経済学 において 、 ドブリューの定理は 選好表現定理、 つまり実数値の効用関数による 選好順序 の表現に関する定理 です。この定理は 1950 年代に
ジェラール・ドブリューによって証明されました。
背景 ある人物が「A と B のどちらが好みですか?」という形式の質問をされたとします (A と B はオプション、実行するアクション、世界の状態、消費バンドルなどです)。すべての応答が記録され、人物の 好みの関係が形成されます。各オプションのペア間の人物の好みを記録する代わりに、単一の 効用関数 (エージェントが A を B より好む場合にのみオプション A の効用がオプション B の効用よりも大きくなるように、各オプションに実数をマッピングする関数)を使用する方が はるかに便利です。
デブリューの定理は、次のような疑問に答えます。選好関係のどのような条件が、代表的な効用関数の存在を保証するのか?
順序効用関数の存在 1954年の定理 [1] [2]は、大まかに言えば、完全で推移的で連続的な選好関係はすべて、 連続的な順序効用関数 で表すことができると述べている 。
声明 定理は通常、有限財の空間に適用されます。ただし、より一般的な設定にも適用できます。一般的な仮定は次のとおりです。
X は位相空間 です 。
⪯
{\displaystyle \preceq}
は、X 上の全 関係 (すべての項目が比較可能) かつ 推移的な 関係です。
⪯
{\displaystyle \preceq}
は連続 です 。これは、次の同値な条件が満たされていることを意味します。
任意の に対して 、集合 と は において 位相的に閉じてい ます 。
x ∈ バツ
{\displaystyle x\in X}
{ ええ
|
ええ ⪯ x }
{\displaystyle \{y|y\preceq x\}}
{ ええ
|
ええ ⪰ x }
{\displaystyle \{y|y\succeq x\}}
バツ
{\displaystyle X}
となる すべての数列に対して 、すべての i に対してとなるなら 、すべての i に対してとなるなら、
（
x
私
）
{\displaystyle (x_{i})}
x
私
→
x
∞
{\displaystyle x_{i}\to x_{\infty}}
x
私
⪯ ええ
{\displaystyle x_{i}\preceq y}
x
∞
⪯ ええ
{\displaystyle x_{\infty }\preceq y}
x
私
⪰ ええ
{\displaystyle x_{i}\succeq y}
x
∞
⪰ ええ
{\displaystyle x_{\infty }\succeq y}
以下の各条件は、選好関係を表す実数値連続関数の存在を保証します 。条件は次第に一般化され、たとえば、条件 1 は条件 2 を意味し、条件 2 は条件 3 を意味し、条件 3 は条件 4 を意味します。
⪯
{\displaystyle \preceq}
1.関係 の 同値類 の集合 ( およびの場合に限り 、によって定義される ) は 可算集合 である。
〜
{\displaystyle \sim}
x 〜 ええ
{\displaystyle x\sim y}
x ⪯ ええ
{\displaystyle x\preceq y}
x ⪰ ええ
{\displaystyle x\succeq y}
2. X の可算な部分集合 が存在し、 同値でない要素のすべてのペアに対して 、それらを分離する要素 ( ) が存在する。
ず = {
ず
0
、
ず
1
、 。 。 。 }
{\displaystyle Z=\{z_{0},z_{1},...\}}
x ≺ ええ
{\displaystyle x\prec y}
ず
私
∈ ず
{\displaystyle z_{i}\in Z}
x ⪯
ず
私
⪯ ええ
{\displaystyle x\preceq z_{i}\preceq y}
3. Xは 分離可能 であり、 かつ接続されている 。
4. X は第 2 可算 です。これは、開集合の 可算集合 Sが存在し 、X 内のすべての開集合がクラス S の集合の和集合であること
を意味します。
4番目の結果の証明には欠陥があったが、後にデブリューはそれを修正した。 [3]
例 A. を 標準位相 （ユークリッド位相） とします。 の場合に限り、次の優先関係を定義します。 は 連続です。なぜなら、任意の に対して 、集合 と が閉じた半平面だからです。 同値類の集合は無数であるため、条件 1 には違反しています。 しかし、有理座標を持つペアの集合である Z によって条件 2 は満たされます。 X は分離可能かつ連結であるため、条件 3 も満たされます。 したがって、 を表す連続関数が存在します 。 このような関数の例は です 。
バツ =
R
2
{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}
(
x
,
y
)
⪯
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle (x,y)\preceq (x',y')}
x
+
y
≤
x
′
+
y
′
{\displaystyle x+y\leq x'+y'}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
{
(
x
′
,
y
′
)
|
x
′
+
y
′
≤
x
+
y
}
{\displaystyle \{(x',y')|x'+y'\leq x+y\}}
{
(
x
′
,
y
′
)
|
x
′
+
y
′
≥
x
+
y
}
{\displaystyle \{(x',y')|x'+y'\geq x+y\}}
⪯
{\displaystyle \preceq }
u
(
x
,
y
)
=
x
+
y
{\displaystyle u(x,y)=x+y}
B. を 上記の標準位相とします。 辞書式優先順位 関係はその位相では連続ではありません。たとえば、 ですが、(5,1) の周りのすべての球には となる点があり 、これらの点は より劣っています 。実際、この関係は連続した実数値関数では表すことができません (実際、非連続関数でも表すことはできません)。
X
=
R
2
{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}
(
5
,
1
)
≻
(
5
,
0
)
{\displaystyle (5,1)\succ (5,0)}
x
<
5
{\displaystyle x<5}
(
5
,
0
)
{\displaystyle (5,0)}
証明 証拠は以下から。 [2]
表記: 任意の に対して を 定義し 、同様に他の区間を定義します。
x
,
y
∈
X
{\displaystyle x,y\in X}
(
x
,
y
)
=
{
z
∈
X
:
x
≺
z
≺
y
}
{\displaystyle (x,y)=\{z\in X:x\prec z\prec y\}}
1、2の証明 1 については、任意の可算な線形順序は のサブセットに同型であるという命題を使用します 。
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
2 については、まず命題を使用して 順序を保存する効用を構築します。次に、 のいずれにも等しくない各 について 、その上側デデキント切断 と下側 デデキント切断 を構築します。集合 の密度により 、そのような 2 つの は、 それらのデデキント切断が等しい場合に限り、同じ順序を持ちます。
u
:
{
z
1
,
z
2
,
.
.
.
}
→
Q
{\displaystyle u:\{z_{1},z_{2},...\}\to \mathbb {Q} }
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
z
n
{\displaystyle z_{n}}
(
x
,
+
∞
)
=
{
z
n
:
z
n
≻
x
}
,
(
−
∞
,
x
)
=
{
z
n
:
z
n
≺
x
}
{\displaystyle (x,+\infty )=\{z_{n}:z_{n}\succ x\},(-\infty ,x)=\{z_{n}:z_{n}\prec x\}}
{
z
1
,
z
2
,
.
.
.
}
{\displaystyle \{z_{1},z_{2},...\}}
x
,
x
′
{\displaystyle x,x'}
次に、 を定義します 。これにより、効用関数 が定義されます 。
u
(
x
)
=
1
2
(
sup
u
(
(
−
∞
,
x
)
)
+
inf
u
(
(
x
,
+
∞
)
)
)
{\displaystyle u(x)={\frac {1}{2}}(\sup u((-\infty ,x))+\inf u((x,+\infty )))}
u
:
X
→
[
−
∞
,
+
∞
]
{\displaystyle u:X\to [-\infty ,+\infty ]}
最後に、 双曲正接 関数を使用して 、拡張された実数直線を有限の区間に圧縮します。
t
a
n
h
:
[
−
∞
,
+
∞
]
→
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle tanh:[-\infty ,+\infty ]\to [-1,1]}
3の証明 が上で自明である 場合 、 を定義します 。したがって、 は自明ではないと仮定します。
⪰
{\displaystyle \succeq }
X
{\displaystyle X}
u
=
0
{\displaystyle u=0}
が において稠密である 場合、 において が 存在 する として、
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
x
≻
y
{\displaystyle x\succ y}
X
{\displaystyle X}
z
∈
Y
{\displaystyle z\in Y}
x
≻
z
≻
y
{\displaystyle x\succ z\succ y}
区間は なので空ではありません 。
(
−
∞
,
x
)
,
(
y
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,x),(y,+\infty )}
y
∈
(
−
∞
,
x
)
,
x
∈
(
y
,
+
∞
)
{\displaystyle y\in (-\infty ,x),x\in (y,+\infty )}
の連続性により 、両方の区間は の開部分集合です 。 の全体性により 、それらの和は のすべてです 。 は連結なので、それらの共通部分は空ではありません。したがって となるような ものが存在します 。
≻
{\displaystyle \succ }
X
{\displaystyle X}
≻
{\displaystyle \succ }
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
z
′
∈
X
{\displaystyle z'\in X}
x
≻
z
′
≻
y
{\displaystyle x\succ z'\succ y}
は において稠密であり 、 は連続である ため、 となるような 十分近い が存在します 。
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
≻
{\displaystyle \succ }
z
∈
Y
{\displaystyle z\in Y}
x
≻
z
≻
y
{\displaystyle x\succ z\succ y}
は分離可能なので 、パート 2 を適用します。
X
{\displaystyle X}
4の証明 基底集合の可算集合を列挙します 。各 について 、代表的な を 1 つ選び 、それらを 1 つの集合 にまとめます。これは、 およびが空でない 場合 、 が存在する ことを意味し 、 となります 。例外に対処することが残っています。
S
1
,
S
2
,
.
.
.
{\displaystyle S_{1},S_{2},...}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
z
n
∈
S
n
{\displaystyle z_{n}\in S_{n}}
Z
{\displaystyle Z}
x
,
y
∈
S
{\displaystyle x,y\in S}
x
≺
y
{\displaystyle x\prec y}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
z
n
∈
S
n
⊂
(
x
,
y
)
{\displaystyle z_{n}\in S_{n}\subset (x,y)}
x
≺
z
n
≺
y
{\displaystyle x\prec z_{n}\prec y}
「ギャップ ペア」を、 およびが空である もの として定義します。 任意のギャップ ペアに対して、 と なる 代表のペアが 1 つだけ存在するような 代表の集合を選択します 。
x
,
y
∈
S
{\displaystyle x,y\in S}
x
≺
y
{\displaystyle x\prec y}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
x
i
,
y
i
{\displaystyle x_{i},y_{i}}
x
,
y
{\displaystyle x,y}
x
i
,
y
i
{\displaystyle x_{i},y_{i}}
x
i
∼
x
,
y
i
∼
y
{\displaystyle x_{i}\sim x,y_{i}\sim y}
各ペア について 、 、 と なるものをいくつか選択します。 で あれば となる ことは簡単に確認できます 。したがって、ギャップペアの代表の数は最大で可算数です。
x
i
,
y
i
{\displaystyle x_{i},y_{i}}
n
i
{\displaystyle n_{i}}
S
n
i
⊂
(
−
∞
,
y
i
)
{\displaystyle S_{n_{i}}\subset (-\infty ,y_{i})}
x
i
∈
S
n
i
{\displaystyle x_{i}\in S_{n_{i}}}
S
n
i
=
S
n
j
{\displaystyle S_{n_{i}}=S_{n_{j}}}
x
i
∼
x
j
{\displaystyle x_{i}\sim x_{j}}
これで集合は 可算となり、パート 2 を使用します。
Z
∪
{
x
i
}
i
∪
{
y
i
}
i
{\displaystyle Z\cup \{x_{i}\}_{i}\cup \{y_{i}\}_{i}}
アプリケーション ダイアモンド [4]は、 ドブリューの定理を空間に適用しました。空間は、上限計量（ L無限大 を参照）によって誘導される位相を持つすべての有界実数値シーケンスの集合 です。Xは、無限の期間を持つすべてのユーティリティストリームの集合を表します。
X
=
ℓ
∞
{\displaystyle X=\ell ^{\infty }}
全体的、推移的、継続的である という要件に加えて、彼は 感度 要件を追加しました。
⪯
{\displaystyle \preceq }
ストリームが どの期間でも ストリームより小さい場合は、 です 。
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
≺
y
{\displaystyle x\prec y}
ストリームが どの期間においても ストリームより小さいか等しい場合、 .
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
⪯
y
{\displaystyle x\preceq y}
これらの要件の下では、すべてのストリームは 定効用ストリームと同等であり、すべての 2 つの定効用ストリームは、合理的な効用を持つ定効用ストリームによって分離可能であるため、Debreu の条件 2 が満たされ、選好関係は実数値関数によって表すことができます。
x
{\displaystyle x}
存在結果は、X のトポロジーが割引メトリックによって誘導されるトポロジーに変更された場合でも有効です。
d
(
x
,
y
)
=
∑
t
=
1
∞
2
−
t
|
x
t
−
y
t
|
{\displaystyle d(x,y)=\sum _{t=1}^{\infty }{2^{-t}|x_{t}-y_{t}|}}
順序効用関数の加法性 1960年の定理3 [5]は、大まかに言えば、商品空間に3つ以上の構成要素が含まれ、構成要素のすべてのサブセットが他の構成要素から優先的に独立している場合、選好関係は 加法的な 価値関数によって表すことができる、と述べています 。
声明 一般的な仮定は次のとおりです。
すべてのバンドルの空間である X は、 n 個 の商品空間 の直積です(つまり、バンドルの空間は n 個 の商品の組の集合です )。
X
=
×
i
=
1
n
X
i
{\displaystyle X=\times _{i=1}^{n}{X_{i}}}
⪯
{\displaystyle \preceq }
は、X 上の全 関係 (すべての項目が比較可能) かつ 推移的な 関係です。
⪯
{\displaystyle \preceq }
連続的です（上記参照）。 を表す 順序効用 関数 が存在します 。
v
{\displaystyle v}
⪯
{\displaystyle \preceq }
この関数は、 n個の因子に対する n 個の順序効用関数 の合計として表すことができる場合、 加法的と 呼ばれます 。
v
{\displaystyle v}
v
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
=
∑
i
=
1
n
k
i
v
i
(
x
i
)
{\displaystyle v(x_{1},...,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}{k_{i}v_{i}(x_{i})}}
ここで、は 定数です。
k
i
{\displaystyle k_{i}}
指数の集合 が与えられた場合 、 他の商品の一定量を前提 として に誘導される 選好関係がこれらの一定量に依存しない場合、商品の集合は 選好的に独立していると 呼ばれます 。
I
{\displaystyle I}
(
X
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}
⪯
{\displaystyle \preceq }
(
X
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}
(
X
i
)
i
∉
I
{\displaystyle (X_{i})_{i\notin I}}
が加法的である場合 、明らかに商品のすべてのサブセットは優先的に独立しています。
v
{\displaystyle v}
すべての商品のサブセットが選好的に独立しており、かつ少なくとも 3 つの商品が必須である場合 (つまり、それらの数量が選好関係に影響を及ぼす場合 )、 は 加法的です。
⪯
{\displaystyle \preceq }
v
{\displaystyle v}
さらに、その場合、増加する 線形 変換まで一意です 。
v
{\displaystyle v}
直感的な構成的証明については、 「順序効用 - 3 つ以上の財の加法性」 を参照してください。
基数効用に関する定理 1960 年の定理 1 [5]は、宝くじに対する好みを扱っています。これは、1947 年の フォン ノイマン-モルゲンシュテルンの効用定理 の改良版と見ることができます 。以前の定理では、エージェントは任意の確率で宝くじに対する好みを持っていると仮定していました。デブリューの定理はこの仮定を弱め、エージェントは平等な確率の宝くじに対する好みを持っているとのみ仮定しています (つまり、エージェントは「B と C の間の平等な確率の宝くじよりも A を好みますか?」という形式の質問にのみ答えることができます)。
正式には、確実な選択肢の集合が存在します 。宝くじの集合は です 。ドブリューの定理によれば、次のようになります。
S
{\displaystyle S}
S
×
S
{\displaystyle S\times S}
すべての確実な選択肢の集合は 連結 かつ 分離可能な空間 である 。
S
{\displaystyle S}
宝くじの集合上の選好関係は 連続的です。つまり、集合 と は すべての に対して 位相的に閉じてい ます 。
S
×
S
{\displaystyle S\times S}
{
(
A
,
B
)
∈
S
×
S
|
(
A
,
B
)
⪯
(
A
′
,
B
′
)
}
{\displaystyle \{(A,B)\in S\times S|(A,B)\preceq (A',B')\}}
{
(
A
,
B
)
∈
S
×
S
|
(
A
,
B
)
⪰
(
A
′
,
B
′
)
}
{\displaystyle \{(A,B)\in S\times S|(A,B)\succeq (A',B')\}}
(
A
,
B
)
∈
S
{\displaystyle (A,B)\in S}
(
A
1
,
B
2
)
⪯
(
A
2
,
B
1
)
{\displaystyle (A_{1},B_{2})\preceq (A_{2},B_{1})}
そして それは
(
A
2
,
B
3
)
⪯
(
A
3
,
B
2
)
{\displaystyle (A_{2},B_{3})\preceq (A_{3},B_{2})}
(
A
1
,
B
3
)
⪯
(
A
3
,
B
1
)
{\displaystyle (A_{1},B_{3})\preceq (A_{3},B_{1})}
すると、宝くじの集合における選好関係を表す
基数効用 関数 u が 存在する。つまり、
u
(
A
,
B
)
=
u
(
A
,
A
)
+
u
(
B
,
B
)
2
{\displaystyle u(A,B)={\frac {u(A,A)+u(B,B)}{2}}}
1960年の定理2 [5] は、選択頻度によって好みが表現されるエージェントを扱っています。エージェントが A と Bの どちらかを選択できる場合、エージェントは Aを 頻繁に選択し 、 Bを 頻繁に選択します 。その値は、 エージェントが B よりも Aを どの程度 好むかを測るものとして解釈できます 。
p
(
A
,
B
)
{\displaystyle p(A,B)}
p
(
B
,
A
)
=
1
−
p
(
A
,
B
)
{\displaystyle p(B,A)=1-p(A,B)}
p
(
A
,
B
)
{\displaystyle p(A,B)}
デブリューの定理は、エージェントの機能 p が 次の条件を満たす場合を述べています。
完全：
p
(
A
,
B
)
+
p
(
B
,
A
)
=
1
{\displaystyle p(A,B)+p(B,A)=1}
4重条件:
p
(
A
,
B
)
≤
p
(
C
,
D
)
⟺
p
(
A
,
C
)
≤
p
(
B
,
D
)
{\displaystyle p(A,B)\leq p(C,D)\iff p(A,C)\leq p(B,D)}
連続性: の場合、 となる C が存在する : 。
p
(
A
,
B
)
≤
q
≤
p
(
A
,
D
)
{\displaystyle p(A,B)\leq q\leq p(A,D)}
p
(
A
,
C
)
=
q
{\displaystyle p(A,C)=q}
すると、 p を表す 基数効用関数 u が 存在する。つまり、
p
(
A
,
B
)
≤
p
(
C
,
D
)
⟺
u
(
A
)
−
u
(
B
)
≤
u
(
C
)
−
u
(
D
)
{\displaystyle p(A,B)\leq p(C,D)\iff u(A)-u(B)\leq u(C)-u(D)}
参照
参考文献
^ Debreu, Gerard (1954). 数値関数による優先順位の表現。 ^ ab Debreu, Gerard (1986). 「6. 数値関数による優先順位の表現」。数理経済学: Gerard Debreu の 20 の論文; Werner Hildenbrand による序文 (第 1 版)。ケンブリッジ [ケンブリッジシャー]: Cambridge University Press。ISBN 0-521-23736-X . OCLC 25466669. ^ Debreu, Gerard (1964). 「パレート効用の連続性特性」. 国際経済評論 . 5 (3): 285–293. doi :10.2307/2525513. ^ Diamond, Peter A. (1965). 「無限ユーティリティストリームの評価」 Econometrica . 33 :170. doi :10.2307/1911893. JSTOR 1911893. ^ abc Debreu, Gerard. 基数効用理論における位相的手法 (PDF) .
![{\displaystyle u:X\to [-\infty ,+\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3752d468da9b1a8b32b653ae8384a6cae414c05)
![{\displaystyle tanh:[-\infty ,+\infty ]\to [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec53a2d552d8e52a4cf6defdc087375df2d6e101)
