クラトフスキーとリル＝ナルゼフスキーの測定可能選択定理

数学において、クラトフスキー・リル・ナルジェフスキーの可測選択定理は、測度論から得られた結果であり、集合値関数が可測選択関数を持つための十分条件を与える。^{[1] [2] [3]} この定理は、ポーランドの数学者カジミエシュ・クラトフスキーとチェスワフ・リル・ナルジェフスキーにちなんで名付けられた。^[4]

この定理から多くの古典的な選択結果が導かれ^{[5] 、}数理経済学や最適制御で広く使われている^[6]。

をポーランド空間、のボレルσ-代数、 可測空間、の空でない閉部分集合の集合に値を取る多関数とします。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle X}$

が弱測定可能であると仮定する。つまり、の任意の開集合に対して、 ${\displaystyle \psi}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \{\omega :\psi (\omega )\cap U\neq \emptyset \}\in {\mathcal {F}}.}$

そして、測定可能な選択が行われます。^[7]${\displaystyle \psi}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$

• 選択定理