差別的包含

数学において、微分包含は、次の形式の 常微分方程式の概念の一般化である。

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),}$

ここで、Fは多値写像、すなわち、F ( t , x )は、内の単一点ではなく集合である。微分包含関係は、微分変分不等式、射影力学系、モローの掃引過程、線形および非線形相補力学系、不連続常微分方程式、スイッチング力学系、ファジィ集合演算など、多くの状況で生じる。^[1]${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

たとえば、クーロン摩擦の基本ルールは、滑りの方向と反対の方向の摩擦力の大きさがμNであるということです。ここで、 Nは法線力、μ は定数 (摩擦係数) です。ただし、滑りがゼロの場合、摩擦力は正しい平面内でμN以下の大きさを持つ任意の力になります。したがって、摩擦力を位置と速度の関数として表すと、設定値関数になります。

微分包含では、右側の集合値写像を取るだけでなく、次のようにして、 に対するユークリッド空間の部分集合を取ることもできます。ととします。私たちの主な目的は、が有界開集合で ある場合に、における微分包含aeを満たす関数を見つけることです。${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n\times n}\setminus \{0\}.}$${\displaystyle W_{0}^{1,\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle u}$${\displaystyle Du\in E}$${\displaystyle \Omega ,}$${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$

存在理論では通常、F ( t ,  x ) はxの上半連続関数でtで測定可能であり、F ( t ,  x ) はすべてのtとxに対して閉じた凸集合であると仮定します。初期値問題の解の存在

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),\quad x(t_{0})=x_{0}}$

十分に小さい時間間隔 [ t ₀、  t ₀  +  ε ) に対して、ε > 0 が成り立ちます。 F が「爆発」を許さない (有限の場合のように)  限り、大域的存在が示されます。${\displaystyle \scriptstyle \Vert x(t)\Vert \,\to \,\infty }$${\displaystyle \scriptstyle t\,\to \,t^{*}}$${\displaystyle \scriptstyle t^{*}}$

非凸F ( t ,  x ) を持つ微分包含の存在理論は活発な研究分野です。

解の一意性は通常、他の条件を必要とします。たとえば、片側リプシッツ条件を満たすとします。 ${\displaystyle F(t,x)}$

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{T}(F(t,x_{1})-F(t,x_{2}))\leq C\Vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}}$

任意のx ₁とx ₂に対して、あるCが成り立つ。すると初期値問題

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),\quad x(t_{0})=x_{0}}$

独自のソリューションがあります。

これは、ミンティとハイム・ブレジスによって開発された最大単調演算子の理論と密接に関連しています。

フィリッポフの理論では導関数 の不連続性のみが許容されるが、状態 の不連続性は許容されない、つまり は連続である必要はない。シャッツマンと後にモロー（現在受け入れられている名前の由来となった人物）は、この概念を測度微分包含（MDI）に拡張した。MDIでは包含はについて上から極限を取ることで評価される。^{[2] [3]}${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t)}$

微分包含は、機械システムのクーロン摩擦やパワーエレクトロニクスの理想スイッチなどで生じる不連続常微分方程式を理解し、適切に解釈するために使用できます。不連続方程式の正則化を研究したAF Filippovによって重要な貢献がなされました。さらに、正則化の手法は、微分ゲームの理論でNN Krasovskiiによって使用されました。

微分包含は、非平滑動的システム（NSDS）解析の基礎にも見られます。^[4]これは、理想化された成分方程式（たとえば、ダイオード特性の急激な指数関数的な順方向およびブレークダウン伝導領域に理想化された直線を使用）を使用したスイッチング電気回路のアナログ研究で使用され、 ^[5]乾燥摩擦を伴うシステムのスティックスリップ振動や衝撃現象のダイナミクスなどの特定の非平滑機械システムの研究にも使用されます。^[6] INRIAのSiconosなど、NSDS システムを解くソフトウェアが存在します。

連続関数において、ファジー概念が微分包含で使用される場合、ファジー微分包含という新しい概念が生まれ、これは大気拡散モデリングや医療画像処理におけるサイバネティクスに応用されます。

• 剛性は、「急カーブ」を持つ関数の常微分方程式/微分代数方程式に影響し、数値収束に影響します。

• Aubin, Jean-Pierre; Cellina, Arrigo (1984)。微分包含、集合値マップおよび実行可能性理論。Grundl. der Math. Wiss. Vol. 264。ベルリン: Springer。ISBN 9783540131052。
• オーバン、ジャンピエール。フランコウスカ、エレーヌ(1990)。設定値分析。ビルクホイザー。ISBN 978-0817648473。
• クラウス・ダイムリング (1992)。多値微分方程式。ウォルター・デ・グルイテル。ISBN 978-3110132120。
• Andres, J.; Górniewicz, Lech (2003).境界値問題のための位相的固定点原理. Springer. ISBN 978-9048163182。
• Filippov, AF (1988)。不連続な右辺を持つ微分方程式。Kluwer Academic Publishers Group。ISBN 90-277-2699-X。