ディクスミアの痕跡

数学において、ディクスミア トレースは、ジャック ディクスミア(1966) によって導入され、トレース クラス演算子の空間よりも大きいヒルベルト空間上の線型演算子の空間上の 非正規^{[説明が必要]トレースである。ディクスミア トレースは、}特異トレースの例である。

ディクスミアトレースの非可換幾何学への応用は、(Connes 1994) で説明されています。

Hがヒルベルト空間ならば、 L ^1,∞ ( H )はH上のコンパクト線型作用素Tの空間であり、ノルム

${\displaystyle \|T\|_{1,\infty }=\sup _{N}{\frac {\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(T)}{\log(N)}}}$

は有限であり、μ _i ( T )は降順で並べられた | T | の固有値である。

${\displaystyle a_{N}={\frac {\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(T)}{\log(N)}}}$。

Tのディクスミアトレース Tr _ω ( T ) は、L ^1,∞ ( H )の正の作用素Tに対して次のように 定義されます。

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{\omega }(T)=\lim _{\omega }a_{N}}$

ここで、lim _{ω は}、通常の極限のスケール不変な正の「拡張」であり、すべての有界シーケンスに適用されます。言い換えると、次の特性を持ちます。

• すべてのα _n ≥ 0 の場合、 lim _ω ( α _n ) ≥ 0 (正)
• lim _ω ( α _n ) = lim( α _n ) 通常の極限が存在するときはいつでも
• lim _ω ( α ₁ , α ₁ , α ₂ , α ₂ , α ₃ , ...) = lim _ω ( α _n ) (スケール不変性)

このような拡張は多数あり（ α ₁、α ₂、α ₄、α ₈、...の バナッハ極限など）、さまざまなディクスミアトレースが存在します。ディクスミアトレースは線形であるため、線形性によってL ^1,∞ ( H ) のすべての演算子に拡張されます。演算子のディクスミアトレースが lim _ωの選択に依存しない場合、その演算子は可測と呼ばれます。

• Tr _ω ( T ) はTに関して線形です。
• T ≥ 0 ならば Tr ω ₍ T ) ≥ 0
• Sが有界であればTr _ω ( ST ) = Tr _ω ( TS )
• Tr _ω ( T ) はH上の内積の選択に依存しません。
• すべてのトレースクラス演算子Tに対してTr _ω ( T ) = 0ですが、 1 に等しいコンパクト演算子も存在します。

トレースφ は、正の演算子の有界増加有向族すべてに対してφ (sup x _α ) = sup  φ ( x _α ) が成り立つ場合、正規トレースと呼ばれます。 上の任意の正規トレースは通常のトレースに等しいため、ディクスミア トレースは非正規トレースの例です。 ${\displaystyle L^{1,\infty }(H)}$

固有値が 1、1/2、1/3、... であるコンパクトな自己随伴演算子の Dixmier トレースは 1 に等しくなります。

正の演算子Tの固有値μ _{i が}次のような性質を持つ 場合、

${\displaystyle \zeta _{T}(s)=\operatorname {Tr} (T^{s})=\sum {\mu _{i}^{s}}}$

Re( s )>1 で収束し、s =1 付近でs =1に最大で単純な極を持つ有理型関数に拡張される場合、 Tの Dixmier トレースはs =1での留数になります(特に、ω の選択とは無関係です)。

Connes (1988)は、次数-dim(M)の多様体M上の擬微分作用素のWodzickiの非可換剰余(Wodzicki 1984)がそのDixmierトレースに等しいこと を示した。

• Albeverio, S.; Guido, D.; Ponosov, A.; Scarlatti, S.: 特異トレースとコンパクト演算子。J. Funct. Anal. 137 (1996), no. 2, 281—302。
• コネス、アラン(1988)、「非可換幾何学における作用関数」、Communications in Mathematical Physics、117 (4): 673–683、Bibcode :1988CMaPh.117..673C、doi :10.1007/BF01218391、ISSN  0010-3616、MR  0953826
• コネス、アラン（1994）、非可換幾何学、ボストン、マサチューセッツ州：アカデミックプレス、ISBN 978-0-12-185860-5^{[永久リンク切れ‍ ]}
• Dixmier、Jacques (1966)、「Existence detraces nonnormales」、科学アカデミーのコンプテス・レンドゥス、シリーズ A および B、262 : A1107–A1108、ISSN  0151-0509、MR  0196508
• Wodzicki, M. (1984)、「スペクトル非対称性の局所不変量」、Inventiones Mathematicae、75 (1): 143–177、Bibcode :1984InMat..75..143W、doi :10.1007/BF01403095、ISSN  0020-9910、MR  0728144、S2CID  120857263

• 特異な痕跡