作用素である とする。このとき、A  −  B が交換子部分空間 Com( J ) に属するのは、

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{1+n}}\sum _{k=0}^{n}\left(\mu (k,A)-\mu (k,B)\right)\right\}_{n=0}^{\infty }\in j}$

ここで、jはJに対応するカルキン系列空間であり、μ ( A )、μ ( B )はそれぞれAとBの特異値である。

Jのすべての演算子の固有値列がカルキン列空間jに属すると仮定すると、任意の (非正規) 演算子のスペクトル特性が存在します。これはすべての両側イデアルに有効ではありませんが、必要十分条件はわかっています。ナイジェル・カルトンとアメリカの数学者ケン・ダイクマは、可算生成イデアルに対して最初にこの条件を導入しました。^{[8] [9]} ウズベキスタンとオーストラリアの数学者フェドル・スコチェフとドミトリー・ザニンは、固有値特性を完成させました。^[10]

定理。Jが両側イデアルであり、Jに有界作用素Aが存在するときは必ずJに有界作用素Bが存在し、

有界作用素AとBがJに属する場合、A  −  Bが交換子部分空間Com( J )に属するのは、

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{1+n}}\sum _{k=0}^{n}\left(\lambda (k,A)-\lambda (k,B)\right)\right\}_{n=0}^{\infty }\in j}$

ここで、j はJに対応するカルキン列空間であり、λ ( A )、λ ( B ) はそれぞれ演算子AとBの固有値の列であり、固有値の絶対値が減少するように並べ替えられています。

ほとんどの両側イデアルは定理の条件を満たし、これにはすべてのバナッハイデアルと準バナッハイデアルが含まれます。

• Jのすべての演算子は、対応するカルキン列空間jがチェザロ平均をとった場合に不変である場合に限り、交換子の和になります。記号では、Com( J ) =  Jは C( j ) =  jと同等です。ここで、C は列上のチェザロ演算子を表します。
• 任意の2辺イデアルにおいて、正演算子とその対角化の差は交換子の和である。つまり、A  − diag( μ ( A )) は、 J内のすべての正演算子Aに対してCom( J ) に属し、 diag( μ ( A )) は、可分ヒルベルト空間Hの任意の正規直交基底におけるAの対角化である。
• ( 1 )を満たす任意の2辺イデアルにおいて、任意の演算子とその対角化の差は交換子の和である。つまり、A  − diag( λ ( A ))はJ内のすべての演算子Aに対してCom( J )に属する。ここで、diag( λ ( A ))は可分ヒルベルト空間Hの任意の正規直交基底におけるAの対角化であり、λ ( A )は固有値列である。
• ( 1 )を満たす2辺イデアルにおけるすべての準冪零演算子は交換子の和である。

B ( H)の両側イデアルJ上のトレース φ は、Com( J )上で消える線型汎関数 φ: J →である。以上の結果から、 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• 両側イデアルJ は、 C( j ) ≠  jの場合にのみ、非ゼロのトレースを持ちます。
• φ ( A ) = φ  ∘ diag( μ ( A )) はJの任意の正演算子Aに対して成り立ち、 diag( μ ( A )) は可分ヒルベルト空間Hの任意の正規直交基底におけるAの対角化です。つまり、J上のトレースはj上の対称関数と直接対応しています。
• ( 1 )を満たす任意の2辺イデアルにおいて、Jの任意の演算子Aに対してφ ( A ) =  φ∘  diag( λ ( A ))が成り立ち、ここでdiag( λ ( A ))は可分ヒルベルト空間Hの任意の正規直交基底におけるAの対角化であり、λ ( A )は固有値列である。
• ( 1 )を満たす任意の2辺イデアルにおいて、Jからのすべての準冪零演算子QとJ上のすべてのトレースφに対してφ ( Q ) = 0である。

H が可分な無限次元ヒルベルト空間である と仮定します。

• コンパクト演算子。コンパクト線形演算子 K ( H ) は、ゼロ収束シーケンスc ₀の空間に対応します。ゼロ収束シーケンスの場合、チェザロ平均はゼロに収束します。したがって、 C( c ₀ ) = c ₀かつ Com( K ( H )) =  K ( H ) です。
• 有限ランク演算子。有限ランク演算子 F ( H ) は、有限の非ゼロ項c ₀₀を持つシーケンスの空間に対応します。条件

${\displaystyle \left\{{\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }\in c_{00}}$

発生するのは、

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}=0}$

c ₀₀内のシーケンス ( a ₁ , a ₂ , ... , a _N , 0, 0 , ...)について。 F ( H ) 上の演算子トレースTrの核と有限ランク演算子の交換子部分空間は等しく、 ker Tr = Com( F ( H )) ⊊  F ( H ) です。

• トレースクラス演算子。トレースクラス演算子 L _1は、加算可能なシーケンスに対応します。条件

${\displaystyle \left\{{\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }\in \ell _{1}}$

はa ₁ + a ₂ ... = 0という条件よりも強い。例としては、

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n\log ^{2}(n)}},\quad n\geq 2.}$

そして

${\displaystyle a_{1}=-\sum _{n=2}^{\infty }a_{n}.}$

和は0だが、チェザロ平均の和可能な列を持たない。したがって、Com( L ₁ ) ⊊ ker Tr ⊊  L _{1 で}ある。

• 弱トレースクラス演算子。弱トレースクラス演算子 L _1,∞は弱l ₁シーケンス空間に対応する。条件から

${\displaystyle \left\{{\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }\in \ell _{1,\infty }}$

または同等

${\displaystyle \left\{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }=O(1)}$

Com( L _{1 ,∞} ) ₊  = ( L ₁ ) ₊であることは明らかです。 弱いトレースクラス演算子の交換子部分空間には、トレースクラス演算子が含まれます。調和シーケンス 1,1/2,1/3,...,1/ n ,... はl _1,∞に属し、発散する級数を持つため、調和シーケンスの Cesàro 平均はl _1,∞に属しません。 まとめると、L ₁ ⊊ Com( L _1,∞ ) ⊊  L _1,∞です。

• K. Dykema; T. Figiel; G. Weiss; M. Wodzicki (2004). 「演算子イデアルの交換子構造」(PDF) . Advances in Mathematics . 185 : 1–79. doi : 10.1016/s0001-8708(03)00141-5 .

• G. Weiss (2005)、「B ( H )-交換子: 歴史的概観」、Dumitru Gaşpar、Dan Timotin、László Zsidó、Israel Gohberg、Florian-Horia Vasilescu (編)、Recent Advances in Operator Theory, Operator Algebras, and their Applications、Operator Theory: Advances and Applications、vol. 153、ベルリン: Birkhäuser Basel、pp. 307–320、ISBN 978-3-7643-7127-2

• T. Figiel、N. Kalton (2002)、「関数空間上の対称線形関数」、M. Cwikel、M. Englis、A. Kufner、L.-E. Persson、G. Sparr (編)、関数空間、補間理論、および関連トピック: Jaak Peetre 生誕 65 周年を記念した国際会議の議事録: スウェーデン、ルンド、2000 年 8 月 17 ～ 22 日、De Gruyter: Proceedings in Mathematics、ベルリン: De Gruyter、pp. 311 ～ 332、ISBN 978-3-11-019805-8

• S.ロード、FAスコチェフ。 D. ザニン (2012)。特異なトレース: 理論と応用。ベルリン：デ・グロイター。土井：10.1515/9783110262551。ISBN 978-3-11-026255-1。