ウリゾーン宇宙空間

ウリゾーン普遍空間は、すべての可分距離空間を特にうまく包含する特定の距離空間です。この数学概念は、パベル・ウリゾーンによるものです。

距離空間( U , d )は、それが可分かつ完全であり、次の性質を持つ とき、ウリゾーン普遍空間^[1]と呼ばれます。

任意の有限距離空間X 、 X内の任意の点x、および任意の等長埋め込みf  : X \{ x } → U が与えられたとき、 f を拡張する等長埋め込みF  : X → U 、つまりX \{ x }内のすべてのyに対してF ( y ) = f ( y )となるような等長埋め込みが存在する。

Uがウリゾーン普遍で、X が任意の可分距離空間である場合、等長埋め込みf : X → Uが存在する。(他の空間もこの特性を共有している。たとえば、上限ノルムを持つすべての有界実数列の空間l ^∞は、すべての可分距離空間の等長埋め込み (「フレシェ埋め込み」) を許容し、上限ノルムを持つすべての連続関数[0,1]→ Rの空間 C[0,1] も同様に許容する。これはステファン・バナッハによる結果である。)

さらに、 Uの有限部分集合間のすべての等長変換は、Uのそれ自体への等長変換に拡張されます。この種の「同次性」は、実際には Urysohn 普遍空間の特徴です。すべての分離可能な計量空間の等長画像を含む分離可能な完全な計量空間は、この意味で同次である場合に限り、Urysohn 普遍空間です。

ウリゾーンは、ウリゾーン普遍空間が存在し、任意の 2 つのウリゾーン普遍空間は等長 であることを証明しました。これは次のようにして確認できます。 、2 つのウリゾーン普遍空間を取ります。これらは可分なので、それぞれの空間に可算な稠密部分集合 を固定します。これらは真に無限でなければならないので、往復の議論によって、定義域 (または値域) に(または) が含まれる部分等長写像を段階的に構築できます。これらの写像の和集合は、定義域または値域がそれぞれの空間で稠密である部分等長写像を定義します。そして、そのような写像は (一意に) 等長写像に拡張されます。なぜなら、ウリゾーン普遍空間は完備であることが要求されるからです。 ${\displaystyle (X,d),(X',d')}$${\displaystyle (x_{n})_{n},(x'_{n})_{n}}$${\displaystyle \phi _{n}:X\to X'}$${\displaystyle \{x_{k}:k<n\}}$${\displaystyle \{x'_{k}:k<n\}}$${\displaystyle \phi :X\to X'}$

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• メンジャー スポンジ § 特性(「メンジャー ユニバーサル カーブ」としても知られています)