ラザフォード散乱実験

ラザフォード散乱実験は、科学者が原子核を持ち、そこにすべての正電荷と質量のほとんどが集中していることを知った画期的な実験シリーズです。科学者は、アルファ粒子ビームが薄い金属箔に当たったときにどのように散乱するかを測定して、このことを推測しました。この実験は、マンチェスター大学物理学研究所でアーネスト・ラザフォードの指導の下、ハンス・ガイガーとアーネスト・マースデンによって 1906 年から 1913 年にかけて実施されました。

この物理現象は、ラザフォードが1911年に発表した古典的な論文で説明され、最終的には素粒子物理学で散乱が亜原子物質の研究に広く利用されるようになりました。ラザフォード散乱またはクーロン散乱は、クーロン相互作用による荷電粒子の弾性散乱です。この論文は、原子の惑星ラザフォードモデルの開発、そして最終的にはボーアモデルの開発のきっかけにもなりました。

ラザフォード散乱は現在、ラザフォード後方散乱と呼ばれる分析技術で材料科学コミュニティによって利用されています。

ラザフォードの実験以前の原子構造の一般的なモデルは、J. J. トムソンによって考案されました。^{[1] : 123}トムソンは陰極線の研究^{[2]を通じて}電子を発見し、電子は原子の中に存在し、電流は電子が1つの原子から隣接する原子に連続して飛び移ることであると提唱しました。論理的には、電子の負電荷とバランスを取り、電子をまとめるために、相応の量の正電荷が必要でした。この正電荷の発生源が何であるか全くわからなかったため、彼は暫定的に正電荷が原子のあらゆる場所にあると提唱し、単純化のために球形を採用しました。^{[1] : 123  [3]}トムソンは、静電気力のバランスによって、電子がこの球体全体に多かれ少なかれ均等に分布するだろうと想像しました。トムソンはまた、電子がこの球体内を動き回ることができると信じており、その点で球体の物質を液体に例えました。^[4]実際のところ、正の球体は物質的なものというよりも抽象的なものでした。

トムソンは、発光スペクトルや原子価など、原子のその他の既知の特性を予測できる完全で安定したモデルを開発することはできなかった。^[5]日本の科学者長岡半太郎は、反対の電荷は互いに浸透できないという理由でトムソンのモデルを否定した。^{[6]彼は代わりに、電子が}土星の環のように正電荷の周りを回ることを提唱した。^[7]しかし、このモデルも不安定であることが知られていた。^{[8] : 303}

アルファ粒子は、特定の放射性元素から自然に放出される正電荷を帯びた物質粒子です。アルファ粒子は非常に小さいため目に見えませんが、リン光スクリーン、写真乾板、または電極を使用して検出できます。ラザフォードは 1899 年にアルファ粒子を発見しました。^[9] 1906 年に、磁場と電場によってアルファ粒子ビームがどのように偏向するかを研究することで、アルファ粒子は基本的に2 つの電子を取り除いたヘリウム原子であると推測しました。 ^[10]トムソンとラザフォードはアルファ粒子の内部構造について何も知りませんでした。1911 年以前は、アルファ粒子はヘリウム原子と同程度の直径を持ち、10 個程度の電子を含むと考えられていました。^{[8] :  280}

トムソンのモデルは、当時入手可能な実験的証拠と一致していた。トムソンはベータ粒子の散乱を研究し、粒子が多数の原子と連続して相互作用することで小さな角度の偏向が生じることをモデル化した。粒子が原子の電子や正の背景球と相互作用するたびに、小さな偏向が生じるが、このような衝突が多数発生すると、大きな偏向が生じる可能性がある。^{[8] : 274}アルファ粒子の散乱も同様であると予想された。^{[8] :  281}ラザフォードのチームは、多重散乱モデルは不要であることを示した。原子の中心にあるコンパクトな電荷からの単一の散乱で、すべての散乱データを説明できる。^{[8] : 289}

アーネスト・ラザフォードは、マンチェスター・ヴィクトリア大学^{[11] : 188} (現在のマンチェスター大学)の物理学のラングワーシー教授でした。彼はすでに放射線の研究で数々の栄誉を受けていました。彼はアルファ線、ベータ線、ガンマ線の存在を発見し、これらが原子の崩壊の結果であることを証明しました。1906年、彼はドイツの物理学者ハンス・ガイガーの訪問を受け、非常に感銘を受けたため、ガイガーに留まって研究を手伝ってくれるよう頼みました。 アーネスト・マースデンはガイガーの下で学ぶ物理学の学部生でした。^[12]

1908 年、ラザフォードはアルファ粒子の電荷と質量を独自に決定しようとしました。これを行うには、アルファ粒子の数を数えてその総電荷を測定し、その比率からアルファ粒子 1 個の電荷を求めました。アルファ粒子は目に見えないほど小さいのですが、ラザフォードはタウンゼント放電、つまりイオン化から電流パルスにつながるカスケード効果について知っていました。この原理に基づいて、ラザフォードとガイガーはガラス管の中に 2 つの電極がある簡単な計数装置を設計しました (実験番号 1908 を参照)。管を通過するアルファ粒子はすべて、計数可能な電気パルスを発生させます。これはガイガー カウンターの初期バージョンでした。^{[8] : 261}

ガイガーとラザフォードが作ったカウンターは、アルファ粒子が検出室内の空気分子との衝突によって強く偏向したため、信頼性が低いことが判明した。アルファ粒子の軌道は大きく変動するため、ガスを通過する際にすべての粒子が同じ数のイオンを生成するわけではなく、そのため測定値が不安定になった。ラザフォードはアルファ粒子は重すぎてそれほど強く偏向しないと思っていたため、このことに困惑した。ラザフォードはガイガーに、物質がアルファ線をどの程度散乱できるかを調べるよう依頼した。^[13]

彼らが設計した実験は、金属箔にアルファ粒子のビームを照射し、箔の厚さと材質に応じて粒子がどのように散乱するかを観察するというものでした。粒子の軌道を測定するために、彼らは燐光スクリーンを使用しました。アルファ粒子がスクリーンに当たるたびに、小さな閃光が発生しました。ガイガーは暗い研究室で何時間も作業を続け、顕微鏡を使用してこれらの小さな閃光を数えました。^[14]金属箔については、さまざまな金属をテストしましたが、最も展性のある金属である金を使用すれば箔を非常に薄くできるため、金を選択しました。 ^{[15] : 127} アルファ粒子の発生源として、ラザフォードが選択した物質は、ウランの数千倍の放射性を持つラジウムでした。 ^[16]

1909年の実験で、ガイガーとマースデンは金属箔がアルファ粒子をあらゆる方向に、時には90度以上に散乱させることを発見した。^{[17] : 4}これはトムソンのモデルによれば不可能なことだった。^{[17] : 4}トムソンのモデルによれば、すべてのアルファ粒子はまっすぐに通り抜けるはずだった。

トムソンの原子モデルでは、原子を満たし電子を包み込む正電荷の球体は透過性があり、電子は球体の中で動き回ることができる。したがって、内部の静電力が許せば、アルファ粒子はこの球体を通過できるはずである。トムソン自身は、アルファ粒子が原子と衝突して散乱する仕組みについては研究しなかったが、ベータ粒子の散乱については研究した。^{[8] : 277}彼は、ベータ粒子が原子を通過する際に受ける偏向は非常に小さいと計算し、^[18]多くの原子を連続して通過した後でも、総偏向は 1° 未満であるはずである。^[19]アルファ粒子は一般にベータ粒子よりも運動量が大きいため、同様に偏向はごくわずかであるはずである。^[20]

観測された極端な散乱により、ラザフォードは原子モデルを改訂せざるを得なくなった。^{[21] : 25} トムソンのモデルの問題点は、電荷が拡散しすぎていて、そのような反発を引き起こすのに十分な静電力を発生させられないことだった。そのため、電荷をより集中させる必要があった。ラザフォードの新しいモデルでは、正電荷は原子の全体積を満たすのではなく、原子全体より少なくとも 10,000 倍小さい小さな核を構成している。ずっと小さな体積に集中している正電荷はすべて、その表面近くにずっと強い電場を作り出す。核はまた、原子の質量のほとんどを担っている。これは、アルファ粒子がどれだけ近くを通過するかに応じて、最大 180° まで偏向できることを意味している。電子はこの核を取り囲み、原子の体積全体に広がっている。電子の負電荷は拡散しており、合計質量は小さいため、アルファ粒子への影響は無視できるほどである。^[22]

ラザフォードは、このモデルを検証するために、すべての正電荷が原子の中心に集中していると仮定して、金箔から出たアルファ粒子が散乱するさまざまな角度での強度を予測する科学的モデルを開発した。このモデルは、1913年に行われた実験で検証された。彼のモデルは、トムソンのベータ散乱結果と、ガイガーとマースデンのアルファ散乱結果の両方を説明した。^{[8] : 285}

ラザフォードの今では有名な1911年の論文に対する最初の数年間の反応はほとんどありませんでした。^{[11] : 192}この論文は、粒子散乱が物理学の主要なツールとなる前の時代のアルファ粒子散乱に関するものでした。彼が使用した確率論的手法と、それに伴う混乱した観察の収集は、すぐには説得力のあるものではありませんでした。^{[8] : 304}

最初の影響は、散乱実験への新たな焦点を奨励することだった。例えば、 CTRウィルソンによる霧箱の最初の結果はアルファ粒子の散乱を示しており、これも1911年に発表された。^{[23] [8] : 302}時が経つにつれて、粒子の散乱は理論物理学と実験物理学の主要な側面となった。 ^{[24] : 443} ラザフォードの「断面積」の概念は、現在、実験粒子物理学の記述を支配している。^{[1] :  247}歴史家のシルヴァン・S・シュウェーバーは、ラザフォードのアプローチは、物理学におけるすべての相互作用と測定を散乱プロセスとして見るというシフトを示したと示唆している。^{[25] : xiv}原子核（ラザフォードが1912年に導入した用語^{[11] : 192}）が原子核の受け入れられたモデルになった後、ラザフォードのアルファ粒子の散乱の分析は、物理学の新しい分野である原子核物理学を生み出した。^{[11] : 223}

ラザフォードの新しい原子モデルは騒ぎを起こさなかった。^{[21] : 28}ラザフォードは電子を明確に無視し、電子が小さな「太陽」の周りを回るという長岡半太郎の土星モデルにのみ言及している。このモデルは以前は機械的に不安定であるとして却下されていた。電子を無視することで、ラザフォードは原子分光法が化学に及ぼす潜在的な影響も無視している。^{[11] : 302}ラザフォード自身は原子モデルを主張しなかった。1913年に出版された「放射性物質とその放射線」という本では原子について2回しか触れられていない。この頃の他の著者による本はトムソンのモデルに焦点を当てている。^{[26] : 446}

ラザフォードの原子核モデルの影響は、ニールス・ボーアがラザフォードの招待でマンチェスターの博士研究員として着任した後に現れた。ボーアはトムソンモデルの研究を中止し、ラザフォードの原子核モデルを採用し、その後数年間にわたってラザフォード・ボーアモデルを発展させた。最終的にボーアは量子力学の初期の考えを原子モデルに取り入れ、電子スペクトルと化学の概念の予測を可能にした。^{[8] : 304}

土星の原子モデルを提唱した長岡半太郎は、1911年に東京からラザフォードに手紙を書いた。「あなたが使用した装置の単純さと、得られた素晴らしい結果に私は感銘を受けました。」 ^[27]天文学者アーサー・エディントンは、ラザフォードの発見を、デモクリトスが原子を提唱して以来最も重要な科学的成果と呼んだ。 ^[28]ラザフォードはそれ以来、「原子物理学の父」として称賛されている。^{[29] [30]}

1936年10月15日にケンブリッジ大学で行われた講義で^{[31] [32]、}ラザフォードは1909年の実験の結果に対する衝撃を次のように述べている。

それから 2、3 日後、ガイガーが興奮して私のところに来て、「α 粒子の一部が後方に飛んでくるのを観測できた」と言ったのを覚えています。これは私の人生で起こったことの中で最も信じられない出来事でした。それはまるで、ティッシュ ペーパーに 15 インチの砲弾を撃ち込んでそれが跳ね返って自分に当たったのと同じくらい信じられないことでした。よく考えてみると、この後方への散乱は 1 回の衝突の結果に違いないと気づきました。計算してみると、原子の質量の大部分が微小な原子核に集中しているシステムでない限り、このオーダーの何かを得るのは不可能だということが分かりました。そのとき、電荷を帯びた微小な質量中心を持つ原子というアイデアが浮かびました。^[33]

ラザフォードの驚きの主張は良い話だが、ガイガー・マースデン実験の時点では、結果はラザフォードが以前の多くの実験から抱いていた疑惑を裏付けるものだった。^{[8] : 265}

ラザフォードが原子の性質を発見する第一歩は、アルファ粒子を理解するための研究から始まりました。^{[21] : 17  [34] : 435} 1906年、ラザフォードは、雲母のシートを通過するアルファ粒子が、シートによって2度も偏向されることに気付きました。ラザフォードは、先端に狭いスリットがあり、その後に写真乾板がある密閉された管の中に放射性物質を配置しました。スリットの半分は薄い雲母の層で覆われていました。磁場に敏感であることが知られているベータ線の影響を排除するために、管の周囲の磁場は10分ごとに変更されました。^[22]管はさまざまな量まで真空にされ、一連の画像が記録されました。最も低い圧力では、開いたスリットの画像は鮮明でしたが、雲母で覆われたスリットや高圧での開いたスリットの画像はぼやけていました。ラザフォードは1906年に発表した論文の中で、これらの結果をアルファ粒子散乱^{[8] : 260 として説明した。 [35]}彼はすでに、この観察結果が原子のモデルに及ぼす影響を理解していた。「このような結果は、物質の原子が非常に強力な電気力の座であるに違いないという事実を明らかに示している」^{[35] : 145  [21]}

ガイガーの 1908 年の論文「物質による α 粒子の散乱について」には、次の実験について記述されています。彼は約 2 メートルの長いガラス管を作成しました。管の一方の端には、アルファ粒子の発生源として「ラジウム放射」(R) がありました。 ^{[21] : 20} 管の反対側の端は、リン光スクリーン (Z) で覆われていました。管の中央には、幅 0.9 mm のスリットがありました。R からのアルファ粒子はスリットを通過し、スクリーン上に光る斑点を作りました。顕微鏡 (M) を使用して、スクリーン上のシンチレーションを数え、その広がりを測定しました。ガイガーは、アルファ粒子が遮られないように管内のすべての空気をポンプで排出し、スリットの形状に対応する、スクリーン上にきれいで密集した画像を残しました。次に、ガイガーは管内にいくらか空気を入れ、光る斑点はより拡散しました。ガイガーはその後空気を抜き、AAのスリットの上に金箔を1枚か2枚置いた。これによってもスクリーン上の光の斑点はより広がり、2層ではより大きく広がった。^{[21] : 20} この実験は、空気と固体の両方がアルファ粒子を著しく散乱できることを実証した。^{[36] [21] : 20}

初期のアルファ粒子散乱実験の結果は混乱を招いた。スクリーン上の粒子の角度の広がりは、装置の形状と内部圧力によって大きく変化した。ラザフォードは、ガイガーの下で物理学を学んでいたアーネスト・マースデンに、予想外であったにもかかわらず、拡散反射または後方散乱したアルファ粒子を探すよう提案した。マースデンの最初の粗雑な反射器は成果を上げたので、ガイガーはより洗練された装置の作成を手伝った。彼らは、アルファ粒子の衝突の8000回のうち1回が拡散反射であることを実証することができた。^{[21] : 23}この割合は小さいが、トムソンの原子モデルで説明できるよりもはるかに大きかった。^{[8] : 264}

これらの結果は1909年の論文「α粒子の拡散反射について」^[37]で発表され、その中でガイガーとマースデンは、アルファ粒子が実際に90°以上散乱することを証明した実験について説明しています。彼らの実験では、小さな円錐形のガラス管（AB）を用意し、「ラジウム放射」（ラドン）、「ラジウムA」（実際のラジウム）、「ラジウムC」（ビスマス-214）を入れ、その開口端を雲母で密封しました。これがアルファ粒子放射体でした。次に、鉛板（P）を設置し、その後ろに蛍光スクリーン（S）を配置しました。管はプレートの反対側に保持され、放出されたアルファ粒子がスクリーンに直接当たらないようにしました。彼らは、一部のアルファ粒子が空気分子に跳ね返ってプレートを迂回したため、スクリーンにいくつかのシンチレーションがあることに気付きました。次に、鉛板の側面に金属箔（R）を配置しました。彼らは鉛、金、錫、アルミニウム、銅、銀、鉄、プラチナでテストした。彼らは管をホイルに向け、アルファ粒子がホイルで跳ね返り、プレートの反対側のスクリーンに当たるかどうかを確認し、スクリーン上のシンチレーションの数の増加を観察した。シンチレーションを数えると、金などの原子質量が大きい金属は、アルミニウムなどの軽い金属よりもアルファ粒子を多く反射することがわかった。^{[37] [21] : 20}

ガイガーとマースデンは次に、反射されたアルファ粒子の総数を推定したいと考えました。以前の設定では、管内に数種類の放射性物質（ラジウムとその崩壊生成物）が含まれていたため、放出されたアルファ粒子の飛程が異なり、また管がどの程度の速度でアルファ粒子を放出しているかを確かめるのが困難であったため、これを行うには適していませんでした。今回は、鉛板の上に少量のラジウム C（ビスマス 214）を置き、それがプラチナ反射板（R）で反射してスクリーンに当たりました。彼らは、反射板に当たったアルファ粒子の約 8,000 分の 1 がスクリーンに跳ね返ったと結論付けました。^[37]薄い箔からの反射を測定することで、彼らは、その効果が表面効果ではなく体積によるものであることを示しました。[ ^22]金属箔を妨げられることなく通過する膨大な数のアルファ粒子と比較すると、この少数の大きな角度での反射は奇妙な結果でした^{[1] : 240  [22]}

ガイガーの1910 年の論文^[38] 「物質による α 粒子の散乱」には、α 粒子が偏向する最も可能性の高い角度が、通過する物質、物質の厚さ、およびα 粒子の速度によってどのように変化するかを測定する実験について記述されています。ガイガーは、空気を排出する気密ガラス管を作製しました。一方の端には「ラジウム放射」(ラドン-222) を含む電球 (B) がありました。水銀によって、B のラドンは、雲母で塞がれた A の端にある細いガラス管に汲み上げられました。管のもう一方の端には、蛍光硫化亜鉛スクリーン (S) がありました。スクリーン上の閃光を数えるためにガイガーが使用した顕微鏡は、バーニヤ付きの垂直ミリメートル目盛りに固定されており、これにより、ガイガーはスクリーン上の光の閃光の位置を正確に測定し、粒子の偏向角度を計算することができました。 Aから放射されたアルファ粒子は、Dの小さな円形の穴によってビーム状に狭められた。ガイガーはDとEの光線の経路に金属箔を置き、閃光の領域がどのように変化するかを観察した。彼は金、錫、銀、銅、アルミニウムをテストした。また、Aに雲母やアルミニウムのシートを追加することで、アルファ粒子の速度を変えることもできた。^[38]

ガイガーは測定結果から次のような結論に達した。^{[17] : 5}

• 最も起こり得るたわみ角度は材料の厚さとともに増加する
• 最も起こり得る偏向角は物質の原子質量に比例する。
• 最も起こり得る偏向角はアルファ粒子の速度とともに減少する

これらの実験結果を考慮して、ラザフォードは1911年に「物質によるα粒子とβ粒子の散乱と原子の構造」と題する画期的な論文を発表し、非常に小さく強力な電荷による単一散乱は主に小角散乱を予測し、小さいが測定可能な量の後方散乱を予測することを示した。^{[1] : 252  [39]}数学的計算の目的で、彼はこの中心電荷が正であると仮定したが、これを証明することはできず、理論を展開するには他の実験を待たなければならないことを認めた。^{[39] : 688}

ラザフォードは、すべての正電荷と原子質量の大部分が原子の中心の一点に集中している場合に、箔がどのようにアルファ粒子を散乱するかをモデル化した数式を作成した。散乱データから、ラザフォードは中心電荷qnが約+100単位であると推定した。_[ 40 ^]

ラザフォードの論文では、トムソンのプラムプディングモデルと長岡の土星モデルによる散乱に関する議論以外には、電子配置については一切議論されていない。^{[8] : 303}彼は、トムソンのモデルによって予測される散乱結果も単一散乱によって説明できるが、トムソンのモデルは大角散乱を説明できないことを示している。彼は、コンパクトな電荷を持つ長岡のモデルは散乱データと一致するだろうと述べている。土星モデルは以前に他の理由で却下されていた。軌道を回る電子を持つ原子のいわゆるラザフォードモデルは、 1911年の論文でラザフォードによって提案されたものではない。^{[8] : 304}

1913年の論文「大きな角度でのα粒子の屈折の法則」^[41]で、ガイガーとマースデンはラザフォードの方程式を実験的に検証しようとした一連の実験について述べている。ラザフォードの方程式は、与えられた角度Φで観測される1分間のシンチレーションの数が次の値に比例すると予測した。^{[17] : 11}

1. コセック⁴ ⁠Φ/2⁠
2. 箔の厚さt
3. 中心電荷Q _nの二乗の大きさ
4. ⁠1/（MV2 ^）2​⁠

1913年の論文では、これら4つの関係をそれぞれ証明した4つの実験について説明されている。^{[24] : 438}

散乱が偏向角度によってどのように変化するかをテストする（すなわち、s ∝ csc ⁴ ⁠Φ/2⁠）。ガイガーとマースデンは、ターンテーブルに取り付けられた中空の金属シリンダーで構成される装置を製作しました。シリンダーの中には、金属箔 (F) とラドンを含む放射線源 (R) があり、シリンダーが独立して回転できるように、独立した柱 (T) に取り付けられていました。柱は、シリンダーから空気を排出するチューブでもありました。対物レンズが蛍光硫化亜鉛スクリーン (S) で覆われた顕微鏡 (M) がシリンダーの壁を貫通し、金属箔に向けられました。彼らは銀箔と金箔でテストしました。テーブルを回転させると、顕微鏡は箔の周りを一周移動でき、ガイガーは最大 150° 偏向したアルファ粒子を観察して数えることができました。実験誤差を補正すると、ガイガーとマースデンは、特定の角度Φで偏向したアルファ粒子の数は、確かに csc ^{4に比例することを発見しました}⁠Φ/2⁠ . ^[41]

ガイガーとマースデンは、散乱が箔の厚さによってどのように変化するか（つまり、s ∝ tの場合）をテストしました。彼らは、6 つの穴が開けられた円盤 (S) を作成しました。穴は、さまざまな厚さの金属箔 (F) で覆われ、または制御のために何も覆われませんでした。この円盤は、2 枚のガラス板 (B と C) の間にある真鍮のリング (A) で密封されました。円盤は、棒 (P) によって回転し、各ウィンドウをアルファ粒子源 (R) の前に持ってくることができました。背面のガラス板には硫化亜鉛スクリーン (Z) がありました。ガイガーとマースデンは、厚さが小さい限り、スクリーンに現れるシンチレーションの数は確かに厚さに比例することを発見しました。^[41]

ガイガーとマースデンは、この装置を再利用して、散乱パターンが原子核の電荷の二乗（つまり、s ∝ Q _n ²）に応じてどのように変化するかを測定しました。ガイガーとマースデンは、金属の原子核の正電荷がどの程度であるかを知りませんでしたが（原子核が存在することを発見したばかりでした）、それが原子量に比例すると仮定し、散乱が原子量の二乗に比例するかどうかをテストしました。ガイガーとマースデンは、ディスクの穴を金、スズ、銀、銅、アルミニウムの箔で覆いました。彼らは、各箔の阻止能を、同等の空気の厚さに等しいものとして測定しました。彼らは、各箔がスクリーン上で毎分生成するシンチレーションの数を数えました。彼らは、1分間のシンチレーション数をそれぞれの箔の空気当量で割り、さらに原子量の平方根で割りました（ガイガーとマースデンは、阻止能が同じ箔の場合、単位面積あたりの原子数は原子量の平方根に比例することを知っていた）。こうして、ガイガーとマースデンは、各金属について、一定数の原子が生成するシンチレーション数を得ました。次に、各金属について、この数を原子量の2乗で割り、比率がほぼ同じであることを発見しました。こうして、彼らはs ∝ Q _n ^{2 で}あることを証明しました。^[41]

最後に、ガイガーとマースデンは、散乱がアルファ粒子の速度によってどのように変化するかをテストしました（つまり、s ∝ ⁠1/⁴巻⁠）。同じ装置を使用して、アルファ粒子源の前に雲母のシートを追加してアルファ粒子を減速させました。実験誤差の範囲内で、シンチレーションの数は確かに⁠に比例していることを発見しました。1/⁴巻⁠ . ^[41]

1911年の論文（上記参照）で、ラザフォードは原子の中心電荷は正であると仮定したが、負電荷でも彼の散乱モデルによく適合したであろう。^[42] 1913年の論文で、ラザフォードは、さまざまなガス中のアルファ粒子の散乱を調べた実験の結果に基づいて、「原子核」（彼が当時そう呼んでいた）は確かに正に帯電していると宣言した。^[43]

1917年、ラザフォードと助手のウィリアム・ケイは、水素や窒素などのガス中をアルファ粒子が通過する様子を研究し始めた。この実験では、水素にアルファ粒子のビームを照射し、ガスに吸収されるアルファ粒子の範囲のすぐ外側に検出器（硫化亜鉛スクリーン）を慎重に配置した。それでも、スクリーンにシンチレーションを引き起こす何らかの荷電粒子が検出された。ラザフォードはこれを、アルファ粒子が水素原子核をビームの方向へ前方へ押し出すのであって、後方へ押し出すのではないと解釈した。^[42]

ラザフォードは 1911 年の論文^{[39]を、高速電子を生み出す放射能の一種である}ベータ粒子の散乱に関するトムソンの結果の議論から始めている。トムソンのモデルでは、電子は正電荷の球体内を循環していた。ラザフォードは、複合散乱または多重散乱イベントの必要性を強調している。各衝突で予測される偏向は 1 度よりはるかに小さい。次に、1 回の衝突で大きな偏向が生じるモデルを提案している。正電荷をすべて球体の中心に配置し、電子の散乱は重要でないとして無視する。電荷が集中していることで、ほとんどのアルファ粒子が測定可能な程度に散乱しない (電荷から遠く離れすぎてしまう) のに、中心に非常に近いところを通過する粒子は大きな角度で散乱する理由が説明できる。^{[8] : 285}

ラザフォードは、アルファ粒子と原子の正面衝突を考察することから分析を始める。これにより両者の最小距離が決定され、この値が彼の計算全体で使用されることになる。^{[39] : 670}

外力がなく、アルファ粒子が最初は原子核から遠く離れていると仮定すると、アルファ粒子と原子核の電荷間の反二乗則により、粒子が原子核に近づくにつれて得られる位置エネルギーが与えられる。アルファ粒子と原子核の正面衝突では、アルファ粒子の運動エネルギーはすべて位置エネルギーに変換され、粒子は停止して戻る。^{[17] : 5}

粒子が中心から離れた場所で停止した場合、位置エネルギーは元の運動エネルギーと一致する：^{[44] ：620  [45] ：320}${\displaystyle r_{\text{min}}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=k{\frac {q_{a}q_{g}}{r_{\text{min}}}}}$$

どこ

$${\displaystyle k={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}}$$

並べ替え: ^{[39] :  671} $${\displaystyle r_{\text{min}}=k{\frac {2q_{a}q_{g}}{mv^{2}}}}$$

アルファ粒子の場合:

• m (質量) =6.644 24 × 10 ⁻²⁷  kg =3.7273 × 10 ⁹  eV/ c ²
• q _a（アルファ粒子の場合） = 2 ×1.6 × 10 ⁻¹⁹  C =3.2 × 10 ⁻¹⁹  ℃
• q _g (金の場合) = 79 ×1.6 × 10 ⁻¹⁹  C =1.27 × 10 ⁻¹⁷  ℃
• v (初期速度) =2 × 10 ⁷  m/s（この例では）

この時点でのアルファ粒子から原子核の中心までの距離（r _min）は原子核半径の上限である。これらを代入すると、およそ2.7 × 10 ⁻¹⁴  m、つまり 27  fmです。(実際の半径は約 7.3 fm です。) 金の実際の半径が 7.3 fm であるのに対し、前述のようにアルファ粒子は原子核中心から 27 fm 以上を貫通するだけのエネルギーを持たないため、これらの実験では原子核の実際の半径は測定されません。

ラザフォードの1911年の論文^[39]は、正電荷の球との正面衝突に適したわずかに異なる式から始まりました。

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=NeE\cdot \left({\frac {1}{b}}-{\frac {3}{2R}}+{\frac {b^{2}}{2R^{3}}}\right)}$$

ラザフォードの表記法では、eは素電荷、Nは原子核の電荷数（現在では原子番号としても知られている）、E はアルファ粒子の電荷である。ラザフォードの時代の慣習では、電荷は静電単位、距離はセンチメートル 、力はダイン、エネルギーはエルグで測定されていた。現代の慣習では、電荷はクーロン、距離はメートル 、力はニュートン 、エネルギーはジュールで測定される。クーロンを使用するには、式でクーロン定数( k ) を使用する必要があります。ラザフォードは、 b を転換点距離（上記でr _minと呼ばれる）として使用し、R は原子の半径です。最初の項は、上記で使用したクーロン反発です。この形式は、アルファ粒子が正電荷を貫通できることを前提としています。ラザフォードの論文の時点では、トムソンのプラムプディングモデルは、上記のr _minの数千倍である原子の半径を持つ正電荷を提案していました。図 1 は、原子のサイズと比較してこの電位がどの程度集中しているかを示しています。ラザフォードの結果の多くは、この転換点距離r _minで表現されており、結果が簡略化され、この転換点の計算に必要な単位が制限されています。

正面衝突の結果から、ラザフォードはアルファ粒子の散乱が原子の中心近く、つまり原子の 10,000 分の 1 の半径で起こることを知っている。電子の影響は無視できる。彼はまず、衝突によるエネルギー損失はないものと仮定し、標的原子の反動を無視する。彼はこれらの問題について、後ほど論文でそれぞれ再検討する。^{[39] : 672} これらの条件下では、アルファ粒子と原子は中心力を介して相互作用する。これはアイザック・ニュートンが初めて研究した物理的問題である。^[46] 中心力は粒子間の線に沿ってのみ作用し、力がこの場合のクーロン力のように反比例して変化する場合は、ケプラーの問題という名前で詳細な理論が展開された。^{[47] : 76}ケプラーの問題のよく知られた解は軌道と呼ばれ、束縛されていない軌道は双曲線である。したがってラザフォードは、図 2 に示すように、アルファ粒子は原子の中心付近の反発力の中で 双曲線の軌道をとると提唱しました。

アルファ粒子問題に双曲軌道解法を適用するために、ラザフォードは双曲線のパラメータを散乱形状とエネルギーの観点から表現した。彼は角運動量保存則から始めた。質量と初期速度の粒子が原子から遠い場合、原子の中心周りの角運動量は となる。ここでは衝突パラメータであり、アルファ粒子の軌道と原子の間の横方向の距離である。図 2 で A と記されている最接近点では、角運動量は となる。したがって^{[8] : 270}${\displaystyle m}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle mbv_{0}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle mr_{A}v_{A}}$

$${\displaystyle mbv_{0}=mr_{A}v_{A}}$$

$${\displaystyle v_{A}={\frac {bv_{0}}{r_{A}}}}$$

ラザフォードは、同じ 2 点間の エネルギー保存の法則も適用します。

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}={\tfrac {1}{2}}mv_{A}^{2}+{\frac {kq_{a}q_{g}}{r_{A}}}}$$

左辺と右辺第1項は2点における粒子の運動エネルギーであり、最後の項は最接近点(A)におけるアルファ粒子と原子間のクーロン力による位置エネルギーである。q a_はアルファ粒子の電荷、q _{g は}原子核の電荷、k はクーロン定数である。^[48]

エネルギー方程式は次のように書き直すことができます。

$${\displaystyle v_{A}^{2}=v_{0}^{2}\left(1-{\frac {kq_{a}q_{g}}{{\tfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}r_{A}}}\right)}$$

便宜上、この式^{[39] : 674}の非幾何学的物理変数は、変数に含めることができ、これは正面衝突シナリオ^{[39] :  671}における最接近点であり、この記事の前のセクションで検討した。 ${\displaystyle r_{\text{min}}}$

$${\displaystyle r_{\text{min}}={\frac {kq_{a}q_{g}}{{\tfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}}}}$$

これにより、ラザフォードはエネルギー方程式を次のように簡略化できます。

$${\displaystyle v_{A}^{2}=v_{0}^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{min}}}{r_{A}}}\right)}$$

これにより、 に関する 2 つの連立方程式が残ります。最初の方程式は運動量保存方程式から導出され、2 番目はエネルギー保存方程式から導出されます。 と を消去すると、に関する新しい式が得られます。 ${\displaystyle v_{A}^{2}}$${\displaystyle v_{A}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle r_{\text{min}}}$

$${\displaystyle v_{A}^{2}={\frac {b^{2}v_{0}^{2}}{r_{A}^{2}}}=v_{0}^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{min}}}{r_{A}}}\right)}$$

$${\displaystyle r_{\text{min}}=r_{A}-{\frac {b^{2}}{r_{A}}}}$$

次のステップは、 の公式を見つけることです。図 2 から、は双曲線に関連する 2 つの距離 SO と OA の合計です。次のロジックを使用すると、これらの距離は角度と影響パラメータで表すことができます。 ${\displaystyle r_{A}}$${\displaystyle r_{A}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle b}$

双曲線の離心率は、双曲線の形状を表す値です。図2に示すように、焦点距離を長半径の長さで割ることで計算できます。それで/OA⁠。図3からわかるように、離心率も に等しく${\displaystyle \sec \Phi }$、ここで は長軸と漸近線の間の角度です。^{[49] : 219}したがって、 ${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle {\frac {\text{SO}}{\text{OA}}}=\sec \Phi }$$

図2からわかるように、焦点距離SOは

$${\displaystyle {\text{SO}}=b\csc \Phi }$$

そしてそれゆえ

$${\displaystyle {\text{OA}}={\frac {\text{SO}}{\sec \Phi }}=b\cot \Phi }$$

SOとOAのこれらの式を用いると、距離は次のように表すことができ、半角の公式として知られる三角関数の恒等式を使用して簡略化することができる：^{[40] ：673}${\displaystyle r_{A}}$${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle r_{A}={\text{SO}}+{\text{OA}}}$$

$${\displaystyle =b\csc \Phi +b\cot \Phi }$$

$${\displaystyle =b\cot {\frac {\Phi }{2}}}$$

二倍角のコタンジェント公式として知られる三角関数の恒等式と、前の式を適用すると、物理的変数と幾何学的変数の関係がより単純になります。 ${\displaystyle r_{A}}$

$${\displaystyle r_{\text{min}}=r_{A}-{\frac {b^{2}}{r_{A}}}}$$

$${\displaystyle =b\cot {\frac {\Phi }{2}}-{\frac {b^{2}}{b\cot {\frac {\Phi }{2}}}}}$$

$${\displaystyle =b{\frac {\cot ^{2}{\frac {\Phi }{2}}-1}{\cot {\frac {\Phi }{2}}}}}$$

$${\displaystyle =2b\cot \Phi }$$

粒子の散乱角は であり、したがって である。反射公式として知られる三角関数の恒等式を用いると、 θとbの関係は次のように表される。^{[39] : 673}${\displaystyle \theta =\pi -2\Phi }$${\displaystyle \Phi ={\tfrac {\pi -\theta }{2}}}$

$${\displaystyle r_{\text{min}}=2b\cot \left({\frac {\pi -\theta }{2}}\right)}$$

$${\displaystyle =2b\tan {\frac {\theta }{2}}}$$

$${\displaystyle \cot {\frac {\theta }{2}}={\frac {2b}{r_{\text{min}}}}}$$

これを並べ替えると

$${\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {r_{\text{min}}}{2b}}=2\arctan \left({\frac {kq_{a}q_{g}}{mv_{0}^{2}b}}\right)}$$

ラザフォードは、この表に示すようにいくつかの例示的な値を示しています。^{[39] : 673}

この散乱問題に対するラザフォードのアプローチは、古典力学の教科書^{[50] : 151  [51] : 240  [52] :  400}における標準的な扱い方のままである。

実験と比較するためには、衝突パラメータと散乱角の関係を確率対角度に変換する必要がある。散乱断面積は角度による相対強度を与える：^{[47] ：81} $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\Omega )\mathrm {d} \Omega ={\frac {{\text{number of particles scattered into solid angle }}\mathrm {d} \Omega {\text{ per unit time}}}{\text{incident intensity}}}}$$

古典力学では、散乱角は入射粒子の初期運動エネルギーと衝突パラメータbによって一意に決まる。^{[47] : 82}したがって、 と の間の角度に散乱される粒子の数は、bとb + db の間の関連する衝突パラメータを持つ粒子の数と同じでなければならない。入射強度Iの場合、これは次を意味する。 したがって、断面積は散乱角によって次のように決まる。 上記の単一散乱結果から、衝突パラメータを角度b ( θ ) の関数として使用すると、ラザフォードの散乱断面積が得られる。^{[47] : 84}${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta +\mathrm {d} \theta }$$${\displaystyle 2\pi Ib\left|\mathrm {d} b\right|=-2\pi \sigma (\theta )I\sin(\theta )\mathrm {d} \theta }$$$${\displaystyle \sigma (\theta )=-{\frac {b}{\sin \theta }}{\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} \theta }}}$$

$${\displaystyle s={\frac {Xnt\cdot \csc ^{4}{\frac {\phi }{2}}}{16r^{2}}}\cdot {\left({\frac {2kq_{n}q_{a}}{mv^{2}}}\right)}^{2}}$$

• s = 偏向角Φで単位面積に落ちるアルファ粒子の数
• r = 散乱物質へのα線の入射点からの距離
• X = 散乱物質に落ちる粒子の総数
• n = 物質の単位体積あたりの原子の数
• t = 箔の厚さ
• q _n = 原子核の正電荷
• q _a = アルファ粒子の正電荷
• m = アルファ粒子の質量
• v = アルファ粒子の速度

この式は、翌年にガイガーが測定した結果を予測した。小さな角度への散乱確率は、大きな角度への散乱確率を大幅に上回り、小さな原子核が空の空間に囲まれていることを反映している。しかし、まれに接近遭遇した場合は、大きな角度の散乱は単一のターゲットで発生する。^{[53] : 19}

ラザフォードは、断面積の公式の開発の最後に、その結​​果は単一散乱に適用され、したがって薄い箔での測定が必要であることを強調しています。薄い箔の場合、散乱の程度は箔の厚さに比例し、ガイガーの測定値と一致しています。^[39]

ラザフォードの論文が発表された当時、JJ トムソンは「原子の設計における誰もが認める世界的巨匠」であった。^{[8] : 296}ラザフォードは、彼の新しいアプローチをトムソンのアプローチと比較する必要があった。1910 年に発表されたトムソンのモデル^[18]は、 1906 年の論文^[54]の双曲軌道を持つ電子の衝突を、正球の因子と組み合わせてモデル化した。結果として生じる複数の小さな偏向は、ランダム ウォークを使用して複合された。^{[8] : 277}

ラザフォードは論文の中で、正電荷が中心に集中していれば、単一散乱だけでトムソンの結果を説明できることを強調した。ラザフォードは、コンパクトな電荷からの単一散乱の確率を計算し、それがトムソンの多重散乱確率の3倍であることを証明した。ラザフォードは密度と箔の厚さの影響を含めた分析を完了し、薄い箔は多重散乱ではなく単一散乱によって支配されると結論付けた。^{[8] : 298}

その後の分析で、トムソンの散乱モデルは大きな散乱を説明できないことがわかった。電子散乱または正球からの最大の角度偏向はそれぞれ0.02°未満であり、そのような散乱イベントが多数重なっても平均偏向は1度未満となり、90°の散乱確率は10 ³⁵⁰⁰分の1未満となる。^{[55] : 106}

ラザフォードの解析では、アルファ粒子の軌道は原子の中心で方向転換するが、出口速度は減少しないと仮定した。^{[1] : 253}これは、中心に集中した電荷が無限の質量を持つか、その場に固定されていると仮定することと同等である。ラザフォードは、アルミニウムのような軽い原子と金のような重い原子からの散乱を比較することで、この仮定の限界について論じている。集中した電荷が軽い場合、相互作用によって反動して運動量が増加し、アルファ粒子は運動量を失い、その結果減速する。^{[40] :  676}

現代の処理では、このタイプのクーロン散乱を質量中心参照フレームで分析します。2 つの粒子 (「ボディ」とも呼ばれます) の 6 つの座標は、2 つの粒子間の 3 つの相対座標と、空間を移動する 3 つの質量中心座標 (ラボ フレームと呼ばれる) に変換されます。相互作用は相対座標でのみ発生するため、ラザフォードが解決したのと同等の一体問題^{[47] : 58}が得られますが、質量と散乱角度の解釈が異なります。

反動を含むより正確な式では、アルファ粒子の質量ではなく、換算質量を使用します。^{[47] : 80} 質量が197の金によるラザフォードのアルファ粒子散乱では、換算質量はアルファ粒子の質量に非常に近いです。 質量が27のより軽いアルミニウムの場合、効果はより大きくなり、 質量の差は13%になります。ラザフォードはこの違いに注目し、より軽い原子で実験を行うことを提案しました。^{[39] : 677}$${\displaystyle \mu ={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$$$${\displaystyle \mu _{\text{Au}}={\cfrac {4\times 197}{4+197}}=3.92\approx 4}$$$${\displaystyle \mu _{\text{Au}}={\cfrac {4\times 27}{4+27}}=3.48}$$

2つ目の効果は散乱角の変化です。相対座標系または質量中心フレームの角度は、実験フレームの角度に変換する必要があります。^{[47] ：85} 下付き文字Lで表される実験フレームでは、一般的な中心ポテンシャルの散乱角は、 ラザフォードが使用した金のような重い粒子の場合、係数はほとんどすべての角度で無視できます。すると、実験角度と相対角度は同じになります。 $${\displaystyle \tan \Theta _{L}={\frac {\sin \Theta }{\cos \Theta +(m_{1}/m_{2})}}}$$${\displaystyle m_{1}/m_{2}=4/197\approx 0.02\ll 1}$${\displaystyle \Theta _{L}\approx \Theta }$

散乱角の変化は、実験との比較に必要な微分断面積の式を変える。任意の中心ポテンシャルに対して、実験フレームでの微分断面積は質量中心フレームでの微分断面積と次の式で関係している^{[47] ：88} ここで$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}_{L}={\frac {\left(1+2s\cos \Theta +s^{2}\right)^{3/2}}{1+s\cos \Theta }}{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}}$$${\displaystyle s=m_{1}/m_{2}}$

1919年、ラザフォードは水素原子によるアルファ粒子の散乱を分析し、^[56] 1911年の式の限界が質量換算補正後でも示された。^{[57] : 191} He、Mg、Alについても同様の小さな偏差が見られ、^[58]これらの場合アルファ粒子は原子核を貫通しているという結論に至った。これにより原子核の大きさを初めて推定することができた。^{[1] : 255}その後、サイクロトロン加速によるアルファ粒子のより重い原子核への衝突に基づく実験により、アルファ粒子と原子核表面の相互作用を分析するためのデータが提供されました。しかし、アルファ粒子をより深く押し込むエネルギーでは、アルファ粒子は原子核によって強く吸収され、より複雑な相互作用が起こります。^{[57] : 228  [24] : 441}

ラザフォードのアルファ粒子散乱の扱いは古典力学に依存しているように見えるが、粒子は原子より小さいサイズである。しかし、理論の重要な側面は、最終的には運動量とエネルギーの保存則に依存している。これらの概念は、古典的および量子的領域に等しく適用され、ラザフォードによって開発された散乱の考え方は、中性子-陽子散乱のような原子より小さい弾性散乱問題に適用される。^{[47] : 89}

このセクションでは、ラザフォードが使用したエネルギー中心のアプローチではなく、力中心のアプローチを使用して、単一原子の遭遇における衝突パラメータと偏向角の関係を見つけるための代替方法を紹介します。

散乱形状はこの図に示されている^{[59] [55] : 106}

衝突パラメータ bは、アルファ粒子の初期軌道と原子核を通る平行線との間の距離である。bの値が小さいほど、粒子は原子に近づくため、より大きな偏向力を感じ、結果として偏向角θが大きくなります。^{[47] ：82}目標は、bと偏向角の関係を見つけることです。

アルファ粒子の軌道は双曲線であり、運動量の正味の変化は対称軸に沿って進む。図の幾何学と初期および最終運動量ベクトルの大きさから、の大きさは偏向角と関連していることがわかる: ^{[55] : 111}${\displaystyle \Delta {\vec {P}}}$${\displaystyle |{\vec {P}}_{i}|=|{\vec {P}}_{f}|=mv}$${\displaystyle \Delta {\vec {P}}}$

$${\displaystyle \Delta P=2mv\cdot \sin {\frac {\theta }{2}}.}$$

bを含んだ2番目の式は偏向角との関係を示します。運動量の純変化は、積分を使用して軌道に沿って運動量に小さな増分を加えることでも求められます。 ${\displaystyle \Delta P}$

$${\displaystyle \Delta P=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {kq_{a}q_{g}}{r^{2}}}\cdot \cos \varphi \cdot \mathrm {\mathrm {d} } t}$$

ここで、はアルファ粒子と原子核の中心の間の距離であり、は対称軸からの角度です。これら 2 つは、時刻 におけるアルファ粒子の極座標です。ここで、アルファ粒子と原子の間の線に沿って及ぼされるクーロン力は であり、係数 は偏向を引き起こす力の部分を示します。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\frac {kq_{a}q_{g}}{r^{2}}}}$${\displaystyle \cos \varphi }$

極座標rとφは積分においてtに依存しますが、粒子が移動すると両方とも変化するため、それらは互いに関連している必要があります。積分変数と積分限界をtからφに変更すると、この関係が明確になります。^{[55] ：112}

$${\displaystyle \Delta P=\int \limits _{-{\frac {\pi -\theta }{2}}}^{\frac {\pi -\theta }{2}}{\frac {kq_{a}q_{g}}{r^{2}}}\cdot \cos \varphi \cdot {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \varphi }}\cdot \mathrm {d} \varphi }$$

係数は粒子の角速度の逆数です。力は粒子と原子の間の線に沿ってのみ作用するため、角速度に比例する 角運動量は一定です。 この角運動量保存の法則により、 の式は次のようになります。 ${\displaystyle \mathrm {d} t/\mathrm {d} \varphi =1/\omega }$$${\displaystyle mvb=mr^{2}\omega =mr^{2}{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}}$$${\displaystyle \mathrm {d} t/\mathrm {d} \varphi }$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \varphi }}={\frac {r^{2}}{vb}}}$$

Δ Pの積分を置き換えると、同時にrへの依存性が排除されます。 ${\displaystyle \mathrm {d} t/\mathrm {d} \varphi }$

$${\displaystyle \Delta P=\int \limits _{-{\frac {\pi -\theta }{2}}}^{\frac {\pi -\theta }{2}}{\frac {kq_{a}q_{g}}{vb}}\cdot \cos \varphi \cdot \mathrm {d} \varphi }$$

$${\displaystyle ={\frac {kq_{a}q_{g}}{vb}}\left(\sin \left[{\frac {\pi -\theta }{2}}\right]-\sin \left[-{\frac {\pi -\theta }{2}}\right]\right)}$$

この結果を簡略化するために三角関数の恒等式 とを適用すると、の2番目の式が得られます。 ${\displaystyle \sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )=\cos \theta }$${\displaystyle \sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta }$${\displaystyle \Delta P}$

$${\displaystyle \Delta P={\frac {kq_{a}q_{g}}{vb}}\cdot 2\cos {\frac {\theta }{2}}=2mv\cdot \sin {\frac {\theta }{2}}}$$θをbの関数として 解くと、最終結果は次のようになる。

$${\displaystyle \theta =2\arctan \left({\frac {kq_{a}q_{g}}{mv^{2}b}}\right)}$$

次の値を使用します。

• q _g = 金原子の正電荷 =79  q _e =1.26 × 10 ⁻¹⁷  ℃
• q _a = アルファ粒子の電荷 =2  q _e =3.20 × 10 ⁻¹⁹  ℃
• v = アルファ粒子の速度 =1.53 × 10 ⁷ メートル/秒
• m = アルファ粒子の質量 =6.64 × 10 ⁻²⁷  kg
• k =クーロン定数=8.987 × 10 ⁹  N·m ² /C ²

衝突パラメータbは金の原子核の半径に等しい。7 × 10 ⁻¹⁵  m の場合、推定偏向角θは 2.56 ラジアン (147°) になります。bが金原子の半径 (1.44 × 10 ⁻¹⁰  m）、推定角度はわずか0.0003ラジアン（0.02°）である。^{[55] : 109  [60]}

JJトムソン自身はアルファ粒子の散乱を研究しなかったが、ベータ粒子の散乱は研究した。1910年の論文「急速に移動する帯電粒子の散乱について」で、トムソンはベータ粒子が原子と衝突して散乱する様子をモデル化した方程式を提示した。^{[61] [8] : 277}ラザフォードは1911年の論文「物質によるα粒子とβ粒子の散乱と原子の構造」で、これらの方程式をアルファ粒子の散乱に適用した。

トムソンの1910年の論文「急速に移動する帯電粒子の散乱について」では、プラムプディングモデルの正球が入射するベータ粒子に与える影響を分離した次の式（この記事の表記法）が提示されました。^{[61] [8] : 278}

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{2}={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {kq_{e}q_{g}}{mv^{2}R}}}$$

トムソンはどのようにしてこの式にたどり着いたのか説明していないが、このセクションでは推測を提示すると同時に、この式をアルファ粒子の散乱に適応させている。^[62]

半径Rで質量が金原子と等しい、純粋な正電荷 (電子なし) の正球を通過するアルファ粒子を考えてみましょう。アルファ粒子は、球の端をかすめる程度に接近し、そこが球の電界が最も強くなる場所です。

この記事の前のセクションでは、入ってくる荷電粒子が固定位置にある別の荷電粒子によってどのように偏向されるかをモデル化する方程式を紹介しました。

$${\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {kq_{a}q_{g}}{mv^{2}b}}}$$

この式は、衝突パラメータb を球の半径Rと同じ値に設定することにより、図 4 の特殊なケースでの偏向角を計算するために使用できます。アルファ粒子が球を貫通しない限り、電荷球と点電荷の間に実質的な違いはありません。

• q _g = 金原子の正電荷 =79  q _e =1.26 × 10 ⁻¹⁷  ℃
• q _a = アルファ粒子の電荷 =2  q _e =3.20 × 10 ⁻¹⁹  ℃
• R = 金原子の半径 =1.44 × 10 ⁻¹⁰ メートル
• v = アルファ粒子の速度 =1.53 × 10 ⁷ メートル/秒
• m = アルファ粒子の質量 =6.64 × 10 ⁻²⁷  kg
• k =クーロン定数=8.987 × 10 ⁹  N·m ² /C ²

$${\displaystyle \theta _{2}=2\arctan {\frac {kq_{a}q_{g}}{mv^{2}R}}\approx 0.02{\text{ degrees}}}$$

これは、起こり得る最大の偏向が非常に小さく、金原子の正球を通過するアルファ粒子の経路がほぼ直線になることを示しています。平均偏向はさらに小さくなるため、球を通過する粒子の経路の長さは長さ L の 弦として扱われます。

均一に分布した正電荷の球体内では、球体を通過する経路上の任意の点においてアルファ粒子に及ぼされる力は^{[63] [64] : 106 である。}

$${\displaystyle F={\frac {kq_{a}q_{g}}{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{3}}{R^{3}}}}$$

この力の横方向成分は

$${\displaystyle F_{y}={\frac {kq_{a}q_{g}}{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{3}}{R^{3}}}\cdot \cos \varphi ={\frac {bkq_{a}q_{g}}{R^{3}}}}$$

したがって、 運動量p _yの横方向の変化は

$${\displaystyle \Delta p_{y}=F_{y}t={\frac {bkq_{a}q_{g}}{R^{3}}}\cdot {\frac {L}{v}}}$$

偏向角は次のように表される。 ${\displaystyle \theta _{2}}$

$${\displaystyle \tan \theta _{2}={\frac {\Delta p_{y}}{p_{x}}}={\frac {bkq_{a}q_{g}}{R^{3}}}\cdot {\frac {L}{v}}\cdot {\frac {1}{mv}}}$$

ここでp _{x は}平均水平運動量で、アルファ粒子が球を横切るときに水平方向の力が方向を変えると、最初は減少し、その後回復します。偏向は非常に小さいため、は に等しいとみなされます。弦の長さは、ピタゴラスの定理によります。 ${\displaystyle \tan \theta _{2}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle L=2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}$

平均偏向角は、球体全体のbとLの値の角度を合計し、球体の断面積で割った値です。 ${\displaystyle {\bar {\theta }}_{2}}$

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{2}={\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}{\frac {bkq_{a}q_{g}}{R^{3}}}\cdot {\frac {2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}{v}}\cdot {\frac {1}{mv}}\cdot 2\pi b\cdot \mathrm {d} b}$$

$${\displaystyle ={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {kq_{a}q_{g}}{mv^{2}R}}}$$

これはトムソンの 1910 年の論文の公式と一致します。

アルファ粒子が半径Rの原子を長さLの経路に沿って通過する場合を考えます。原子電子の影響を分離するため、正球の影響は無視されます。正球の場合と同様に、電子による偏向は非常に小さく、経路は実質的に直線になると予想されます。

アルファ粒子の軌道から任意の距離s以内にある電子の平均距離は、 ⁠1/2⁠ s。したがって、電子あたりの平均偏向は

$${\displaystyle 2\arctan {\frac {kq_{a}q_{e}}{mv^{2}{\tfrac {1}{2}}s}}\approx {\frac {4kq_{a}q_{e}}{mv^{2}s}}}$$

ここでq _{e は}素電荷である。アルファ粒子の軌道の周りのこの任意の効果円筒内のすべての電子による平均正味偏向は

$${\displaystyle \theta _{1}={\frac {4kq_{a}q_{e}}{mv^{2}s}}{\sqrt {N_{0}\pi s^{2}L}}}$$

ここで、N _{0 は}単位体積あたりの電子数であり、このシリンダーの体積です。 ${\displaystyle \pi s^{2}L}$

Lを直線として 扱い、 bはこの直線の中心からの距離です。したがって、の平均は ${\displaystyle L=2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {L}}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}{\sqrt {2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}}\cdot 2\pi b\cdot \mathrm {d} b={\frac {4}{5}}{\sqrt {2R}}}$$

平均たわみ を得るには、の式に次の値を代入します。 ${\displaystyle {\bar {\theta }}_{1}}$${\displaystyle {\sqrt {L}}}$${\displaystyle \theta _{1}}$

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{1}={\frac {4kq_{a}q_{e}}{mv^{2}s}}{\sqrt {N_{0}\pi s^{2}}}\cdot {\frac {4}{5}}{\sqrt {2R}}}$$

$${\displaystyle ={\frac {16}{5}}\cdot {\frac {kq_{a}q_{e}}{mv^{2}R}}{\sqrt {\frac {3N}{2}}}}$$

ここで、N は原子内の電子の数であり、 に等しい。 ${\displaystyle N_{0}{\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}}$

上記のトムソン方程式を、次の値を使用して、金原子と衝突するアルファ粒子に適用します。

• q _g = 金原子の正電荷 =79  q _e =1.26 × 10 ⁻¹⁷  ℃
• q _a = アルファ粒子の電荷 =2  q _e =3.20 × 10 ⁻¹⁹  ℃
• q _e =素電荷=1.602 × 10 ⁻¹⁹  ℃
• R = 金原子の半径 =1.44 × 10 ⁻¹⁰ メートル
• v = アルファ粒子の速度 =1.53 × 10 ⁷ メートル/秒
• m = アルファ粒子の質量 =6.64 × 10 ⁻²⁷  kg
• k =クーロン定数=8.987 × 10 ⁹  N·m ² /C ²
• N = 金原子の電子数 = 79

アルファ粒子が原子電子によって偏向される平均角度は次のように表される。

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{1}={\frac {16}{5}}\cdot {\frac {kq_{a}q_{e}}{mv^{2}R}}{\sqrt {\frac {3N}{2}}}\approx 0.00007{\text{ radians or }}0.004{\text{ degrees}}}$$

アルファ粒子が正の球によって偏向される平均角度は次のとおりです。

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{2}={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {kq_{a}q_{g}}{mv^{2}R}}\approx 0.00013{\text{ radians or 0.007 degrees}}}$$

単一の原子衝突による正味の偏向は次のようになります。

$${\displaystyle {\bar {\theta }}={\sqrt {{\bar {\theta }}_{1}^{2}+{\bar {\theta }}_{2}^{2}}}\approx 0.008{\text{ degrees}}}$$

平均すると、正の球と電子はどちらも、1 回の衝突ではほとんど偏向しません。トムソンのモデルは、原子の電子と正の球からの多数の単一散乱イベントを組み合わせたものです。各衝突により、合計散乱角が増減する可能性があります。一連の衝突がすべて同じ方向に並ぶことは非常にまれです。結果は、ランダム ウォークと呼ばれる標準的な統計問題に似ています。原子との 1 回の衝突におけるアルファ粒子の平均偏向角が である場合、 n 回の衝突 後の平均偏向は です。${\displaystyle {\bar {\theta }}}$

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{n}={\bar {\theta }}{\sqrt {n}}}$$

アルファ粒子がn 回偏向した後に合計 90° 以上偏向される確率は次のように表されます。

$${\displaystyle e^{-(90/{\bar {\theta }}_{n})^{2}}}$$

ここでeはオイラー数（≈2.71828...）である。厚さ1.5マイクロメートルの金箔は、約10,000個の原子の厚さに相当する。原子あたりの平均偏向が0.008°の場合、10,000回の衝突後の平均偏向は0.8°となる。アルファ粒子が90°以上偏向される確率は^{[64] ：109 となる。}

$${\displaystyle e^{-(90/0.8)^{2}}\approx e^{-12656}\approx 10^{-5946}}$$

トムソンのプラムプディングモデルでは、アルファ粒子が 10,000 回の衝突後に 90° 以上偏向する可能性が数学的にありますが、そのような事象の確率は非常に低く、検出できません。この非常に小さい数値は、トムソンのモデルでは 1909 年のガイガー・マードセン実験の結果を説明できないことを示しています。

^{ラザフォードは、原子の半径は一般に10 −10} m程度で、金原子の正電荷は水素原子の約100倍であると仮定した（100  q _e）。^[40]金の原子量は19世紀初頭から197程度であることが知られていた。^[65] 1906年の実験でラザフォードはアルファ粒子の電荷を測定した。2  q _eと原子量は4であり、ラドンから放出されるアルファ粒子の速度は1.70 × 10 ⁷  m/s。^[66]ラザフォードは、アルファ粒子は本質的に2つの電子を取り除いたヘリウム原子であると推測しましたが、当時の科学者は原子がいくつの電子を持っているかについて大まかな考えしか持っていなかったため、アルファ粒子には最大10個の電子が残っていると考えられていました。[ ^{8] : 285} 1906年に、JJトムソンは素電荷を約3.4 × 10 ⁻¹⁰  esu（1.3 × 10 ⁻¹⁹  C）。^[67] 1909年にロバート・A・ミリカンはより正確な測定値を提供した。1.5924 × 10 ⁻¹⁹  Cであり、現在認められている測定値からわずか0.6%しか外れていない。ジャン・ペランは1909年に水素の質量を測定した。1.43 × 10 ⁻²⁷  kg、^[68]もしアルファ粒子がその4倍の重さであれば、その絶対質量は5.72 × 10 ⁻²⁷  kg .

ラザフォードの時代の慣習では、電荷は静電単位、距離はセンチメートル、力はダイン、エネルギーはエルグで測定されていました。現代の慣習では、電荷はクーロン、距離はメートル、力はニュートン、エネルギーはジュールで測定されます。クーロンを使用する場合は、方程式でクーロン定数( k )を使用する必要があります。この記事では、ラザフォードとトムソンの方程式を現代の表記法に合わせて書き直しました。

• 原子論
• ラザフォード後方散乱分光法
• 散乱実験のリスト

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• 実験の説明（cambridgephysics.orgより）