変分解析

数学において、変分解析は、凸最適化と古典的な変分法の手法を組み合わせて、より一般的な理論に拡張したものです。^{[1]これには、}一般化導関数などの集合値解析のトピックを含む、最適化理論のより一般的な問題が含まれます。

数学科目分類体系（MSC2010）では、「集合値および変分解析」の分野は「49J53」でコード化されている。^[2]

歴史

この数学の分野には長い歴史があるが、この意味での「変分解析」という用語が最初に使われたのは、R.ティレル・ロカフェラーとロジャー・JB・ウェッツによる同名の本であった。^[1]^{[検証に失敗した]}

最小値の存在

古典的な結果は、コンパクト集合上の下半連続関数は最小値に達するというものである。エケランドの変分原理などの変分解析の結果により、関数に下限があり、関数に小さな摂動を加えるというコストを払う限り、非コンパクト集合上の下半連続関数のこの結果を拡張することができる。滑らかな変分は、ボルワイン・プレス変分原理として知られている。^[3]

一般化された微分

古典的なフェルマーの定理によれば、微分可能関数が一点で最小値に達し、その点がその定義域の内点である場合、その点における微分関数の導関数は必ずゼロになる。滑らかな関数を、他の滑らかな関数がゼロになるという形で表現できる制約の下で最小化しなければならない問題の場合、もう 1 つの古典的な結果であるラグランジュ乗数法によって、関数の導関数に関して必要な条件が与えられる。

これらの古典的な結果のアイデアは、微分の概念を部分微分の概念に一般化することで、微分不可能な凸関数に拡張できます。クラークの一般化勾配などの微分の概念をさらに一般化すると、結果を滑らかでない局所リプシッツ関数に拡張できます。 ^[4]

参照

凸解析 – 凸関数と凸集合の数学
関数解析 – 数学の分野
有向射影幾何学
最適化

引用

^ Rockafellar & Wets 2009より。
^ 「49J53 集合値解析と変分解析」 2010年7月5日。
^ Borwein, JM; Preiss, D. (1987). 「凸関数のサブ微分可能性と微分可能性への応用を伴う滑らかな変分原理」.アメリカ数学会誌. 303 (2): 517–527. doi :10.1090/S0002-9947-1987-0902782-7. hdl : 1959.13/940776 . ISSN 0002-9947.
^ Frank H. Clarke、「最適化と非平滑解析」、SIAM、1990年。

参考文献

R・ティレル・ロッカフェラー;ウェッツ、ロジャー J.-B. (2009 年 6 月 26 日)。変分分析。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 317. ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 9783642024313. OCLC 883392544. https://doi.org/10.1007/978-3-642-02431-3
エケランド、イヴァル; テマム、ロジャー; 凸解析と変分問題 1999 SIAM https://doi.org/10.1137/1.9781611971088
ボルウェイン、ジョナサン M.; チュー、チージ J.; 変分解析のテクニック 2005 シュプリンガー https://doi.org/10.1007/0-387-28271-8

外部リンク

ウィキメディア・コモンズの変分解析に関連するメディア

[FOOTNOTERockafellarWets2009-1] Rockafellar & Wets 2009より。

[2] 「49J53 集合値解析と変分解析」 2010年7月5日。

[3] Borwein, JM; Preiss, D. (1987). 「凸関数のサブ微分可能性と微分可能性への応用を伴う滑らかな変分原理」.アメリカ数学会誌. 303 (2): 517–527. doi :10.1090/S0002-9947-1987-0902782-7. hdl : 1959.13/940776 . ISSN 0002-9947.

[4] Frank H. Clarke、「最適化と非平滑解析」、SIAM、1990年。