無限大の残余

数学の一分野である複素解析において、無限大留数とは、無限大の外半径を持つ環状空間上の正則関数の留数である。無限大とは、局所空間をコンパクトにするために追加された点である（この場合は1点コンパクト化）。この空間はリーマン球面と同型である。^[1]無限大留数を使用して、いくつかの積分を計算することができる。 ${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}$

環状空間（中心が 0、内半径が無限大、外半径が無限大）上の正則関数fを考えると、関数fの無限大における留数は、通常の留数を使って次のように定義できます。 ${\displaystyle A(0,R,\infty )}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\operatorname {Res} \left({1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right),0\right)}$

したがって、無限遠での研究を原点で の研究に移行することができます。${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(1/z)}$

注意してください、我々は ${\displaystyle \forall r>R}$

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )={-1 \over 2\pi i}\int _{C(0,r)}f(z)\,dz}$

正則関数の場合、孤立した特異点における留数と無限遠における留数の合計はゼロになるため、次のように表すことができます。

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} \left(f\left(z\right),a_{k}\right).}$

無限大におけるの留数の定義は、におけるの留数でなければならないと最初に推測する人もいるかもしれません。しかし、代わりに考慮する理由は、関数の留数ではなく、微分形式の留数​​を取るためです。つまり、無限大における の留数は、におけるの留数です。 ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(1/z)}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle -{\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right)}$${\displaystyle f(z)dz}$${\displaystyle f\left({\frac {1}{z}}\right)d\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right)dz}$${\displaystyle z=0}$

• リーマン球面
• 代数多様体
• 留数定理

• マレー R. シュピーゲル、変数複合体、Schaum、ISBN  2-7042-0020-3
• Henri Cartan、Théorie élémentaire des fonctions Analytiques d'une ou plusieurs variables complexes、Hermann、1961
• Mark J. Ablowitz & Athanassios S. Fokas、「複素変数: 入門と応用 (第 2 版)」、2003 年、ISBN 978-0-521-53429-1、P211-212。