ラブウェーブ

固体力学において、オーガスタス・エドワード・ホフ・ラブにちなんで名付けられたラブ波は、水平偏光表面波です。ラブ波は、片側が弾性半空間に溶接され、もう片側が真空に接している弾性層によって導かれる多数のせん断波（S波）の干渉の結果です。地震学において、ラブ波（ Q波（ドイツ語で「横方向」を意味するQuerとも呼ばれる））は、地震時に地球の水平方向の変位を引き起こす表面地震波です。オーガスタス・エドワード・ホフ・ラブは、1911 年にラブ波の存在を数学的に予測しました。ラブ波は、P 波やS 波（いずれも実体波）やレイリー波（別の種類の表面波）など、他の種類の地震波とは異なる、明確なクラスを形成します。ラブ波は、P 波や S 波よりも速度は遅いですが、レイリー波よりは速いです。これらの波は、高速層／亜高速層の上に低速層が存在する場合にのみ観測される。

ラブ波の粒子運動は、伝播方向に対して垂直な水平線を形成します（つまり、横波です）。物質の深部に向かうにつれて、運動は「節」まで減少し、その後、粒子のより深い層を調べるにつれて、増減を繰り返すことがあります。振幅、つまり粒子運動の最大値は、多くの場合、深さとともに急速に減少します。

ラブ波は地球の表面を伝わるため、地震の深さとともに波の強さ（または振幅）は指数関数的に減少します。しかし、表面に限定されているため、その振幅は、${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$、 どこ${\displaystyle r}$これは、地震発生源から波が伝播した距離を表します。そのため、表面波は、三次元的に伝播する実体波よりも、距離とともにゆっくりと減衰します。大規模な地震では、地球を数周してから消滅するラブ波が発生することがあります。

ラブ波は減衰が非常に遅いため、地震の震源地や震央のすぐ外側では最も破壊的な波となります。地震発生時にほとんどの人が直接感じるのは、このラブ波です。

かつては、猫や犬などの動物が地震を事前に予知できると考えられていた。しかし、実際には、動物は人間よりも地面の振動に敏感で、ラブ波に先行するP波やS波などの微弱な実体波を感知できるだけである。^{[ 1 ]}

線形弾性材料の線形運動量の保存則は次のように表すことができます。^{[ 2 ]}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )=\rho ~{\ddot {\mathbf {u} }}}$$

どこ${\displaystyle \mathbf {u} }$は変位ベクトルであり、${\displaystyle {\mathsf {C}}}$は剛性テンソルです。ラブ波は特殊解です（${\displaystyle \mathbf {u} }$この方程式系を満たすもの。通常、デカルト座標系（${\displaystyle x,y,z}$愛の波を表現するために。

弾性特性がのみの関数である等方性線形弾性媒体を考える${\displaystyle z}$座標、すなわちラメ定数と質量密度は次のように表すことができる。${\displaystyle \lambda (z)、\mu (z)、\rho (z)}$変位${\displaystyle (u,v,w)}$ラブ波によって生成される時間関数（${\displaystyle t}$) は、

${\displaystyle u(x,y,z,t)=0~,~~v(x,y,z,t)={\hat {v}}(x,z,t)~,~~w(x,y,z,t)=0\,.}$

したがってこれらは、${\displaystyle (x,z)}$平面。関数$\displaystyle {\hat {v}}(x,z,t)}$波数が異なる調和波の重ね合わせとして表現できる（${\displaystyle k}$）と周波数（${\displaystyle \omega }$) 単一の調和波、すなわち、

${\displaystyle {\hat {v}}(x,z,t)=V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]}$

どこ${\displaystyle i}$は虚数単位、すなわち${\displaystyle i^{2}=-1}$これらの変位によって生じる応力は

${\displaystyle \sigma _{xx}=0~,~~\sigma _{yy}=0~,~~\sigma _{zz}=0~,~~\tau _{zx}=0~,~~\tau _{yz}=\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\,\exp[i(kx-\omega t)]~,~~\tau _{xy}=ik\mu (z)V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]\,.}$

仮定した変位を運動量保存の式に代入すると、簡略化された式が得られる。

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\right]=[k^{2}\,\mu (z)-\omega ^{2}\,\rho (z)]\,V(k,z,\omega )\,.}$

ラブ波の境界条件は、自由表面における表面牽引力が${\displaystyle (z=0)}$ゼロでなければならない。もう1つの要件は、応力成分が$\displaystyle \tau _{yz}}$層状媒体では、層の界面で連続していなければならない。${\displaystyle V}$2 つの一次方程式に分解すると、この応力成分は次の形式で表されます。

${\displaystyle \tau _{yz}=T(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]}$

運動量保存の一次方程式を得る

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\begin{bmatrix}V\\T\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1/\mu (z)\\k^{2}\,\mu (z)-\omega ^{2}\,\rho (z)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V\\T\end{bmatrix}}\,.}$

上記の式は固有値問題を表しており、その解である固有関数は様々な数値解法によって求めることができます。もう一つの一般的で強力な手法は、プロパゲーター行列法（行列法とも呼ばれる）です。

• 縦波
• 面外せん断

• A.E.H.ラブ著『地質力学のいくつかの問題』は、1911年にケンブリッジ大学出版局から初版が刊行され、1967年に米国ニューヨークのドーバー社から再版された。（第11章：地震波の伝播理論）