シューベルト微積分

数学において、シューベルト計算^{[ 1 ]}は、射影幾何学のさまざまな計数問題を解決するために19世紀にヘルマン・シューベルトによって導入された代数幾何学の一分野であり、そのため、列挙幾何学の一部と見なされています。より厳密な基礎を与えることが、ヒルベルトの第15問題の目的でした。特性クラスなどのいくつかのより現代的な概念と関連しており、そのアルゴリズム的側面と応用は、現在も関心を集めています。シューベルト計算という用語は、ベクトル空間の線形部分空間の列挙幾何学を意味する場合があり、これはグラスマン多様体のコホモロジー環を記述することとほぼ同等です。また、単純リー群の同質空間である代数多様体のより一般的な列挙幾何学を意味する場合もあります。さらに一般的には、シューベルト計算は、一般化コホモロジー理論における類似の問題の研究を含むものと理解されることもあります。

シューベルトによって導入されたオブジェクトはシューベルトセル^{[ 2 ]}であり、これは、与えられたフラグを持つ射影空間内の線形部分空間の入射条件によって定義されるグラスマン多様体内の局所的に閉じた集合である。詳細については、シューベルト多様体を参照のこと。

これらのセルの交差理論[3]は、関連するコホモロジー類からなるグラスマン多様体のコホモロジー環の積構造と見なすことができ、特に^{セルの交差}が有限個の点の集合となる場合を決定することを可能にする。重要な結果は、シューベルトセル（あるいはむしろ、それらのザリスキー閉包のクラス、シューベルトサイクル、またはシューベルト多様体）がコホモロジー環全体を張ることである。

組み合わせ論的な側面は主にシューベルトサイクルの交差を計算する際に生じます。均質空間であるグラスマン多様体から、その上に作用する一般線形群へと移行すると、同様の問題がブルハット分解や放物型部分群（ブロック三角行列として）の分類にも関係してきます。

工事

シューベルト計算は、グラスマン多様体のチャウ環^{[ 3 ]}を用いて構築することができ、生成サイクルは幾何学的に定義されたデータによって表される^[⁴^] 。グラスマン多様体をで表す。 $k$ 固定された平面 $n$ 次元ベクトル空間 $V$ として $\mathbf {Gr} (k,V)$ 、そしてそのチャウリングは $A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))$ （グラスマン多様体は、時として次のように表記されることに注意してください。） $\mathbf {Gr} (k,n)$ ベクトル空間が明示的に与えられていない場合、または $\mathbb {G} (k-1,n-1)$ 周囲の空間 $V$ そしてその $k$ 次元部分空間は射影化によって置き換えられます。）任意の完全フラグの選択

{\mathcal {V}}=(V_{1}\subset \cdots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V),\quad \dim {V}_{i}=i,\quad i=1,\dots ,n,

それぞれ弱く減少する $k$ 整数のタプル $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{k})$ 、どこ

nk\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{k}\geq 0,

すなわち、各重みの分割に対して

{\mathopen {|}}\mathbf {a} {\mathclose {|}}=\sum _{i=1}^{k}a_{i},

ヤング図が適合する $k\times (nk)$ 仕切り用の長方形のもの $(nk)^{k}$ シューベルトの多様性^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}（またはシューベルトサイクル）を関連付けます $\Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} (k,V)$ 定義される

\Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})=\{w\in \mathbf {Gr} (k,V):\dim(V_{n-k+i-a_{i}}\cap w)\geq i{\text{ for }}i=1,\dots ,k\}。

これは、ザリスキ位相におけるシューベルトセルの閉包である^{[ 1 ]}^{[ 2 ]。}

X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}}):=\{w\in \mathbf {Gr} (k,V):\dim(V_{j}\cap w)=i{\text{ for all }}nk-a_{i}+i\leq j\leq nk-a_{i+1}+i,\quad 1\leq j\leq n\}\subset \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}}),

これは、チャウ環の代わりに細胞相同性を考慮する際に使用される。後者は互いに素なアフィン空間であり、次元は $|\mathbf {a} |$ その組合は $\mathbf {Gr} (k,V)$ 。

シューベルトセルの同等の特性評価 $X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})$ 双対完全フラグの観点から与えられる可能性がある

{\tilde {\mathcal {V}}}=({\tilde {V}}_{1}\subset {\tilde {V}}_{2}\cdots \subset {\tilde {V}}_{n}=V),

どこ

{\tilde {V}}_{i}:=V_{n}\backslash V_{ni},\quad i=1,\dots ,n\quad (V_{0}:=\emptyset ).

それから $X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} (k,V)$ それらから成る $k$ 次元部分空間 $w\subset V$ 根拠がある $({\チルダ {W}}_{1},\ドット ,{\チルダ {W}}_{k})$ 要素から構成される

{\tilde {W}}_{i}\in {\tilde {V}}_{k+a_{i}-i+1},\quad i=1,\dots ,k

部分空間の $\{{\tilde {V}}_{k+a_{i}-i+1}\}_{i=1,\dots ,k}.$

ホモロジークラス以来 $[\Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})]\in A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))$ シューベルトクラスと呼ばれるものは、完全なフラグの選択に依存しない ${\mathcal {V}}$ 次のように書くことができます。

\sigma _{\mathbf {a} }:=[\Sigma _{\mathbf {a} }]\in A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V)).

これらのクラスは線形独立であり、その線形スパンとしてチャウ環を生成することが示せる。関連する交差理論はシューベルト計算と呼ばれる。与えられた数列に対して $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)$ と $a_{j}>0$ シューベルトクラス $\sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}$ 通常は単に表記される $\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j})}}$ 単一の整数で与えられるシューベルトクラス $\displaystyle \sigma _{a_{1}}}$ （つまり水平分割）は特殊クラスと呼ばれます。以下のジャンベリの公式を使用すると、これらの特殊クラスからすべてのシューベルトクラスを生成できます。

その他の表記規則

いくつかの資料では、^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}シューベルト細胞 $X_{\mathbf {a} }$ シューベルトの変種 $\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}$ ラベルが異なるため、 $S_{\lambda }$ そして $\displaystyle {\bar {S}}_{\lambda }}$ それぞれ、 $\lambda$ は、 $\mathbf {a}$ 部品付き

\lambda _{i}:=nk-a_{k-i+1}

、

そのヤング図は、 $\mathbf {a}$ 内部で $k\times (nk)$ 長方形のもの（水平方向と垂直方向の両方が反転したもの）。

別のラベル付け規則 $X_{\mathbf {a} }$ そして $\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}$ は $C_{L}$ そして ${\bar {C}}_{L}$ それぞれ、 $L=(L_{1},\dots ,L_{k})\subset (1,\dots ,n)$ は、によって定義されるマルチインデックスです。

L_{i}:=nk-a_{i}+i=\lambda _{k-i+1}+i.

整数 $(L_{1},\dots ,L_{k})$ 要素の表現のピボット位置は $X_{\mathbf {a} }$ 簡約行列階段形で。

説明

定義を説明するために、一般的な例を考えてみましょう。 $k$ -飛行機 $w\subset V$ と交差する点がゼロになるだけです $V_{j}$ のために $j\leq nk$ 、一方

\dim(V_{j}\cap w)=i

のために

j=n-k+i\geq nk.

例えば、 $\mathbf {Gr} (4,9)$ 、 $4$ -飛行機 $w$ これは、5 つの独立した同次線形方程式系の解空間です。これらの方程式は、部分空間に制限すると一般的に張られます。 $V_{j}$ と $j=\dim V_{j}\leq 5=9-4$ この場合、解空間（ $V_{j}$ と $w$ ) はゼロベクトルのみで構成されます。ただし、 $\dim(V_{j})+\dim(w)>n=9$ 、 $V_{j}$ そして $w$ 必ず非ゼロの交差を持つ。たとえば、の交差の期待される次元は $V_{6}$ そして $w$ は $1$ の交差点 $V_{7}$ そして $w$ 期待される寸法を持つ $2$ 、等々。

シューベルト変種の定義は、 $j$ と $\dim(V_{j}\cap w)\geq i$ 一般的に期待値よりも小さい $n-k+i$ パラメータによって $a_{i}$ . $k$ 飛行機 $w\subset V$ これらの制約によって与えられたものは、特別なサブバリアントを定義します。 $\mathbf {Gr} (k,n)$ [ ⁴^]

物件

インクルージョン

すべてのものには部分順序があります $k$ -タプル $\mathbf {a} \geq \mathbf {b}$ もし $a_{i}\geq b_{i}$ すべての $i$ これにより、シューベルトの変奏曲が含まれることになる。

\Sigma _{\mathbf {a} }\subset \Sigma _{\mathbf {b} }\iff \mathbf {a} \geq \mathbf {b} ,

指標の増加は、亜品種のさらなる専門化に対応している。

次元式

シューベルトの変奏曲 $\Sigma _{\mathbf {a} }$ 重みと同じ余次元を持つ

{\mathopen {|}}\mathbf {a} {\mathclose {|}}=\sum a_{i}

パーティションの $\mathbf {a}$ あるいは、表記規則では $S_{\lambda }$ 上記の通り、その寸法は $\mathbf {Gr} (k,n)$ 重さは

{\mathopen {|}}\lambda {\mathclose {|}}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}=k(n-k)-{\mathopen {|}}\mathbf {a} {\mathclose {|}}.

補完的分割の $\lambda \subset (n-k)^{k}$ で $k\times (n-k)$ 次元長方形ヤング図。

これはグラスマン多様体の包含の下で安定している。つまり、包含

i_{(k,n)}:\mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})\hookrightarrow \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n+1}),\quad \mathbf {C} ^{n}={\text{span}}\{e_{1},\dots ,e_{n}\}

定義済み、 $w\in \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})$ 、による

i_{(k,n)}:w\subset \mathbf {C} ^{n}\mapsto w\subset \mathbf {C} ^{n}\oplus \mathbf {C} e_{n+1}=\mathbf {C} ^{n+1}

不動産を所有する

i_{(k,n)}^{*}(\sigma _{\mathbf {a} })=\sigma _{\mathbf {a} },

そしてその包含

{\tilde {i}}_{(k,n)}:\mathbf {Gr} (k,n)\hookrightarrow \mathbf {Gr} (k+1,n+1)

追加の基底要素を加えることによって定義される $e_{n+1}$ それぞれに $k$ -平面、 $(k+1)$ -飛行機、

{\tilde {i}}_{(k,n)}:w\mapsto w\oplus \mathbf {C} e_{n+1}\subset \mathbf {C} ^{n}\oplus \mathbf {C} e_{n+1}=\mathbf {C} ^{n+1}

同じように

{\tilde {i}}_{(k,n)}^{*}(\sigma _{\mathbf {a} })=\sigma _{\mathbf {a} }.

したがって、もし $X_{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{k}(n)$ そして $\Sigma _{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{k}(n)$ グラスマン亜科の細胞および亜変種である $\mathbf {Gr} _{k}(n)$ 細胞と見なすこともできる $X_{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})$ そして亜種 $\Sigma _{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})$ グラスマン期内 $\mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})$ 任意のペアに対して $({\tilde {k}},{\tilde {n}})$ と ${\tilde {k}}\geq k$ そして ${\tilde {n}}-{\tilde {k}}\geq n-k$ 。

交差積

交差積は、ピエリとジャンベリの公式を用いて最初に確立された。

ピエリ式

特別な場合 $\mathbf {b} =(b,0,\ldots ,0)$ 積の明示的な公式がある $\sigma _{b}$ 任意のシューベルトクラス $\sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}$ によって与えられた

\sigma _{b}\cdot \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}=\sum _{\begin{matrix}{\mathopen {|}}c{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}a{\mathclose {|}}+b\\a_{i}\leq c_{i}\leq a_{i-1}\end{matrix}}\sigma _{\mathbf {c} },

どこ ${\mathopen {|}}\mathbf {a} {\mathclose {|}}=a_{1}+\cdots +a_{k}$ 、 $|\mathbf {c} |=c_{1}+\cdots +c_{k}$ は分割の重みです。これはピエリの公式と呼ばれ、ジャンベリの公式と組み合わせることで、任意の 2 つのシューベルトクラスの積積を決定するために使用できます。たとえば、

\sigma _{1}\cdot \sigma _{4,2,1}=\sigma _{5,2,1}+\sigma _{4,3,1}+\sigma _{4,2,1,1}.

そして

\sigma _{2}\cdot \sigma _{4,3}=\sigma _{4,3,2}+\sigma _{4,4,1}+\sigma _{5,3,1}+\sigma _{5,4}+\sigma _{6,3}

ジャンベリの公式

シューベルトの授業 $\sigma _{\mathbf {a} }$ 任意の長さのパーティションに対して $\ell (\mathbf {a} )\leq k$ は、 $(k\times k)$ 特殊クラスをエントリとして持つ行列。

\sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{k})}={\begin{vmatrix}\sigma _{a_{1}}&\sigma _{a_{1}+1}&\sigma _{a_{1}+2}&\cdots &\sigma _{a_{1}+k-1}\\\sigma _{a_{2}-1}&\sigma _{a_{2}}&\sigma _{a_{2}+1}&\cdots &\sigma _{a_{2}+k-2}\\\sigma _{a_{3}-2}&\sigma _{a_{3}-1}&\sigma _{a_{3}}&\cdots &\sigma _{a_{3}+k-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{a_{k}-k+1}&\sigma _{a_{k}-k+2}&\sigma _{a_{k}-k+3}&\cdots &\sigma _{a_{k}}\end{vmatrix}}

これはジャンベリの公式として知られています。これは、任意のシュール関数を表す ヤコビ・トルーディの第一恒等式と同じ形式です。 $s_{\mathbf {a} }$ 完全対称関数による行列式として $\{h_{j}:=s_{(j)}\}$ 。

例えば、

\sigma _{2,2}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}\\\sigma _{1}&\sigma _{2}\end{vmatrix}}=\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{3}

そして

\sigma _{2,1,1}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}\\\sigma _{0}&\sigma _{1}&\sigma _{2}\\0&\sigma _{0}&\sigma _{1}\end{vmatrix}}.

一般的なケース

シューベルトクラスの任意のペア間の積 $\sigma _{\mathbf {a} },\sigma _{\mathbf {b} }$ は

\sigma _{\mathbf {a} }\sigma _{\mathbf {b} }=\sum _{\mathbf {c} }c_{\mathbf {a} \mathbf {b} }^{\mathbf {c} }\sigma _{\mathbf {c} },

どこ $\{c_{\mathbf {a} \mathbf {b} }^{\mathbf {c} }\}$ はリトルウッド・リチャードソン係数である。^{[ 5 ]}ピエリの公式は、この特殊なケースであり、 $\mathbf {b} =(b,0,\dots ,0)$ 長さがあります $\ell (\mathbf {b} )=1$ 。

チャーンクラスとの関係

グラスマン多様体のコホモロジー環、またはチャウ環は簡単に説明できる。 $\mathbf {Gr} (k,V)$ 2 つの自然ベクトル束のチャーンクラスを使用して $\mathbf {Gr} (k,V)$ 我々は、ベクトル束の正確なシーケンスを持っています。 $\mathbf {Gr} (k,V)$

0\to T\to {\underline {V}}\to Q\to 0

どこ $T$ は、任意の要素上のファイバーを持つ同義束である。 $w\in \mathbf {Gr} (k,V)$ 部分空間は $w\subset V$ 自体、 $\,{\underline {V}}:=\mathbf {Gr} (k,V)\times V$ はランクの自明なベクトル束である $n$ 、と $V$ 繊維として、 $Q$ はランクの商ベクトル束である $n-k$ 、と $V/w$ 繊維として。束のチャーンクラス $T$ そして $Q$ は

c_{i}(T)=(-1)^{i}\sigma _{(1)^{i}},

どこ $(1)^{i}$ は、ヤング図が長さの単一の列で構成される分割である。 $i$ そして

c_{i}(Q)=\sigma _{i}.

トートロジー系列は、チャウ環の表現を次のように与える。

A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))={\frac {\mathbb {Z} [c_{1}(T),\ldots ,c_{k}(T),c_{1}(Q),\ldots ,c_{n-k}(Q)]}{(c(T)c(Q)-1)}}.

Gr(2,4)

分析された古典的な例の1つはグラスマン多様体である。 $\mathbf {Gr} (2,4)$ パラメータ化された行では $\mathbb {P} ^{3}$ チャウリングを使用する $A^{*}(\mathbf {Gr} (2,4))$ シューベルト計算は、立方体表面上の線の数を計算するために使用できます。^{[ 4 ]}

チャウリング

チャウリングにはプレゼンテーションがあります

A^{*}(\mathbf {Gr} (2,4))={\frac {\mathbb {Z} [\sigma _{1},\sigma _{1,1},\sigma _{2}]}{((1-\sigma _{1}+\sigma _{1,1})(1+\sigma _{1}+\sigma _{2})-1)}}

そして次数付きアーベル群^{[ 6 ]}として、それは次のように与えられる。

{\begin{aligned}A^{0}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot 1\\A^{2}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{1}\\A^{4}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2}\oplus \mathbb {Z} \cdot \sigma _{1,1}\\A^{6}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,1}\\A^{8}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,2}\\\end{aligned}}

立方体表面上の線

線を思い出してください $\mathbb {P} ^{3}$ 次元を与える $2$ 部分空間 $\mathbb {A} ^{4}$ したがって、 $\mathbb {G} (1,3)\cong \mathbf {Gr} (2,4)$ また、直線の式は、 $\Gamma (\mathbb {G} (1,3),T^{*})$ 立方体の表面なので $X$ は一般的な同次三次多項式として与えられ、これは一般的なセクションとして与えられます $s\in \Gamma (\mathbb {G} (1,3),{\text{Sym}}^{3}(T^{*}))$ 線 $L\subset \mathbb {P} ^{3}$ は、 $X$ セクションが消滅する場合に限り $[L]\in \mathbb {G} (1,3)$ したがって、オイラークラスは ${\text{Sym}}^{3}(T^{*})$ 統合可能 $\mathbb {G} (1,3)$ 一般セクションが消えるポイントの数を取得する $\mathbb {G} (1,3)$ オイラークラスを取得するには、チャーンクラスの合計は $T^{*}$ 計算する必要があり、それは次のように与えられます。

c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}

分割式は次の形式方程式となる。

{\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+\alpha +\beta +\alpha \cdot \beta \end{aligned}},

どこ $c({\mathcal {L}})=1+\alpha$ そして $c({\mathcal {M}})=1+\beta$ 正式なラインバンドル用 ${\mathcal {L}},{\mathcal {M}}$ 分割方程式は次の関係式を与える。

\sigma _{1}=\alpha +\beta

そして

\sigma _{1,1}=\alpha \cdot \beta

。

以来 ${\text{Sym}}^{3}(T^{*})$ 形式線束の直接和として見なすことができる

{\text{Sym}}^{3}(T^{*})={\mathcal {L}}^{\otimes 3}\oplus ({\mathcal {L}}^{\otimes 2}\otimes {\mathcal {M}})\oplus ({\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}}^{\otimes 2})\oplus {\mathcal {M}}^{\otimes 3}

その合計のChernクラスは

c({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))=(1+3\alpha )(1+2\alpha +\beta )(1+\alpha +2\beta )(1+3\beta ),

したがって、

{\begin{aligned}c_{4}({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))&=3\alpha (2\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )3\beta \\&=9\alpha \beta (2(\alpha +\beta )^{2}+\alpha \beta )\\&=9\sigma _{1,1}(2\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=27\sigma _{2,2}\,,\end{aligned}}

事実を利用して

\sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2,1}\sigma _{1}=\sigma _{2,2}

そして

\sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1,1}=\sigma _{2,2}.

以来 $\sigma _{2,2}$ が最上位クラスである場合、積分は次のようになります。

\int _{\mathbb {G} (1,3)}27\sigma _{2,2}=27.

したがって、 $27$ 立方体の表面上の線。

参考文献

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[:0-4] 1 2 3 3264 とその他すべて(PDF)。132 ページ、セクション 4.1、200 ページ、セクション 6.2.1。

[Fu2-5] フルトン、ウィリアム(1997).ヤング・タブロー。表現論と幾何学への応用、第 5 章。ロンドン数学会学生テキスト。第 35 巻。ケンブリッジ、英国: ケンブリッジ大学出版局。doi : 10.1017/ CBO9780511626241。ISBN 9780521567244。

[6] カッツ、シェルドン。『列挙幾何学と弦理論』96ページ。

[ 1 ]

[ 2 ]

セルの交差

[ 5 ]

[ 6 ]

シューベルト微積分

工事

その他の表記規則

説明

物件

インクルージョン

次元式

交差積

ピエリ式

ジャンベリの公式

一般的なケース

チャーンクラスとの関係

Gr(2,4)

チャウリング

立方体表面上の線

関連項目

参考文献

関連するトピック

数学

は、射影

ヘルマン・シューベルトによって導入された

代数幾何学