数学における対称多項式の種類
数学 において 、 シューア多項式は、 イサイ・シューア にちなんで名付けられた、 分割によってインデックス付けされた n 変数 の 特定の 対称多項式 であり、 初等対称多項式 と 完全同次対称多項式 を一般化します。 表現論 では、シューア多項式は 一般線型群 の多項式 既約表現 の指標です。シューア多項式は、すべての対称多項式の空間の 線型基底 を形成します。シューア多項式の積は、非負の整数係数を持つシューア多項式の線型結合として表すことができます。これらの係数の値は、 リトルウッド-リチャードソン規則 によって組み合わせ的に与えられます。より一般的には、 歪んだシューア多項式は 分割のペアに関連付けられ、シューア多項式と同様の特性を持ちます。
シューア多項式は整数分割 によってインデックス付けされます 。分割 λ = ( λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) が与えられ、ここで λ 1 ≥ λ 2 ≥ ... ≥ λ n であり、各 λ j は 非負の整数であるとすると、次の関数は次のようになります。
1つの
（
λ
1
+ ん − 1 、
λ
2
+ ん − 2 、 … 、
λ
ん
）
（
x
1
、
x
2
、 … 、
x
ん
） = 詳細
[
x
1
λ
1
+ ん − 1
x
2
λ
1
+ ん − 1
…
x
ん
λ
1
+ ん − 1
x
1
λ
2
+ ん − 2
x
2
λ
2
+ ん − 2
…
x
ん
λ
2
+ ん − 2
⋮
⋮
⋱
⋮
x
1
λ
ん
x
2
λ
ん
…
x
ん
λ
ん
]
{\displaystyle a_{(\lambda _{1}+n-1,\lambda _{2}+n-2,\dots ,\lambda _{n})}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{\lambda _{1}+n-1}&x_{2}^{\lambda _{1}+n-1}&\dots &x_{n}^{\lambda _{1}+n-1}\\x_{1}^{\lambda _{2}+n-2}&x_{2}^{\lambda _{2}+n-2}&\dots &x_{n}^{\lambda _{2}+n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{\lambda _{n}}&x_{2}^{\lambda _{n}}&\dots &x_{n}^{\lambda _{n}}\end{matrix}}\right]}
は、行列式 の性質により 交代多項式 です。 変数の
任意の 転置 によって符号が変わる場合、多項式は交代多項式です。
これらは交代行列式なので、すべてヴァンデルモンド行列 式で割り切れる。
シューア多項式は、比として定義される。
1つの
（ ん − 1 、 ん − 2 、 … 、 0 ）
（
x
1
、
x
2
、 … 、
x
ん
） = 詳細
[
x
1
ん − 1
x
2
ん − 1
…
x
ん
ん − 1
x
1
ん − 2
x
2
ん − 2
…
x
ん
ん − 2
⋮
⋮
⋱
⋮
1
1
…
1
]
=
∏
1 ≤ じ < け ≤ ん
（
x
じ
−
x
け
） 。
{\displaystyle a_{(n-1,n-2,\dots ,0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&\dots &x_{n}^{n-1}\\x_{1}^{n-2}&x_{2}^{n-2}&\dots &x_{n}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&1&\dots &1\end{matrix}}\right]=\prod _{1\leq j<k\leq n}(x_{j}-x_{k}).}
s
λ
（
x
1
、
x
2
、 … 、
x
ん
） =
1つの
（
λ
1
+ ん − 1 、
λ
2
+ ん − 2 、 … 、
λ
ん
+ 0 ）
（
x
1
、
x
2
、 … 、
x
ん
）
1つの
（ ん − 1 、 ん − 2 、 … 、 0 ）
（
x
1
、
x
2
、 … 、
x
ん
）
。
{\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{(\lambda _{1}+n-1,\lambda _{2}+n-2,\dots ,\lambda _{n}+0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}{a_{(n-1,n-2,\dots ,0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}}.}
これはヤコビ の 双交代公式 として知られています。これは ワイル指標公式 の特殊なケースです 。
これは、分子と分母が両方とも交代であるため対称関数であり、すべての交代多項式がヴァンデルモンド行列式で割り切れるため多項式です。
プロパティ n変数の d 次 シュア多項式は、 n変数の同次 d 次対称多項式 の空間の線型基底である 。分割 λ = ( λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) の場合、シュア多項式は単項式の和である。
s
λ
（
x
1
、
x
2
、 … 、
x
ん
） =
∑
T
x
T
=
∑
T
x
1
t
1
⋯
x
ん
t
ん
{\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{T}x^{T}=\sum _{T}x_{1}^{t_{1}}\cdots x_{n}^{t_{n}}}
ここで、合計は、 形状 λ のすべての半標準ヤング表 T について行われます。指数 t 1 、...、 t n は T の重みを示します 。言い換えると、各 t i は T 内の数 i の出現回数をカウントします。これは 、Lindström–Gessel–Viennot の補題 (そのページで概説されているように)を使用して、 最初の Giambelli の公式 の定義と同等であることが示されます 。
シューア多項式は、コストカ数 と呼ばれる 非負整数係数 K λμ を持つ単項式対称関数 m μ の線形結合として表現できます 。
s
λ
=
∑
μ
け
λ μ
メートル
μ
。
{\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }m_{\mu }.\ }
コストカ数 K λμ は、形状λ 、重さ μ の半標準ヤング図の数によって与えられます 。
ヤコビ−トゥルディ恒等式 最初 のヤコビ−トルディ公式は、 シューア多項式を 完全同次対称多項式 の行列式として表現する。
s
λ
= 詳細 （
h
λ
私
+ じ − 私
）
私 、 じ = 1
l （ λ ）
= 詳細
[
h
λ
1
h
λ
1
+ 1
…
h
λ
1
+ ん − 1
h
λ
2
− 1
h
λ
2
…
h
λ
2
+ ん − 2
⋮
⋮
⋱
⋮
h
λ
ん
− ん + 1
h
λ
ん
− ん + 2
…
h
λ
ん
]
、
{\displaystyle s_{\lambda }=\det(h_{\lambda _{i}+ji})_{i,j=1}^{l(\lambda )}=\det \left[{\begin{matrix}h_{\lambda _{1}}&h_{\lambda _{1}+1}&\dots &h_{\lambda _{1}+n-1}\\h_{\lambda _{2}-1}&h_{\lambda _{2}}&\dots &h_{\lambda _{2}+n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\h_{\lambda _{n}-n+1}&h_{\lambda _{n}-n+2}&\dots &h_{\lambda _{n}}\end{matrix}}\right],}
ここで h i := s ( i ) 。 [1]
2番目のヤコビ-トルディ公式は、 シューア 多項式を 基本対称多項式 の行列式として表現します。
s
λ
= 詳細 （
e
λ
私
′
+ じ − 私
）
私 、 じ = 1
l （
λ ′
）
= 詳細
[
e
λ
1
′
e
λ
1
′
+ 1
…
e
λ
1
′
+ l − 1
e
λ
2
′
− 1
e
λ
2
′
…
e
λ
2
′
+ l − 2
⋮
⋮
⋱
⋮
e
λ
l
′
− l + 1
e
λ
l
′
− l + 2
…
e
λ
l
′
]
、
{\displaystyle s_{\lambda }=\det(e_{\lambda '_{i}+ji})_{i,j=1}^{l(\lambda ')}=\det \left[{\ begin{matrix}e_{\lambda '_{1}}&e_{\lambda '_{1}+1}&\dots &e_{\lambda '_{1}+l-1}\\e_{\lambda '_{2}-1}&e_{\lambda '_{2}}&\dots &e_{\lambda '_{2}+l-2 }\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\e_{\lambda '_{l}-l+1}&e_{\lambda '_{l}-l+2}&\dots &e_{\lambda '_{l}}\end{matrix}}\right],}
ここで e i := s (1 i )
であり λ'は λ への共役分割である 。 [2]
どちらの恒等式でも、負の添え字を持つ関数はゼロとして定義されます。
ジャンベッリのアイデンティティ もう一つの行列式の恒等式は ジャンベリの公式であり、これは任意の分割に対するシュアー関数をヤング図に含まれる フック分割 に対するシュアー関数で表すものである 。フロベニウスの表記法では、分割は次のように表される。
（
1つの
1
、 … 、
1つの
r
∣
b
1
、 … 、
b
r
）
{\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{r}\mid b_{1},\ldots ,b_{r})}
ここで、位置ii の各対角要素について 、 a i は 同じ行の右側にあるボックスの数を示し、 b i は 同じ列のその下のボックスの数（それぞれ 腕 と 脚の 長さ）を示します。
ジャンベリ 恒等式は、 この分割に対応するシュアー関数を行列式として表す。
s
（
1つの
1
、 … 、
1つの
r
∣
b
1
、 … 、
b
r
）
= 詳細 （
s
（
1つの
私
∣
b
じ
）
）
{\displaystyle s_{(a_{1},\ldots ,a_{r}\mid b_{1},\ldots ,b_{r})}=\det(s_{(a_{i}\mid b_{j})})}
フックパーティション用のもの。
コーシー恒等式 シューア関数（ここでは無限変数）のコーシー恒等式とその双対状態
∑
λ
s
λ
（ x ）
s
λ
（ ええ ） =
∑
λ
メートル
λ
（ x ）
h
λ
（ ええ ） =
∏
私 、 じ
（ 1 −
x
私
ええ
じ
）
− 1
、
{\displaystyle \sum _{\lambda }s_{\lambda }(x)s_{\lambda }(y)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }(x)h_{\lambda }(y)=\prod _{i,j}(1-x_{i}y_{j})^{-1},}
そして
∑
λ
s
λ
（ x ）
s
λ ′
（ ええ ） =
∑
λ
メートル
λ
（ x ）
e
λ
（ ええ ） =
∏
私 、 じ
（ 1 +
x
私
ええ
じ
） 、
{\displaystyle \sum _{\lambda }s_{\lambda }(x)s_{\lambda '}(y)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }(x)e_{\lambda }(y)=\prod _{i,j}(1+x_{i}y_{j}),}
ここで、和はすべての分割λ にわたって取られます 。、および は 、それぞれ 完全対称関数 と 基本対称関数 を表します。和が 変数 のシューア多項式の積にわたって取られる場合 、和には長さ の分割のみが含まれます 。そうでない場合、シューア多項式は消えてしまうためです。
h
λ
(
x
)
{\displaystyle h_{\lambda }(x)}
e
λ
(
x
)
{\displaystyle e_{\lambda }(x)}
n
{\displaystyle n}
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}
ℓ
(
λ
)
≤
n
{\displaystyle \ell (\lambda )\leq n}
これらの恒等式は、他の対称関数の族にも一般化されています。たとえば、マクドナルド多項式、シューベルト多項式、グロタンディーク多項式は、コーシーのような恒等式を許容します。
さらなるアイデンティティ シューア多項式は、ホール・リトルウッド多項式 の公式を特殊化することでも計算できる 。
s
λ
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∑
w
∈
S
n
/
S
n
λ
w
(
x
λ
∏
λ
i
>
λ
j
x
i
x
i
−
x
j
)
{\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\sum _{w\in S_{n}/S_{n}^{\lambda }}w\left(x^{\lambda }\prod _{\lambda _{i}>\lambda _{j}}{\frac {x_{i}}{x_{i}-x_{j}}}\right)}
ここで、は
すべての i に対してとなるような順列のサブグループであり 、 w は インデックスを順列化することによって変数に作用します。
S
n
λ
{\displaystyle S_{n}^{\lambda }}
λ
w
(
i
)
=
λ
i
{\displaystyle \lambda _{w(i)}=\lambda _{i}}
マーナガン・ナカヤマルール マーナガン ・中山則は、 べき乗和対称関数とシューア多項式の積をシューア多項式で表す。
p
r
⋅
s
λ
=
∑
μ
(
−
1
)
h
t
(
μ
/
λ
)
+
1
s
μ
{\displaystyle p_{r}\cdot s_{\lambda }=\sum _{\mu }(-1)^{ht(\mu /\lambda )+1}s_{\mu }}
ここで、合計はすべてのパーティション μ にわたっており、 μ / λ はサイズ r のリムフックであり 、 ht ( μ / λ ) は図 μ / λ の行数です 。
リトル ウッド・リチャードソン係数は、3つの 分割 、例えば に依存し 、 その とは 乗算されるシュアー関数を記述し、これが線形結合の係数であるシュアー関数を与える。言い換えれば、それらは 次のような
係数である。
λ
,
μ
,
ν
{\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu }
λ
{\displaystyle \lambda }
μ
{\displaystyle \mu }
ν
{\displaystyle \nu }
c
λ
,
μ
ν
{\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}
s
λ
s
μ
=
∑
ν
c
λ
,
μ
ν
s
ν
.
{\displaystyle s_{\lambda }s_{\mu }=\sum _{\nu }c_{\lambda ,\mu }^{\nu }s_{\nu }.}
リトルウッド・リチャードソンの規則によれば、 は、 歪んだ形状 および重さ のリトルウッド・リチャードソンの表の数に等しいとされます 。
c
λ
,
μ
ν
{\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}
ν
/
λ
{\displaystyle \nu /\lambda }
μ
{\displaystyle \mu }
ピエリの公式は リトルウッド-リチャードソン則の特殊なケースであり、積を シュア多項式で表します。双対バージョンは シュア多項式で表します。
h
r
s
λ
{\displaystyle h_{r}s_{\lambda }}
e
r
s
λ
{\displaystyle e_{r}s_{\lambda }}
専門分野 シューア多項式 s λ を (1, 1, ..., 1) で評価すると 、 1, 2, ..., n の要素を持つ、形状 λ の半標準ヤング図の個数が得られます。 たとえば、
ワイル特性公式を 使用して、次のことを示すことができます。
この式では、 ヤング図の各行の幅を示す組 λは、長さが nになるまで暗黙的にゼロで拡張されます。要素 λ i の合計は d です。固定 λ に対して同じ量を計算する フックの長さの公式 も参照してください 。
s
λ
(
1
,
1
,
…
,
1
)
=
∏
1
≤
i
<
j
≤
n
λ
i
−
λ
j
+
j
−
i
j
−
i
.
{\displaystyle s_{\lambda }(1,1,\dots ,1)=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}.}
例 次の拡張例はこれらの考えを明確にするのに役立つだろう。n = 3、 d = 4の場合を考えてみよう。フェラー図または他の方法を使用すると、4を最大3つの部分に分割する方法は4つしかないことがわかる。
s
(
2
,
1
,
1
)
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
1
Δ
det
[
x
1
4
x
2
4
x
3
4
x
1
2
x
2
2
x
3
2
x
1
x
2
x
3
]
=
x
1
x
2
x
3
(
x
1
+
x
2
+
x
3
)
{\displaystyle s_{(2,1,1)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\;\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{matrix}}\right]=x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,(x_{1}+x_{2}+x_{3})}
s
(
2
,
2
,
0
)
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
1
Δ
det
[
x
1
4
x
2
4
x
3
4
x
1
3
x
2
3
x
3
3
1
1
1
]
=
x
1
2
x
2
2
+
x
1
2
x
3
2
+
x
2
2
x
3
2
+
x
1
2
x
2
x
3
+
x
1
x
2
2
x
3
+
x
1
x
2
x
3
2
{\displaystyle s_{(2,2,0)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\;\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{3}&x_{2}^{3}&x_{3}^{3}\\1&1&1\end{matrix}}\right]=x_{1}^{2}\,x_{2}^{2}+x_{1}^{2}\,x_{3}^{2}+x_{2}^{2}\,x_{3}^{2}+x_{1}^{2}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}^{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}^{2}}
以下同様で、 は ヴァンデルモンド行列式 です 。まとめると、
Δ
{\displaystyle \Delta }
a
(
2
,
1
,
0
)
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
{\displaystyle a_{(2,1,0)}(x_{1},x_{2},x_{3})}
s
(
2
,
1
,
1
)
=
e
1
e
3
{\displaystyle s_{(2,1,1)}=e_{1}\,e_{3}}
s
(
2
,
2
,
0
)
=
e
2
2
−
e
1
e
3
{\displaystyle s_{(2,2,0)}=e_{2}^{2}-e_{1}\,e_{3}}
s
(
3
,
1
,
0
)
=
e
1
2
e
2
−
e
2
2
−
e
1
e
3
{\displaystyle s_{(3,1,0)}=e_{1}^{2}\,e_{2}-e_{2}^{2}-e_{1}\,e_{3}}
s
(
4
,
0
,
0
)
=
e
1
4
−
3
e
1
2
e
2
+
2
e
1
e
3
+
e
2
2
.
{\displaystyle s_{(4,0,0)}=e_{1}^{4}-3\,e_{1}^{2}\,e_{2}+2\,e_{1}\,e_{3}+e_{2}^{2}.}
3変数の4次対称同次多項式はすべて、これら4つのシューア多項式の一意の線形結合 として表現でき、この結合は適切な消去順序の グレブナー基底 を使用して再び見つけることができます 。たとえば、
ϕ
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
x
1
4
+
x
2
4
+
x
3
4
{\displaystyle \phi (x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}}
は明らかに4次の同次対称多項式であり、
ϕ
=
s
(
2
,
1
,
1
)
−
s
(
3
,
1
,
0
)
+
s
(
4
,
0
,
0
)
.
{\displaystyle \phi =s_{(2,1,1)}-s_{(3,1,0)}+s_{(4,0,0)}.\,\!}
表現論との関係 シューア多項式は、 対称群 、 一般線型群 、 ユニタリ群 の表現論で登場します。 ワイル指標公式は、 シューア多項式が一般線型群の有限次元既約表現の指標であることを意味し、シューアの研究を他のコンパクトおよび半単純 リー群 に一般化するのに役立ちます。
この関係式にはいくつかの表現式があるが、最も重要なのは、 対称べき関数による シュアー関数 sλ の展開である。χ
p
k
=
∑
i
x
i
k
{\displaystyle p_{k}=\sum _{i}x_{i}^{k}}
λρ 分割λでインデックス付けされた対称群の表現の指標を分割ρでインデックス付けされたサイクル型の要素で評価すると、
s
λ
=
∑
ν
χ
ν
λ
z
ν
p
ν
=
∑
ρ
=
(
1
r
1
,
2
r
2
,
3
r
3
,
…
)
χ
ρ
λ
∏
k
p
k
r
k
r
k
!
k
r
k
,
{\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\nu }{\frac {\chi _{\nu }^{\lambda }}{z_{\nu }}}p_{\nu }=\sum _{\rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )}\chi _{\rho }^{\lambda }\prod _{k}{\frac {p_{k}^{r_{k}}}{r_{k}!k^{r_{k}}}},}
ここで、ρ = (1 r 1 , 2 r 2 , 3 r 3 , ...) は、パーティション ρ に長さ k の r k 個 の部分があることを意味します。
この証明は、R. Stanley の『Enumerative Combinatorics Volume 2』の系 7.17.5 にあります。
整数χ λρ マーナガン・ナカヤマ則 を使って計算することができます 。
シュアのポジティブさ 表現論との関連から、シューア関数で正に展開する対称関数は特に興味深いものです。たとえば、歪んだシューア関数は通常のシューア関数で正に展開し、係数はリトルウッド-リチャードソン係数です。
この特殊なケースは、完全な同次対称関数h λ のシュアー関数への展開です 。この分解は、置換モジュールが既約表現に分解される方法を反映しています。
シューア陽性を証明する方法 与えられた対称関数F のシューア正値性を証明するには、いくつかの方法があります 。 F が組み合わせ論的に記述されている場合、直接的な方法は、半標準のヤングの表との全単射を生成することです。エーデルマン-グリーン対応と ロビンソン-シェンステッド-クヌース対応は、 そのような全単射の例です。
より構造化された一対一表現は、いわゆる クリスタル を使用した証明です。この方法は、基礎となる組み合わせオブジェクトに関するローカルルールで記述された特定のグラフ構造を定義するものとして説明できます。
同様のアイデアとして、双対同値の概念があります。このアプローチもグラフ構造を使用しますが、基本的な準対称基底における展開を表すオブジェクトに対して使用します。これは RSK 対応と密接に関連しています。
一般化
歪んだシュアー関数 スキューシュール関数 s λ/μ は2 つの分割 λ と μ に依存し、次のプロパティによって定義できます。
⟨
s
λ
/
μ
,
s
ν
⟩
=
⟨
s
λ
,
s
μ
s
ν
⟩
.
{\displaystyle \langle s_{\lambda /\mu },s_{\nu }\rangle =\langle s_{\lambda },s_{\mu }s_{\nu }\rangle .}
ここで、内積はホール内積であり、シューア多項式は正規直交基底を形成します。
通常のシューア多項式と同様に、これらを計算する方法は多数あります。対応するヤコビ-トゥルーディ恒等式は
s
λ
/
μ
=
det
(
h
λ
i
−
μ
j
−
i
+
j
)
i
,
j
=
1
l
(
λ
)
{\displaystyle s_{\lambda /\mu }=\det(h_{\lambda _{i}-\mu _{j}-i+j})_{i,j=1}^{l(\lambda )}}
s
λ
′
/
μ
′
=
det
(
e
λ
i
−
μ
j
−
i
+
j
)
i
,
j
=
1
l
(
λ
)
{\displaystyle s_{\lambda '/\mu '}=\det(e_{\lambda _{i}-\mu _{j}-i+j})_{i,j=1}^{l(\lambda )}}
歪んだシューア多項式の組み合わせ論的解釈もあり、つまり、歪んだ形状のすべての半標準ヤングの表（または列厳密な表）の合計となります 。
λ
/
μ
{\displaystyle \lambda /\mu }
歪んだシューア多項式はシューア多項式で正に展開されます。係数の規則は リトルウッド-リチャードソン規則 によって与えられます。
二重シューア多項式 二重シューア多項式 [3] は、シフトシューア多項式の一般化と見ることができます。これらの多項式は、階乗シューア多項式とも密接に関連しています。分割 λ とシーケンス a 1 、 a 2 、... を考えると、
二重シューア多項式 s λ ( x || a ) を次のように
定義できます。ここで、
合計は、 形状 λ のすべての逆 半標準ヤング表 T と、 1、...、 n の整数要素に対して行われます 。ここで、 T (α) は T のボックス α の値を表し 、 c(α) は ボックスの内容です。
s
λ
(
x
|
|
a
)
=
∑
T
∏
α
∈
λ
(
x
T
(
α
)
−
a
T
(
α
)
−
c
(
α
)
)
{\displaystyle s_{\lambda }(x||a)=\sum _{T}\prod _{\alpha \in \lambda }(x_{T(\alpha )}-a_{T(\alpha )-c(\alpha )})}
リトルウッド-リチャードソン係数の組み合わせ規則（シーケンス a に依存）はAI Molevによって与えられました。 [3] 特に、これはシフトされたシューア多項式が非負のリトルウッド-リチャードソン係数を持つことを意味します。
シフトされたSchur多項式 s * λ ( y ) は、 a i = − i および y i = x i + iを 特殊化することで二重Schur多項式から得ることができます 。
二重シューア多項式は二重シューベルト多項式 の特殊なケースです 。
階乗シューア多項式 階乗シューア多項式は次のように定義できます。 分割 λ と二重無限列 ..., a −1 , a 0 , a 1 , ... を考えると、階乗シューア多項式 s λ ( x | a ) を次のように
定義できます。
ここで、和は形状 λ のすべての半標準ヤング表 Tと 1, ..., n の整数要素に対して取られます 。ここで、 T (α) は T のボックス α の値を表し 、 c(α) はボックスの内容です。
s
λ
(
x
|
a
)
=
∑
T
∏
α
∈
λ
(
x
T
(
α
)
−
a
T
(
α
)
+
c
(
α
)
)
{\displaystyle s_{\lambda }(x|a)=\sum _{T}\prod _{\alpha \in \lambda }(x_{T(\alpha )}-a_{T(\alpha )+c(\alpha )})}
行列式の公式もあり、
ここで ( y | a ) k = ( y − a 1 ) ... ( y − a k ) です。すべてのi に対して a i = 0とすると、通常のシューア多項式 s λ が得られること は明らかです 。
s
λ
(
x
|
a
)
=
det
[
(
x
j
|
a
)
λ
i
+
n
−
i
]
i
,
j
=
1
l
(
λ
)
∏
i
<
j
(
x
i
−
x
j
)
{\displaystyle s_{\lambda }(x|a)={\frac {\det[(x_{j}|a)^{\lambda _{i}+n-i}]_{i,j=1}^{l(\lambda )}}{\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})}}}
二重シュアー多項式と n変数の階乗シュアー多項式は、恒等式 s λ ( x || a ) = s λ ( x | u ) によって関連しており
、ここで a n − i +1 = u iです 。
その他の一般化 シューア多項式には数多くの一般化があります。
参照
参考文献
^ フルトン＆ハリス 1991、式 A.5 ^ フルトン＆ハリス 1991、式 A.6 ^ ab Molev, AI (2009年6月). 「リトルウッド–リチャードソン多項式」. Journal of Algebra . 321 (11): 3450–68. arXiv : 0704.0065 . doi :10.1016/j.jalgebra.2008.02.034. 
![{\displaystyle a_{(\lambda _{1}+n-1,\lambda _{2}+n-2,\dots ,\lambda _{n})}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{\lambda _{1}+n-1}&x_{2}^{\lambda _{1}+n-1}&\dots &x_{n}^{\lambda _{1}+n-1}\\x_{1}^{\lambda _{2}+n-2}&x_{2}^{\lambda _{2}+n-2}&\dots &x_{n}^{\lambda _{2}+n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{\lambda _{n}}&x_{2}^{\lambda _{n}}&\dots &x_{n}^{\lambda _{n}}\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c63c9c4a494ea6c3ba90d0f4a1e24005a89ded9)
![{\displaystyle a_{(n-1,n-2,\dots ,0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&\dots &x_{n}^{n-1}\\x_{1}^{n-2}&x_{2}^{n-2}&\dots &x_{n}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&1&\dots &1\end{matrix}}\right]=\prod _{1\leq j<k\leq n}(x_{j}-x_{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c12cfbad0afc995a6f7ca9dd91a1114bb1fd9ab)
![{\displaystyle s_{\lambda }=\det(h_{\lambda _{i}+ji})_{i,j=1}^{l(\lambda )}=\det \left[{\begin{matrix}h_{\lambda _{1}}&h_{\lambda _{1}+1}&\dots &h_{\lambda _{1}+n-1}\\h_{\lambda _{2}-1}&h_{\lambda _{2}}&\dots &h_{\lambda _{2}+n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\h_{\lambda _{n}-n+1}&h_{\lambda _{n}-n+2}&\dots &h_{\lambda _{n}}\end{matrix}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2984a8a584c17629e094e8d55778088298d3884)
![{\displaystyle s_{\lambda }=\det(e_{\lambda '_{i}+ji})_{i,j=1}^{l(\lambda ')}=\det \left[{\ begin{matrix}e_{\lambda '_{1}}&e_{\lambda '_{1}+1}&\dots &e_{\lambda '_{1}+l-1}\\e_{\lambda '_{2}-1}&e_{\lambda '_{2}}&\dots &e_{\lambda '_{2}+l-2 }\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\e_{\lambda '_{l}-l+1}&e_{\lambda '_{l}-l+2}&\dots &e_{\lambda '_{l}}\end{matrix}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/496d27b19a45b74c6620d9a9a0b6c2e399a634f9)
![{\displaystyle s_{(2,1,1)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\;\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{matrix}}\right]=x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,(x_{1}+x_{2}+x_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f720f632a967e311413376c456f0503f86e9908)
![{\displaystyle s_{(2,2,0)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\;\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{3}&x_{2}^{3}&x_{3}^{3}\\1&1&1\end{matrix}}\right]=x_{1}^{2}\、x_{2}^{2}+x_{1}^{2}\、x_{3}^{2}+x_{2}^{2}\、x_{3}^{2}+x_{1}^{2}\、x_{2}\、x_{3}^{2}+x_{1}^{2}\、x_{3}^{2}\、x_{3}+x_{1}\、x_{2}^{2}\、x_{3}+x_{1}\、x_{2}^{2}\、x_{3}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ce3820acaf379bb1201653bc9cd56487168e61)
![{\displaystyle s_{\lambda }(x|a)={\frac {\det[(x_{j}|a)^{\lambda _{i}+ni}]_{i,j=1}^{l(\lambda )}}{\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2ecb1043082e10b645970e6779b534edf1ba3e)