第二に数えられる空間

位相幾何学において、第二可算空間（完全分離空間とも呼ばれる）とは、位相が可算基底を持つ位相空間のことである。より具体的には、位相空間とは、${\displaystyle T}$可算集合が存在する場合、それは第二可算である。${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$の開部分集合の${\displaystyle T}$任意の開部分集合${\displaystyle T}$あるサブファミリーの要素の和集合として記述できる${\displaystyle {\mathcal {U}}}$第二可算空間は、可算性の第二公理を満たすと言われます。他の可算性公理と同様に、第二可算であるという性質は、空間が持つことができる開部分集合の数を制限します。

数学における多くの「扱いやすい」空間は、第2可算空間である。例えば、通常の位相を持つユークリッド空間（R ⁿ ）は第2可算空間である。開球の通常の基底は非可算空間であるが、これを半径が有理数で中心座標が有理数であるすべての開球の集合に限定することができる。この限定された集合は可算空間であり、依然として基底を形成する。

第二可算性は第一可算性よりも強い概念である。空間が第一可算であるとは、各点が可算な局所基底を持つ場合をいう。位相の基底と点xが与えられたとき、 x を含むすべての基底集合の集合がxにおける局所基底を形成する。したがって、位相の可算基底があれば、すべての点に可算な局所基底が存在することになり、ゆえにすべての第二可算空間は第一可算空間でもある。しかし、非可算な離散空間は第一可算ではあるが、第二可算ではない。

第二可算性は、他のいくつかの位相的性質を暗示します。具体的には、すべての第二可算空間は可分（可算な稠密部分集合を持つ）であり、リンデレーフ（すべての開被覆が可算な部分被覆を持つ）です。逆の含意は成り立ちません。たとえば、実数直線上の下限位相は第一可算、可分、リンデレーフですが、第二可算ではありません。ただし、距離空間の場合、第二可算、可分、リンデレーフの性質はすべて同値です。^{[ 1 ]} したがって、実数直線上の下限位相は距離化できません。

第二可算空間（例えば距離空間）においては、コンパクト性、逐次コンパクト性、可算コンパクト性はすべて同等の性質である。

ウリゾーンの計量化定理によれば、すべての第二可算なハウスドルフ正則空間は計量化可能である。したがって、そのような空間はすべて完全正規かつパラコンパクトである。第二可算性は位相空間に対するかなり制約的な性質であり、計量化可能性を導くには分離公理のみが必要である。

• 互いに素な可算和集合を考える${\displaystyle X=[0,1]\cup [2,3]\cup [4,5]\cup \dots \cup [2k,2k+1]\cup \dotsb }$区間の左端を同一視することによって、同値関係と商位相を定義します。つまり、0 ~ 2 ~ 4 ~ … ~ 2k などを特定します。Xは、可算な空間の可算な和集合として、可算です。ただし、X /~ は、特定された点の剰余類において第一可算ではないため、可算でもありません。
• 上記の空間は、自明な距離（すなわち、同一区間内の2点間の通常のユークリッド距離と、同一区間外の2点間の左側の点までの距離の合計）を備えた同値類の集合とは同相ではありません。そのため、上記の空間よりも厳密に粗い位相が得られます。これは可分距離空間（有理点の集合を考えてください）であり、したがって第2可算です。
• 長い列は第二可算名詞ではないが、第一可算名詞である。

• スティーブン・ウィラード著『一般トポロジー』（1970年）、アディソン・ウェスリー出版、マサチューセッツ州レディング。
• ジョン・G・ホッキング、ゲイル・S・ヤング（1961）。トポロジー。訂正版、ドーバー出版、1988年 。ISBN 0-486-65676-4