選択定理

関数解析は数学の一分野であり、選択定理とは、与えられた集合値写像から単一値の選択関数が存在することを保証する定理である。選択定理には様々な種類があり、微分包含、最適制御、数理経済学の理論において重要である。^{[ 1 ]}

2 つの集合XとYが与えられたとき、F をXとYからの集合値関数とする。同様に、${\displaystyle F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$これは、 XからYのべき集合への関数です。

関数${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$は、Fの選択であると言われます。

${\displaystyle \forall x\in X:\,\,\,f(x)\in F(x)\,.}$

言い換えれば、元の関数F が複数の値を返す入力xに対して、新しい関数fは単一の値を返す。これは選択関数の特殊なケースである。

選択公理は、選択関数が必ず存在することを示唆していますが、選択関数が連続性や可測性といった「望ましい」性質を持つことがしばしば重要となります。ここで選択定理が役立ちます。選択定理は、関数Fが特定の性質を満たす場合、連続性を持つ、あるいはその他の望ましい性質を持つ選択関数fが存在することを保証します。

マイケルの選択定理^{[ 2 ]}によれば、連続選択が存在するためには、以下の条件が十分条件となる。

• Xはパラコンパクト空間である。
• Yはバナッハ空間である。
• Fは下半連続である。
• Xのすべてのxに対して、集合F ( x ) は空集合ではなく、凸集合であり、閉集合である。

近似選択定理^{[ 3 ]}は次のように述べている。

Xをコンパクトな距離空間、Y をノルムベクトル空間の空でないコンパクトな凸部分集合、Φ: X →とする。${\displaystyle {\mathcal {P}}(Y)}$すべての値がコンパクトかつ凸である多関数。graph(Φ)が閉集合である場合、任意のε > 0に対して、graph( f ) ⊂ [graph(Φ)] _{εとなる連続関数}f  : X → Yが存在する。

ここ、${\displaystyle [S]_{\バレプシロン }}$は${\displaystyle \varepsilon }$-拡張${\displaystyle S}$つまり、半径の和集合-${\displaystyle \varepsilon }$ポイントを中心としたオープンボール${\displaystyle S}$この定理は、連続的な近似選択の存在を示唆している。

連続近似選択の存在に関する別の十分条件のセットは、Deutsch–Kenderovの定理^{[ 4 ]}によって与えられており、その条件はMichaelの定理の条件よりも一般的である（したがって、選択は近似的なものにすぎない）。

• Xはパラコンパクト空間である。
• Yはノルムベクトル空間である。
• Fはほぼ下半連続である、つまり各${\displaystyle x\in X}$各地域について${\displaystyle V}$の${\displaystyle 0}$近隣地域が存在する${\displaystyle U}$の${\displaystyle x}$そのため${\textstyle \bigcap _{u\in U}\{F(u)+V\}\neq \emptyset }$;
• Xのすべてのxに対して、集合F ( x ) は空集合ではなく凸集合である。

後の注釈で、Xuは、Deutsch–Kenderovの定理が以下の場合にも有効であることを証明した。${\displaystyle Y}$は局所凸位相ベクトル空間である。^{[ 5 ]}

ヤネリス・プラバカール選択定理^{[ 6 ]}によれば、連続選択が存在するためには、以下の条件が十分条件となる。

• Xはパラコンパクトハウスドルフ空間である。
• Yは線形位相空間である。
• Xのすべてのxに対して、集合F ( x ) は空集合ではなく凸集合である。
• Yのすべてのyに対して、逆集合F ⁻¹ ( y ) はXの開集合である。

クラトフスキとリル＝ナルジェフスキの可測選択定理によれば、Xがポーランド空間であり、$\displaystyle {\mathcal {B}}}$そのボレルσ代数、${\displaystyle \mathrm {Cl} (X)}$はXの空でない閉部分集合の集合である。${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$は測定可能な空間であり、${\displaystyle F:\Omega \to \mathrm {Cl} (X)}$は$\displaystyle {\mathcal {F}}}$-弱可測写像（つまり、すべての開部分集合に対して）${\displaystyle U\subseteq X}$我々は持っています${\displaystyle \{\omega \in \Omega :F(\omega )\cap U\neq \emptyset \}\in {\mathcal {F}}}$）、それから${\displaystyle F}$選択肢は​${\displaystyle ({\mathcal {F}},{\mathcal {B}})}$-測定可能。^{[ 7 ]}

集合値関数に関するその他の選択定理には、以下のようなものがある。

• ブレッサン・コロンボの方向連続選択定理
• キャスティング表現定理
• フライシュコフスキー分解可能マップ選択
• ヘリーの選択定理
• 零次元マイケル選択定理
• ロバート・オーマンの可測選択定理

• ブラシュケ選択定理
• 最大値定理