グレーコード

反射二進符号は、技術者に知られるようになる以前から、数学パズルに応用されていた。

バイナリ反射グレイコードは、1872年にフランスのルイ・グロスによって記述された、連続的な機械式パズル機構である古典的な中国のリングパズルの基本的な仕組みを表しています。 ^{[ 24 ] [ 11 ]}

これは、 1883 年にフランスのエドゥアール・リュカが考案したゲームに基づくハノイの塔問題の解法ガイドとして役立つ。 ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}同様に、いわゆるブカレストの塔とクラーゲンフルトの塔のゲーム構成は、3 進数および 5 進数のグレイコードを生成する。^{[ 29 ]}

マーティン・ガードナーは、 1972年8月のサイエンティフィック・アメリカン誌の「数学ゲーム」コラムでグレイコードについて分かりやすく解説した。^{[ 30 ]}

このコードは、長さのハイパーキューブグラフ内でハミルトン閉路も形成する。$2d.$^{[ 31 ]}

フランスのエンジニア、エミール・ボードーが、1875年^{[ 32 ]}または1876年^{[ 33 ] [ 34 ]}に印刷電信システムで6ユニット（6ビット）コードから5ユニットコードに変更したとき、彼は反射バイナリコードを使用して印刷ホイール上のアルファベット文字を並べ、3ビットのみを使用して母音にコードを割り当てました。母音と子音がアルファベット順に並べられ、他の記号が適切に配置された5ビット文字コードは、反射バイナリコードとして認識されています。^{[ 11 ]}このコードはボードーコードとして知られるようになり^{[ 35 ]}、わずかな変更を経て、最終的に1932年に国際電信アルファベットNo.1（ITA1、CCITT-1）として採用されました。 ^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}

ほぼ同時期に、ドイツ系オーストリア人のオットー・シェフラー^{[ 39 ]}は、1874年にウィーンで同じ目的で5ビット反射バイナリコードを使用した別の印刷電信機を実証した。^{[ 40 ] [ 11 ]}

互換カラーテレビで使用されるようになった信号方式の発明で有名になったフランク・グレイは、真空管ベースの装置を使用してアナログ信号を反射バイナリコードグループに変換する方法を発明した。1947年に出願されたこの方法と装置は、1953年に特許が付与され^{[ 12 ]}、グレイの名前がコードに定着した。グレイが特許を取得した「PCMチューブ」装置は、ベル研究所のレイモンド・W・シアーズがグレイとウィリアム・M・グッドールと共同で製作したもので、グッドールは反射バイナリコードのアイデアはグレイによるものだと述べている^{[ 41 ] 。}

グレイが最も関心を持っていたのは、アナログ信号をデジタル信号に変換する際の誤差を最小限に抑えるために、これらの符号を利用することだった。彼の符号は、今日でもこの目的で使用されている。

リニア位置エンコーダおよびロータリー位置エンコーダ（絶対エンコーダおよび直交エンコーダ）では、重み付きバイナリ符号化よりもグレイコードが優先的に使用されます。これにより、位置のバイナリ表現において複数のビットが変化する際に、一部のビットが他のビットよりも先に変化することによって誤読が発生する可能性を回避できます。

例えば、ロータリーエンコーダの中には、同心円状のリング（トラック）上に導電性のグレイコードパターンが刻まれたディスクを備えているものがあります。各トラックには、導電性のコードパターンと電気的に接触する固定式の金属製スプリング接点が設けられています。これらの接点が連携して、グレイコード形式の出力信号を生成します。一方、光学式または磁気式のセンサーを用いた非接触機構を採用してグレイコード出力信号を生成するエンコーダもあります。

可動エンコーダの機構や精度に関わらず、コードが読み取り（サンプリング）されるまさにその瞬間に変化する可能性があるため、特定の位置（コード境界）で位置測定誤差が発生する可能性があります。バイナリ出力コードでは、すべてのビットを全く同時に変化させることは不可能なため、位置測定に大きな誤差が生じる可能性があります。位置をサンプリングする時点で、一部のビットが変化し、他のビットが変化していない場合、サンプリングされた位置は不正確になります。絶対エンコーダの場合、指示された位置は実際の位置から大きくずれる可能性があり、インクリメンタルエンコーダの場合は、位置追跡が損なわれる可能性があります。

一方、位置エンコーダで使用されるグレイコードでは、連続する2つの位置のコードが1ビットしか異ならないため、一度に変化するビットは1ビットのみとなります。この場合、最大位置誤差は小さくなり、実際の位置に隣接する位置を示すことになります。

グレイコードのハミング距離特性により、遺伝的アルゴリズムで使用されることがあります。^{[ 13 ]}コードの突然変異により、ほとんどが漸進的な変化が可能になりますが、1ビットの変更で大きな飛躍が生じ、新しい特性につながることもあるため、この分野で役立つ可能性があります。

グレイコードは、 1953年以来カルノー図の軸のラベル付けにも使用されており^{[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]} 、 1958年以来ヘンドラー円グラフにも使用されている^{[ 45 ] [ 46 ][47] [ 48 ] 。これらは}どちらも論理回路最小化のためのグラフィカルな方法である。

現代のデジタル通信において、1次元および2次元グレイコードは、誤り訂正を適用する前の誤り防止において重要な役割を果たします。例えば、QAMのようなデジタル変調方式では、データは通常4ビット以上のシンボルで送信されますが、信号のコンスタレーション図は、隣接するコンスタレーション点によって伝達されるビットパターンが1ビットだけ異なるように配置されます。これを、1ビットの誤りを訂正できる前方誤り訂正と組み合わせることで、受信機は、コンスタレーション点が隣接する点の領域にずれる原因となる伝送エラーを訂正することが可能になります。これにより、伝送システムはノイズの影響を受けにくくなります。

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  コード4-PSK
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  コード8-PSK
• 
  コード16-QAM

デジタルロジック設計者は、異なるクロック周波数で動作する同期ロジック間でマルチビットのカウント情報を伝達するために、グレイコードを広く利用します。このロジックは、異なる「クロックドメイン」で動作していると考えられます。これは、多様なクロック周波数で動作する大型チップの設計において不可欠です。

システムが、ある制御系のオン／オフ状態のすべての組み合わせを順次実行し、制御系の変更に相当なコスト（時間、摩耗、人的作業など）がかかる場合、グレイコードを用いることで、状態の組み合わせごとに設定変更を1回に抑えることができます。例えば、配管システムの手動操作バルブのすべての設定組み合わせをテストする場合などがこれに該当します。

バランスのとれたグレイコードは、すべてのビットを均等な頻度で反転させるように構築できます^{[ 49 ]}。ビット反転が均等に分布しているため、これは次のように最適です。バランスのとれたグレイコードは、各桁のビット反転の最大数を最小化します。

長さが偶数であれば、 2 ⁿ未満の長さのnビットのバイナリ グレイ コードを構築することが可能です。 1 つの方法は、バランスの取れたグレイ コードから始めて、先頭と末尾、または中間の値のペアを削除することです。^{[ 58 ]} OEISシーケンス A290772 ^{[ 59 ]}は、ゼロを含み、最小ビット数を使用する長さ2 nの可能なグレイ シーケンスの数を示しています。

バイナリ反射グレイコード以外にも、多くの特殊なグレイコードが存在します。その一つがn値グレイコード、別名非ブールグレイコードです。名前が示すように、このタイプのグレイコードは符号化に非ブール値を使用します。

例えば、3進（三進）グレイコードでは、 0、1、2 の値を使用します。^{[ 29 ]} ( n , k )-グレイコードは、 k桁のn進グレイコードです。^{[ 60 ]} (3, 2)-グレイコード の要素のシーケンスは、 00、01、02、12、11、10、20、21、22です。( n , k )-グレイコードは、BRGC のように再帰的に構築することも、反復的に構築することもできます。 ( N , k )-グレイコードを反復的に生成するアルゴリズムが ( C言語で) 示されています。    

// 入力: base、digits、value // 出力: Gray // 指定された base と digits を使用して、値を Gray コードに変換します。// 値のシーケンスを反復処理すると、// 一度に 1 つの桁だけが変化する Gray コードのシーケンスになります。void toGray ( unsigned base , unsigned digits , unsigned value , unsigned gray [ digits ]) { unsigned baseN [ digits ]; // エントリごとに 1 つの桁を持つ通常の base-N 数を格納しますunsigned i ; // ループ変数// 通常の baseN 数を baseN 配列に格納します。基数 10 の場合、109 // は [9,0,1] として格納されますfor ( i = 0 ; i < digits ; i ++ ) { baseN [ i ] = value % base ; value = value / base ; } // 通常の baseN 数を同等の Gray コードに変換します。 // ループは最上位桁から始まり、下に進むことに注意してください。 unsigned shift = 0 ; while ( i -- ) { // Gray 桁は、上位桁の合計だけ下にシフトされます。gray [ i ] = ( baseN [ i ] + shift ) % base ; shift = shift + base - gray [ i ]; // シフトが正になるように base から減算します} } // 例// 入力: value = 1899、 base = 10、 digits = 4 // 出力: baseN[] = [9,9,8,1]、 gray[] = [0,1,7,1] // 入力: value = 1900、 base = 10、 digits = 4 // 出力: baseN[] = [0,0,9,1]、 gray[] = [0,1,8,1]

( n , k )-グレイコードには、他にもグレイコードアルゴリズムがあります。上記のアルゴリズムで生成される( n , k )-グレイコードは常に循環的です。Guan ^{[ 60 ]}によるアルゴリズムなど、一部のアルゴリズムはkが奇数の場合にこの性質を持ちません。一方、この方法では一度に1桁しか変化しませんが、ラップ（n - 1から0へのループ）によって変化させることができます。Guanのアルゴリズムでは、カウントが交互に増加と減少するため、2つのグレイコード桁間の数値差は常に1になります。    

グレイコードは一意に定義されるものではなく、そのコードの列の順列もグレイコードとなる。上記の手順で生成されるコードは、桁の重要度が低いほど変化頻度が高くなり、通常の計数方法と類似したものとなる。

スキューバイナリ数システムも参照してください。これは、各増分で最大2桁しか変化しない、3進数システムの変種です。各増分は最大1桁の繰り上がり演算で実行できます。

バイナリ反射グレイコードは多くのシナリオで有用ですが、「均一性」の欠如のため、特定の場合には最適ではありません。^{[ 49 ]}バランス型グレイコードでは、異なる座標位置における変化の数が可能な限り近くなります。これをより正確にするために、遷移シーケンスを持つR進完全グレイサイクルをGとします。${\displaystyle (\delta _{k})}$Gの遷移カウント(スペクトル)は、次のように定義される整数の集合です。

$${\displaystyle \lambda _{k}=|\{j\in \mathbb {Z} _{R^{n}}:\delta _{j}=k\}|\,,{\text{ for }}k\in \mathbb {Z} _{n}}$$

グレイコードは、遷移回数がすべて等しい場合、均一または均一にバランスが取れていると言えます。この場合、次のようになります。${\displaystyle \lambda _{k}={\tfrac {R^{n}}{n}}}$すべてのkに対して。明らかに、${\displaystyle R=2}$このような符号は、nが2のべき乗の場合にのみ存在します。 ^{[ 61 ]} nが2のべき乗でない場合、2つの遷移カウントの差が最大2であるようなバランスの取れた2進符号を構築することが可能です。したがって、（両方のケースを組み合わせると）すべての遷移カウントは、${\displaystyle 2\left\lfloor {\tfrac {2^{n}}{2n}}\right\rfloor }$または${\displaystyle 2\left\lceil {\tfrac {2^{n}}{2n}}\right\rceil }$[ ^{49 ]}グレイコードは、すべての遷移カウントが隣接する2のべき乗である場合、指数的にバランスが取れている可能性があり^、そのようなコードはすべての2のべき乗に対して存在します。^{[ 62 ]}

例えば、バランスの取れた4ビットグレイコードには16の遷移があり、これらは4つの位置すべてに均等に分配できるため（位置ごとに4つの遷移）、均一にバランスが取れています。^{[ 49 ]}

一方、バランスのとれた 5 ビット グレイ コードには合計 32 の遷移があり、これは位置間で均等に分配することはできません。この例では、4 つの位置にそれぞれ 6 つの遷移があり、1 つの位置に 8 つの遷移があります。^{[ 49 ]}

ここでは、 nに対してn桁のバランスのとれたグレイコードを生成できる、バランスのとれたバイナリ グレイコードの構成^{[ 63 ]}と実装^{[ 64 ]}を示します。主な原理は、( n + 2) 桁のグレイコードを帰納的に構成することです。  ${\displaystyle G'}$n桁のグレイコードGが与えられたとき、バランス特性が維持されるようにします。これを行うために、次の分割を検討します。${\displaystyle G=g_{0},\ldots ,g_{2^{n}-1}}$偶数個のL個の空でないブロックに分割する。

$${\displaystyle \left\{g_{0}\right\},\left\{g_{1},\ldots ,g_{k_{2}}\right\},\left\{g_{k_{2}+1},\ldots ,g_{k_{3}}\right\},\ldots ,\left\{g_{k_{L-2}+1},\ldots ,g_{-2}\right\},\left\{g_{-1}\right\}}$$

どこ${\displaystyle k_{1}=0}$、${\displaystyle k_{L-1}=-2}$、 そして${\displaystyle k_{L}\equiv -1{\pmod {2^{n}}}}$この分割は${\displaystyle (n+2)}$-桁のグレイコード

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathtt {00}}g_{0},\\&{\mathtt {00}}g_{1},\ldots ,{\mathtt {00}}g_{k_{2}},{\mathtt {01}}g_{k_{2}},\ldots ,{\mathtt {01}}g_{1},{\mathtt {11}}g_{1},\ldots ,{\mathtt {11}}g_{k_{2}},\\&{\mathtt {11}}g_{k_{2}+1},\ldots ,{\mathtt {11}}g_{k_{3}},{\mathtt {01}}g_{k_{3}},\ldots ,{\mathtt {01}}g_{k_{2}+1},{\mathtt {00}}g_{k_{2}+1},\ldots ,{\mathtt {00}}g_{k_{3}},\ldots ,\\&{\mathtt {00}}g_{-2},{\mathtt {00}}g_{-1},{\mathtt {10}}g_{-1},{\mathtt {10}}g_{-2},\ldots ,{\mathtt {10}}g_{0},{\mathtt {11}}g_{0},{\mathtt {11}}g_{-1},{\mathtt {01}}g_{-1},{\mathtt {01}}g_{0}\end{aligned}}}$$

遷移多重度を定義すると

$${\displaystyle m_{i}=\left|\left\{j:\delta _{k_{j}}=i,1\leq j\leq L\right\}\right|}$$

を、パーティション内の連続するブロック間で位置iの数字が変化する回数とすると、このパーティションによって生成される ( n  +  2) 桁のグレイコードの場合、遷移スペクトルは${\displaystyle \lambda '_{i}}$は

$${\displaystyle \lambda '_{i}={\begin{cases}4\lambda _{i}-2m_{i},&{\text{if }}0\leq i<n\\L,&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$$

この構成の繊細な部分は、バランスのとれたn桁のグレイコードを適切に分割して、それによって誘導されるコードがバランスを保つようにすることだが、そのためには遷移多重度だけが重要となる。${\displaystyle i}$別の桁で別のブロックを分割する${\displaystyle i}$遷移によって生成されるグレイコードは全く同じ遷移スペクトルを持つ${\displaystyle \lambda '_{i}}$したがって、例えば^{[ 62 ]}最初の${\displaystyle m_{i}}$数字での遷移${\displaystyle i}$2つのブロックの間にあるものとして。統一コードは、次のような場合に見つけることができます。${\displaystyle R\equiv 0{\pmod {4}}}$そして${\displaystyle R^{n}\equiv 0{\pmod {n}}}$、この構成はR項の場合にも拡張できます。^{[ 63 ]}

ロングラン（または最大ギャップ）グレイコードは、同じ位置の連続する桁の変化間の距離を最大化します。つまり、任意のビットの最小ラン長は可能な限り長く変化しません。^{[ 65 ]}

単調符号は相互接続ネットワークの理論において有用であり、特にプロセッサの線形アレイの拡張を最小化するのに役立ちます。^{[ 66 ]}バイナリ文字列の重みを文字列内の 1 の数と 定義すると、重みが厳密に増加するグレイコードは明らかに存在しませんが、コードが次の重みに到達する前に 2 つの隣接する重みを通過するようにすることで、これを近似することができます。

単調グレイコードの概念を次のように形式化できます。ハイパーキューブの分割を考えます。${\displaystyle Q_{n}=(V_{n},E_{n})}$等しい重みを持つ頂点のレベルに分割します。

$${\displaystyle V_{n}(i)=\{v\in V_{n}:v{\text{ has weight }}i\}}$$

のために${\displaystyle 0\leq i\leq n}$これらのレベルは${\displaystyle |V_{n}(i)|=\textstyle {\binom {n}{i}}}$。 させて${\displaystyle Q_{n}(i)}$のサブグラフとする${\displaystyle Q_{n}}$誘発される${\displaystyle V_{n}(i)\cup V_{n}(i+1)}$、そして${\displaystyle E_{n}(i)}$エッジは${\displaystyle Q_{n}(i)}$単調グレイコードは、ハミルトン経路である。${\displaystyle Q_{n}}$いつでも${\displaystyle \delta _{1}\in E_{n}(i)}$前に来る${\displaystyle \delta _{2}\in E_{n}(j)}$経路上で、${\displaystyle i\leq j}$。

任意のnに対する単調なn桁のグレイコードの洗練された構成は、サブパスを再帰的に構築するというアイデアに基づいています。${\displaystyle P_{n,j}}$長さ${\displaystyle 2\textstyle {\binom {n}{j}}}$エッジを持つ${\displaystyle E_{n}(j)}$[ ^{66 ]}我々は定義^する${\displaystyle P_{1,0}=({\mathtt {0}},{\mathtt {1}})}$、${\displaystyle P_{n,j}=\emptyset }$いつでも${\displaystyle j<0}$または${\displaystyle j\geq n}$、 そして

$${\displaystyle P_{n+1,j}={\mathtt {1}}P_{n,j-1}^{\pi _{n}},{\mathtt {0}}P_{n,j}}$$

そうでなければ。ここでは、${\displaystyle \pi _{n}}$は適切に定義された順列であり、${\displaystyle P^{\pi }}$は、座標が置換されたパスPを指します。${\displaystyle \pi }$これらの経路は、2つの単調なn桁のグレイコードを生み出す。${\displaystyle G_{n}^{(1)}}$そして${\displaystyle G_{n}^{(2)}}$によって与えられた

$${\displaystyle G_{n}^{(1)}=P_{n,0}P_{n,1}^{R}P_{n,2}P_{n,3}^{R}\cdots {\text{ and }}G_{n}^{(2)}=P_{n,0}^{R}P_{n,1}P_{n,2}^{R}P_{n,3}\cdots }$$

選択${\displaystyle \pi _{n}}$これらのコードが実際にグレイコードであることを保証するものは、${\displaystyle \pi _{n}=E^{-1}\left(\pi _{n-1}^{2}\right)}$.最初のいくつかの値は${\displaystyle P_{n,j}}$下記の表に示されています。

これらの単調グレイコードは、各要素をO ( n ) 時間で生成できるように効率的に実装できます。このアルゴリズムは、コルーチンを使用して最も簡単に記述できます。

単調符号は、連結な頂点推移的グラフはすべてハミルトン路を含むというロヴァース予想と興味深い関連性がある。「中間レベル」部分グラフ${\displaystyle Q_{2n+1}(n)}$は頂点推移的である（つまり、その自己同型群は推移的であるため、各頂点は同じ「局所環境」を持ち、座標と二進数を再ラベル付けして自己同型を得ることができるため、他の頂点と区別できない）。この部分グラフにおけるハミルトン路を見つける問題は「中間レベル問題」と呼ばれ、より一般的な予想への洞察を与えることができる。この問題は、に対して肯定的に解決されている。${\displaystyle n\leq 15}$、また、単調符号の前述の構成により、少なくとも長さが 0.839‍N のハミルトン経路が保証される。ここで、Nは中間レベルのサブグラフの頂点の数である。^{[ 67 ]}

もう 1 つのグレイ コードの種類であるベケット グレイ コードには、対称性に興味を持っていたアイルランドの劇作家サミュエル ベケットにちなんで名付けられています。彼の戯曲「クワッド」には 4 人の俳優が登場し、16 の期間に分かれています。各期間は、4 人の俳優のうちの 1 人が舞台に出入りすることで終わります。戯曲は空の舞台で始まり、空の舞台で終わります。ベケットは、俳優の各サブセットが舞台に 1 回だけ登場することを望んでいました。^{[ 68 ]}明らかに、現在舞台にいる俳優のセットは 4 ビットのバイナリ グレイ コードで表現できます。しかし、ベケットは脚本にさらに制約を加えました。彼は、最も長く舞台にいた俳優が常に退場するように俳優が出入りすることを望んでいました。俳優は FIFOキューで表現でき、(舞台上の俳優のうち) デキューされる俳優は常に最初にエンキューされた俳優になります。^{[ 68 ]}ベケットは自身の戯曲のベケット・グレイ符号を見つけることができず、実際、考えられるすべてのシーケンスを網羅的にリストアップしても、n = 4 の場合、そのような符号は存在しないことが明らかになった。今日では、n = 2、5、6、7、8 の場合、そのような符号が存在するが、n = 3 または 4 の場合、存在しないことが知られている。8 ビットのベケット・グレイ符号の例は、ドナルド・クヌースの『コンピュータプログラミングの技法』に掲載されている。^{[ 11 ]}澤田とウォンによれば、 n = 6の場合の探索空間は15 時間で探索​​でき、n = 7の場合の解は9500 個見つかっている。^{[ 69 ]}

スネーク・イン・ザ・ボックス・コード、またはスネークとは、 n次元ハイパーキューブ・グラフにおける誘導パスのノードのシーケンスであり、コイル・イン・ザ・ボックス・コード^{[ 70 ]}またはコイルとは、ハイパーキューブにおける誘導サイクルのノードのシーケンスである。グレイコードとして見ると、これらのシーケンスは、任意の 1 ビットの符号化エラーを検出できるという特性を持つ。この種のコードは、1950 年代後半にWilliam H. Kautzによって初めて記述された^{[ 3 ]} 。それ以来、与えられたハイパーキューブ次元に対して可能な限り最大のコードワード数を持つコードを見つけることに関する多くの研究が行われてきた。

もう1つのグレイコードの種類は、ノーマン・B・スペディング^{[ 71 ] [ 72 ]}によって開発され、ヒルトゲン、パターソン、ブランデスティニによって「Single-track Gray Codes (1996)」で改良されたシングルトラックグレイコード（STGC）です。^{[ 73 ] [ 74 ]} STGCは、連続する2つの単語がちょうど1つの位置で異なるような、長さnのP個の一意のバイナリ符号化の巡回リストであり、リストをP  × n行列として調べると、各列は最初の列の巡回シフトになります。^{[ 75 ]} 

その名称は、ロータリーエンコーダでの使用に由来する。ロータリーエンコーダでは、複数のトラックが接点によって検出され、それぞれに対して0または1の出力が得られる。異なる接点が正確に同じタイミングで切り替わらないことによるノイズを低減するために、接点から出力されるデータがグレイコードになるようにトラックを設定するのが望ましい。高い角度精度を得るには、多数の接点が必要となる。少なくとも1°の精度を達成するには、1回転あたり少なくとも360個の異なる位置が必要であり、そのためには最低9ビットのデータが必要となり、したがって同じ数の接点が必要となる。

すべての接点が同じ角度位置に配置されている場合、少なくとも 1° の精度を持つ標準的な BRGC を得るには 9 トラックが必要です。しかし、メーカーが接点を別の角度位置 (ただし、中心軸からの距離は同じ) に移動した場合、同じ出力を得るためには、対応する「リング パターン」を同じ角度に回転させる必要があります。最上位ビット (図 1 の内側のリング) を十分に回転させると、次のリングと完全に一致します。両方のリングが同一であるため、内側のリングを切り取り、そのリングのセンサーを残りの同一のリング (ただし、そのリング上の他のセンサーからその角度だけオフセット) に移動できます。1 つのリング上のこれらの 2 つのセンサーで直交エンコーダーが構成されます。これにより、「1° 分解能」の角度エンコーダーのトラック数が 8 トラックに削減されます。BRGC では、トラック数をさらに削減することはできません。

長年にわたり、トルステン・シルケ^{[ 76 ]}をはじめとする数学者たちは、2つのセンサーと1つのトラックを持つ直交エンコーダを除いて、単一のトラック上で連続する位置が単一のセンサーでのみ異なるように位置を符号化することは不可能だと考えていた。そのため、8つのトラックが大きすぎる用途では、人々は単一トラックのインクリメンタルエンコーダ（直交エンコーダ）または2トラックの「直交エンコーダ＋基準ノッチ」エンコーダを使用していた。

しかし、ノーマン・B・スペディングは、それが可能であることを示すいくつかの例を添えて、1994年に特許を登録した。^{[ 71 ]}単一のトラック上のn 個のセンサーで 2 ^{n 個の}位置を識別することは不可能だが、それに近い数を識別できる。エツィオンとパターソンは、n が 2 のべき乗である場合、n個のセンサーで識別できる位置は最大で 2 ⁿ − 2 n個であり、素数nの場合は限界が 2 ⁿ − 2 個であると推測している。^{[ 77 ]著者らは、最適であると考える長さ 9 の 504 位置の単一トラックコードを生成した。この数は 2 8} = 256より大きいため、BRGC は 9 個のセンサーで 512 個の位置を識別できるが、どのコードでも 8 個以上のセンサーが必要となる。      

P  =  30、n  = 5の場合のSTGCを 以下に再現する。

各列は最初の列の巡回シフトであり、任意の行から次の行への変化は 1 ビットのみです。^{[ 78 ]} シングル トラックの性質 (コード チェーンと同様) は、これらのホイールの製造において (BRGC と比較して) 有用であり、必要なトラックは 1 つだけであるため、コストとサイズが削減されます。グレイ コードの性質は、 (チェーン コード、またはデ ブルイン シーケンスとも呼ばれる) 有用であり、一度に変化するセンサーは 1 つだけであるため、2 つの離散状態間の遷移中の不確実性は、デバイスが分解できる角度測定の単位のプラスまたはマイナス 1 つだけになります。^{[ 79 ]}

この 30 度の例が追加されて以来、より高い角度分解能の例に多くの関心が寄せられています。2008 年に、Gary Williams ^{[ 80 ]は、以前の研究[ 77 ]}に基づいて、1 度の分解能を提供する 9 ビットのシングル トラック グレイ コードを発見しました。このグレイ コードを使用して実際のデバイスが設計され、Thingiverseサイトで公開されました。このデバイス^{[ 81 ]}は、etzenseep (Florian Bauer) によって 2022 年 9 月に設計されました。

P  =  360、n  =  9の場合のSTGCをここに再現します。

2次元グレイコードは、直交振幅変調（QAM）コンスタレーションの隣接点におけるビットエラーの数を最小限に抑えるために通信で使用されます。典型的な符号化では、水平方向と垂直方向の隣接するコンスタレーション点は1ビット異なり、対角方向の隣接する点は2ビット異なります。^{[ 82 ]}

2次元グレイコードは、位置識別スキームにも使用されており、地球表面のメルカトル図法などのエリアマップにコードを適用し、マンハイム距離などの適切な循環2次元距離関数を使用して2つのエンコードされた位置間の距離を計算することで、ハミング距離の特性とメルカトル図法の循環継続を組み合わせることができます。^{[ 83 ]}

特定のコード値からその部分（例えば、4ビットのグレイコードの最後の3ビット）を抽出すると、結果として得られるコードは「超過グレイコード」となります。このコードは、元の値をさらに増加させた場合に、抽出されたビットが逆方向にカウントされるという特性を示します。これは、グレイエンコードされた値が、従来のバイナリエンコードで知られているような、最大値を超えて増加した際のオーバーフロー動作を示さないためです。

例：3ビットグレイコードの最上位値である7は、(0)100としてエンコードされます。これに1を加えると、8となり、グレイコードでは1100とエンコードされます。元の4ビットコードをさらに増やしても、最後の3ビットはオーバーフローせず、逆方向にカウントされます。

複数のグレイコード値を連続的に出力するセンサーを使用する場合、センサーがそれらの複数の値を単一のグレイコードでエンコードして出力するのか、それとも個別のグレイコードとして出力するのかに注意する必要があります。そうでない場合、「オーバーフロー」が想定されるときに値が逆方向にカウントされているように見える可能性があるからです。